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專題08一元二次方程 解讀考點 知 識 點 名師點晴 一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念 會識別一元二次方程。 2.一元二次方程的解 會識別一個數是不是一元二次方程的解。 解法 步驟 能靈活選擇適當的方法解一元二次方程。 根的判別式 b2－4ac是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的判別式 會判斷一元二次方程根的情況。 根與系數的關系 x1＋x2＝，x1x2＝ 會靈活運用根與系數的關系解決問題。 一元二次方程的應用 由實際問題抽象出一元二次方程 要列方程，首先要根據題意找出存在的等量關系． 最后要檢驗結果是不是合理. 2年中考 【2015年題組】 1．（2015來賓）已知實數，滿足，，則以，為根的一元二次方程是（ ） A．B．C．D． 【答案】A． 【解析】 試題分析：以，為根的一元二次方程，故選A． 考點：根與系數的關系． 2．（2015河池）下列方程有兩個相等的實數根的是（ ） A．B．C．D． 【答案】C． 考點：根的判別式． 3．（2015貴港）若關于x的一元二次方程有實數根，則整數a的最大值為（ ） A．﹣1B．0C．1D．2 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵關于x的一元二次方程有實數根，∴△==且，∴且，∴整數a的最大值為0．故選B． 考點：1．根的判別式；2．一元二次方程的定義． 4．（2015欽州）用配方法解方程，配方后可得（ ） A．B．C．D． 【答案】A． 【解析】 試題分析：方程，整理得：，配方得：，即，故選A． 考點：解一元二次方程-配方法． 5．（2015成都）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（） A．B．C．D．且 【答案】D． 【解析】 試題分析：∵是一元二次方程，∴，∵有兩個不想等的實數根，則，則有，∴，∴且，故選D． 考點：根的判別式． 6．（2015攀枝花）關于x的一元二次方程有兩個不相等的正實數根，則m的取值范圍是（ ） A．B．且C．D． 【答案】D． 考點：1．根的判別式；2．一元二次方程的定義． 7．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程的根，則該三角形的周長可以是（ ） A．5B．7C．5或7D．10 【答案】B． 【解析】 試題分析：解方程，（x﹣1）（x﹣3）=0，解得，； ∵當底為3，腰為1時，由于3＞1+1，不符合三角形三邊關系，不能構成三角形； ∴等腰三角形的底為1，腰為3； ∴三角形的周長為1+3+3=7． 故選B． 考點：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三邊關系；3．等腰三角形的性質；4．分類討論． 8．（2015巴中）某種品牌運動服經過兩次降價，每件件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（ ） A．B．C．D． 【答案】B． 考點：1．由實際問題抽象出一元二次方程；2．增長率問題． 9．（2015達州）方程有兩個實數根，則m的取值范圍（ ） A．B．且C．D．且 【答案】B． 【解析】 試題分析：根據題意得：，解得且．故選B． 考點：1．根的判別式；2．一元二次方程的定義． 10．（2015瀘州）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則一次函數的大致圖象可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵有兩個不相等的實數根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正確； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正確； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正確； D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正確； 故選B． 考點：1．根的判別式；2．一次函數的圖象． 11．（2015南充）關于x的一元二次方程有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程同樣也有兩個整數根且乘積為正．給出四個結論：①這兩個方程的根都是負根；②；③．其中正確結論的個數是（） A．0個B．1個C．2個D．3個 【答案】C． 考點：1．根與系數的關系；2．根的判別式；3．綜合題． 12．（2015佛山）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區域進行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長是（ ） A．7mB．8mC．9mD．10m 【答案】A． 【解析】 試題分析：設原正方形的邊長為xm，依題意有：（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合題意，舍去），即：原正方形的邊長7m．故選A． 考點：1．一元二次方程的應用；2．幾何圖形問題． 13．（2015懷化）設，是方程的兩個根，則的值是（ ） A．19B．25C．31D．30 【答案】C． 考點：根與系數的關系． 14．（2015安順）若一元二次方程無實數根，則一次函數的圖象不經過第（ ）象限． A．四B．三C．二D．一 【答案】D． 【解析】 試題分析：∵一元二次方程無實數根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m）=4+4m＜0，∴m＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，∴一次函數的圖象不經過第一象限，故選D． 考點：1．根的判別式；2．一次函數圖象與系數的關系． 15．（2015山西省）我們解一元二次方程時，可以運用因式分解法，將此方程化為，從而得到兩個一元一次方程：或，進而得道原方程的解為，．這種解法體現的數學思想是（ ） A．轉化思想B．函數思想C．數形結合思想D．公理化思想 【答案】A． 【解析】 試題分析：我們解一元二次方程時，可以運用因式分解法，將此方程化為，從而得到兩個一元一次方程：或，進而得道原方程的解為，．這種解法體現的數學思想是轉化思想，故選A． 考點：解一元二次方程-因式分解法． 16．（2015棗莊）已知關于x的一元二次方程的兩個實數根分別為，，則m+n的值是（ ） A．﹣10B．10C．﹣6D．2 【答案】A． 考點：根與系數的關系． 17．（2015淄博）若a滿足不等式組，則關于x的方程的根的情況是（ ） A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根D．以上三種情況都有可能 【答案】C． 【解析】 試題分析：解不等式組，得a＜﹣3，∵△==2a+2，∵a＜﹣3，∴△=2a+2＜0，∴方程沒有實數根，故選C． 考點：1．根的判別式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式組；4．綜合題． 18．（2015煙臺）如果，那么x的值為（ ） A．2或﹣1B．0或1C．2D．﹣1 【答案】C． 【解析】 試題分析：∵，∴，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：，，當x=﹣1時，x+1=0，故x≠﹣1，故選C． 考點：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指數冪． 19．（2015煙臺）等腰三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關于x的一元二次方程的兩根，則n的值為（ ） A．9B．10C．9或10D．8或10 【答案】B． 考點：1．根的判別式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分類討論． 20．（2015大慶）方程的根是． 【答案】，． 【解析】 試題分析：方程變形得：，分解因式得：，可得或，解得：，．故答案為：，． 考點：解一元二次方程-因式分解法． 21．（2015甘孜州）若矩形ABCD的兩鄰邊長分別為一元二次方程的兩個實數根，則矩形ABCD的對角線長為． 【答案】5． 【解析】 試題分析：方程，即，解得：，，則矩形ABCD的對角線長是：=5．故答案為：5． 考點：1．矩形的性質；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理． 22．（2015達州）新世紀百貨大樓“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”兒童節，商場決定采取適當的降價措施．經調査，如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，則每件童裝應降價多少元？設每件童裝應降價x元，可列方程為． 【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200． 考點：1．由實際問題抽象出一元二次方程；2．銷售問題． 23．（2015廣元）從3，0，－1，－2，－3這五個數中抽取一個敖，作為函數和關于x的一元二次方程中m的值．若恰好使函數的圖象經過第一、三象限，且使方程有實數根，則滿足條件的m的值是________． 【答案】． 【解析】 試題分析：∵所得函數的圖象經過第一、三象限，∴，∴，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合題意， 將m=0代入中得，，△=﹣4＜0，無實數根； 將代入中得，，，有實數根，但不是一元二次方程； 將代入中得，，△=4+4=8＞0，有實數根． 故m=．故答案為：． 考點：1．根的判別式；2．一次函數圖象與系數的關系；3．綜合題． 24．（2015涼山州）已知實數m，n滿足，，且，則=． 【答案】． 【解析】 試題分析：∵時，則m，n是方程的兩個不相等的根，∴，． ∴原式===，故答案為：． 考點：1．根與系數的關系；2．條件求值；3．壓軸題． 25．（2015瀘州）設、是一元二次方程的兩實數根，則的值為． 【答案】27． 考點：根與系數的關系． 26．（2015綿陽）關于m的一元二次方程的一個根為2，則=． 【答案】26． 【解析】 試題分析：把m=2代入得，整理得：，所以，所以原式===26．故答案為：26． 考點：一元二次方程的解． 27．（2015內江）已知關于x的方程的兩根分別是，，且滿足，則k的值是． 【答案】2． 【解析】 試題分析：∵關于x的方程的兩根分別是，，∴，，，解得：k=2，故答案為：2． 考點：根與系數的關系． 28．（2015咸寧）將配方成的形式，則m=． 【答案】3． 考點：配方法的應用． 29．（2015荊州）若m，n是方程的兩個實數根，則的值為． 【答案】0． 【解析】 試題分析：∵m，n是方程的兩個實數根，∴，，則原式==1﹣1=0，故答案為：0． 考點：1．根與系數的關系；2．一元二次方程的解． 30．（2015曲靖）一元二次方程有兩個不相等的實數根且兩根之積為正數，若c是整數，則c=．（只需填一個）． 【答案】故答案為：1，2，3，4，5，6中的任何一個數． 【解析】 試題分析：∵一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴△=，解得，∵，，c是整數，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案為：1，2，3，4，5，6中的任何一個數． 考點：1．根的判別式；2．根與系數的關系；3．開放型． 31．（2015呼和浩特）若實數a、b滿足，則=__________． 【答案】或1． 【解析】 試題分析：設=x，則由原方程，得：，整理，得：，解得，．則的值是或1．故答案為：或1． 考點：換元法解一元二次方程． 32．（2015吉林?。┤絷P于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的值可能是（寫出一個即可）． 【答案】答案不唯一，只要即可，如：0． 考點：1．根的判別式；2．開放型． 33．（2015畢節）關于x的方程與有一個解相同，則a=． 【答案】1． 【解析】 試題分析：由關于x的方程，得：（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0，或x﹣3=0，解得x=1或x=3；當x=1時，分式方程無意義；當x=3時，，解得a=1，經檢驗a=1是原方程的解．故答案為：1． 考點：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分類討論． 34．（2015畢節）一個容器盛滿純藥液40L，第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同樣體積的溶液，這時容器里只剩下純藥液10L，則每次倒出的液體是L． 【答案】20． 【解析】 試題分析：設每次倒出液體xL，由題意得：，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案為：20． 考點：一元二次方程的應用． 35．（2015日照）如果m，n是兩個不相等的實數，且滿足，，那么代數式=． 【答案】2026． 考點：根與系數的關系． 36．（2015成都）如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．以下關于倍根方程的說法，正確的是________．（寫出所有正確說法的序號）． ?、俜匠淌潜陡匠蹋?br/> ?、谌羰潜陡匠?，則； ?、廴酎c在反比例函數的圖像上，則關于的方程是倍根方程； ?、苋舴匠淌潜陡匠?，且相異兩點，都在拋物線上，則方程的一個根為． 【答案】②③． 【解析】 試題分析：研究一元二次方程是倍根方程的一般性結論，設其中一根為，則另一個根為，因此，所以有；我們記，即時，方程為倍根方程；下面我們根據此結論來解決問題： 對于①，，因此本選項錯誤； 對于②，，而，∴，因此本選項正確； 對于③，顯然，而，因此本選項正確； 對于④，由，知，∴，由倍根方程的結論知，從而有，所以方程變為：，∴，∴，，因此本選項錯誤． 故答案為：②③． 考點：1．新定義；2．根與系數的關系；3．壓軸題；4．閱讀型． 37．（2015黃石）解方程組：． 【答案】，． 考點：高次方程． 38．（2015自貢）利用一面墻（墻的長度不限），另三邊用58m長的籬笆圍成一個面積為200m2的矩形場地，求矩形的長和寬． 【答案】當矩形長為25米時寬為8米，當矩形長為50米時寬為4米． 【解析】 試題分析：設垂直于墻的一邊為x米，則鄰邊長為（58﹣2x），利用矩形的面積公式列出方程并解答． 試題解析：設垂直于墻的一邊為x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：，，∴另一邊為8米或50米． 答：當矩形長為25米時寬為8米，當矩形長為50米時寬為4米． 考點：1．一元二次方程的應用；2．幾何圖形問題． 39．（2015巴中）如圖，某農場有一塊長40m，寬32m的矩形種植地，為方便管理，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為1140m2，求小路的寬． 【答案】2m． 考點：1．一元二次方程的應用；2．幾何圖形問題． 40．（2015廣元）李明準備進行如下操作實驗：把一根長40cm的鋏絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個正方形． （1）要使這兩個正方形的面積之和等于58，李明應該怎么剪這根鐵絲？ （2）李明認為這兩個正方形的面積之和不可能等于48．你認為他的說法正確嗎？請說明理由． 【答案】（1）12cm和28cm；（2）正確． 考點：1．一元二次方程的應用；2．幾何圖形問題． 41．（2015崇左）為落實國務院房地產調控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建設力度，2013年市政府共投資3億元人民幣建設了廉租房12萬平方米，2015年投資6.75億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同． ?。?）求每年市政府投資的增長率； （2）若這兩年內的建設成本不變，問2015年建設了多少萬平方米廉租房？ 【答案】（1）50%；（2）18． 【解析】 試題分析：（1）設每年市政府投資的增長率為x．根據2015年投資6.75億元人民幣建設廉租房，列方程求解； ?。?）先求出單位面積所需錢數，再用累計投資÷單位面積所需錢數可得結果． 試題解析：（1）設投資平均增長率為x，根據題意得：，解得，（不符合題意舍去） 答：政府投資平均增長率為50%； （2）（萬平方米） 答：2015年建設了18萬平方米廉租房． 考點：1．一元二次方程的應用；2．增長率問題． 42．（2015崇左）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上． ?。?）求證：△AEF∽△ABC； （2）求這個正方形零件的邊長； ?。?）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？ 【答案】（1）證明見試題解析；（2）48；（3）2400． 考點：1．一元二次方程的應用；2．幾何圖形問題；3．最值問題；4．壓軸題． 43．（2015淮安）水果店張阿姨以每斤2元的價格購進某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤，通過調查發現，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價銷售． ?。?）若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是斤（用含x的代數式表示）； （2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？ 【答案】（1）100+200x；（2）1． 考點：1．一元二次方程的應用；2．銷售問題；3．綜合題． 44．（2015遂寧）閱讀下列材料，并用相關的思想方法解決問題． 計算：． 令，則 原式= = = 問題：（1）計算 ??； ?。?）解方程． 【答案】（1）；（2），． 考點：1．換元法解一元二次方程；2．有理數的混合運算；3．換元法；4．閱讀型；5．綜合題． 45．（2015十堰）已知關于x的一元二次方程． ?。?）若方程有實數根，求實數的取值范圍； ?。?）若方程兩實數根分別為，，且滿足，求實數的值． 【答案】（1）；（2）2． 【解析】 試題分析：（1）若方程有實數根，則△≥0，解不等式即可； （2）由根與系數的關系得到，，由和，得到，即，代入即可得到結果． 試題解析：（1）∵關于x的一元二次方程有實數根，∴△≥0，即，∴； ?。?）根據題意得，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2． 考點：1．根的判別式；2．根與系數的關系；3．綜合題． 46．（2015潛江）已知關于x的一元二次方程． ?。?）若方程有實數根，求實數m的取值范圍； ?。?）若方程兩實數根為，，且滿足，求實數的值． 【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12． 考點：1．根的判別式；2．根與系數的關系． 47．（2015鄂州）關于x的一元二次方程有兩個不等實根，． （1）求實數k的取值范圍． （2）若方程兩實根，滿足，求k的值． 【答案】（1）k＞；（2）k=2． 【解析】 試題分析：（1）由方程有兩個不相等的實數根可得△=，求出k的取值范圍； ?。?）首先判斷出兩根均小于0，然后去掉絕對值，進而得到，結合k的取值范圍解方程即可． 試題解析：（1）∵原方程有兩個不相等的實數根，∴△===，解得：k＞； ?。?）∵k＞，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴，∴，，又∵k＞，∴k=2． 考點：1．根的判別式；2．根與系數的關系；3．綜合題． 【2014年題組】 1．（2014年甘肅蘭州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根，則b2﹣4ac滿足的條件是（） A.b2﹣4ac=0B.b2﹣4ac＞0C.b2﹣4ac＜0D.b2﹣4ac≥0 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴△=b2﹣4ac＞0．故選B． 考點：一元二次方程根的判別式． 2.（2014年廣西貴港中考）若關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個實數根分別為x1=﹣2，x2=4，則b+c的值是（） A．﹣10B．10C．﹣6D．﹣1 【答案】A． 考點：1.一元二次方程根與系數的關系；2.求代數式的值． 3.（2014年內蒙古呼倫貝爾中考）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（） A.x1=2，x2=1B.x1=﹣2，x2=1C.x1=2，x2=﹣1D.x1=﹣2，x2=﹣1 【答案】C． 【解析】 試題分析：（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故選C． 考點：因式分解法解一元二次方程． 4.（2014年山東聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可變形為（） A.B.C.D. 【答案】A． 【解析】 試題分析：先移項，把二次項系數化成1，再配方，最后根據完全平方公式得出即可：移項，得ax2+bx=﹣c，兩邊同除以a，得，兩邊同加上一次項一半的平方，得，∴．故選A． 考點：配方法解一元二次方程． 5.（2014年甘肅白銀、定西、平涼、酒泉、臨夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一個根為0，則a=． 【答案】1． 考點：一元二次方程和解的定義． 6.（2014年廣西桂林中考）已知關于x的一元二次方程的兩根x1和x2，且，則k的值是． 【答案】或． 【解析】 試題分析：∵，∴或． ∵關于x的一元二次方程的兩根x1和x2，∴若，則； 若，則方程有兩相等的實數根，∴． ∴或． 考點：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判別式；3.分類思想的應用． 7.（2014年湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解為． 【答案】x1=0或x2=2． 【解析】 試題分析：把方程的左邊分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或x﹣2=0，從而求出方程的解：x1=0或x2=2． 考點：因式分解法解一元二次方程． 8.（2014年江西省中考）若是方程的兩個實數根，則． 【答案】10． 【解析】 試題分析：∵是方程的兩根，∴．∴． 考點：1.一元二次方程根與系數的關系；2.代數式求值；3.完全平方公式；4.整體思想的應用． 9.（2014年江蘇泰州中考）解方程：2x2﹣4x﹣1=0． 【答案】． 考點：公式法解一元二次方程． 10.（2014年四川巴中中考）某商店準備進一批季節性小家電，單價40元．經市場預測，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個；定價每減少1元，銷售量凈增加10個．因受庫存的影響，每批次進貨個數不得超過180個，商店若將準備獲利2000元，則應進貨多少個？定價為多少元？ 【答案】當該商品每個單價為60元時，進貨100個． 【解析】 試題分析：方程的應用解題關鍵是設出未知數，找出等量關系，列出方程求解.本題利用銷售利潤=售價-進價，根據題中條件可以列出利潤與x的關系式，求出即可． 解：設每個商品的定價是x元，由題意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50時，進貨180﹣10（x﹣52）=200個，不符合題意舍去． 答：當該商品每個單價為60元時，進貨100個． 考點：一元二次方程的應用（銷售問題）． 考點歸納 歸納1：一元二次的有關概念 基礎知識歸納： 1.一元二次方程：只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c為常數，a≠0），其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項和常數項，a、b分別稱為二次項系數和一次項系數． 3.一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 基本方法歸納：一元二次方程必須具備三個條件：（1）必須是整式方程；（2）必須只含有1個未知數；（3）所含未知數的最高次數是2． 注意問題歸納：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因為當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程． 【例1】若x=﹣2是關于x的一元二次方程的一個根，則a的值為（） A.1或4B.﹣1或﹣4C.﹣1或4D.1或﹣4 【答案】B． 考點：一元二次方程的解和解一元二次方程． 歸納2：一元一次方程的解法 基礎知識歸納： 一元二次方程的解法 1、直接開平方法 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b 2、配方法 配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用。配方法的理論根據是完全平方公式，把公式中的a看做未知數x，并用x代替，則有． 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程的求根公式： 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法． 基本方法歸納：（1）若一元二次方程缺少常數項,且方程的右邊為0,可考慮用因式分解法求解; ?。?）若一元二次方程缺少一次項,可考慮用因式分解法或直接開平方法求解; （3）若一元二次方程的二次項系數為1,且一次項的系數是偶數時或常數項非常大時,可考慮用配方法求解; ?。?）若用以上三種方法都不容易求解時,可考慮用公式法求解． 注意問題歸納：用公式法求解時必須化為一般形式；用配方法求解時必須兩邊同時加上一次項的系數一半的平方． 【例2】用配方法解關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0． 【答案】（其中b2﹣4ac≥0）． 【解析】 試題分析：應用配方法解一元二次方程，要把左邊配成完全平方式，右邊化為常數． 考點：解一元二次方程-配方法． 歸納3：一元二次方程的根的判別式 基礎知識歸納： 一元二次方程的根的判別式 對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）： ?。?）b2－4ac＞0?方程有兩個不相等的實數根； ?。?）b2－4ac＝0?方程有兩個的實數根； ?。?）b2－4ac＜0?方程沒有實數根． 基本方法歸納：若只是判斷方程解得情況則根據一元二次方程的根的判別式判斷即可． 注意問題歸納：一元二次方程的根的判別式應用時必須滿足a≠0；一元二次方程有解分兩種情況：1、有兩個相等的實數根；2、有兩個不相等的實數根． 【例3】下列方程沒有實數根的是（） A．x2＋4x＝10B．3x2＋8x－3＝0 C．x2－2x＋3＝0D．（x－2）（x－3）＝12 【答案】C． 【解析】 試題分析：A、方程變形為：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有兩個不相等的實數根，故A選項不符合題意； B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有兩個不相等的實數根，故B選項不符合題意； C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程沒有實數根，故C選項符合題意； D、方程變形為：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有兩個不相等的實數根，故D選項不符合題意． 故選C． 考點：根的判別式． 歸納4：根與系數的關系 基礎知識歸納： 一元二次方程的根與系數的關系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別為x1，x2，則有x1＋x2＝，x1x2＝． 基本方法歸納：一元二次方程問題中，出現方程的解得和與積時常運用根與系數的關系． 注意問題歸納：運用根與系數的關系時需滿足：1、方程有解；2、a≠0． 【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的兩根，則α2+β2=（） A.-8B.32C.16D.40 【答案】C． 考點：根與系數的關系． 歸納5：一元二次方程的應用 基礎知識歸納： 1、一元二次方程的應用 1.列一元二次方程解應用題的步驟和列一元一次方程（組）解應用題的步驟相同，即審、設、列、解、驗答五步． 2.列一元二次方程解應用題中，經濟類和面積類問題是常考類型，解決這些問題應掌握以下內容： ?。?）增長率等量關系: A.增長率＝×100%； B.設a為原來量，m為平均增長率,n為增長次數，b為增長后的量，則a（1+m）n=b;當m為平均下降率，n為下降次數，b為下降后的量時，則有a（1-m）n=b． （2）利潤等量關系: A.利潤＝售價-成本； B.利潤率＝利潤成本×100%． ?。?）面積問題 3、解應用題的書寫格式： 設→根據題意→解這個方程→答． 基本方法歸納：解題時先理解題意找到等量關系列出方程再解方程最后檢驗即可． 注意問題歸納：找對等量關系最后一定要檢驗． 【例5】如圖，某小區規劃在一個長30m、寬20m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花... |
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