高三數學第一輪復習：拋物線的定義、性質及標準方程

【本講主要內容】

    拋物線的定義及相關概念、拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質 

【知識掌握】

【知識點精析】

    1. 拋物線定義：

    平面內與一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，定點不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e＝1時為拋物線，當0<e<1時為橢圓，當e>1時為雙曲線。

    2. 拋物線的標準方程有四種形式，參數的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質（如下表）：

其中為拋物線上任一點。

    3. 對于拋物線上的點的坐標可設為，以簡化運算。

    4. 拋物線的焦點弦：設過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，直線與的斜率分別為，直線的傾斜角為，則有，，，，，，。

    說明：

    1. 求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數法；若由已知條件可知曲線的動點的規律一般用軌跡法。

    2. 凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算。

    3. 解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質。

【解題方法指導】

    例1. 已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長等于，求此拋物線的方程。

解析：設所求拋物線的方程為或

設交點（y₁>0）

則，∴，代入得

∴點在上，在上

∴或，∴

故所求拋物線方程為或。

  例2. 設拋物線的焦點為，經過的直線交拋物線于兩點，點在拋物線的準線上，且∥軸，證明直線經過原點。

解析：證法一：由題意知拋物線的焦點

故可設過焦點的直線的方程為

    由，消去得

    設，則

    ∵∥軸，且在準線上

    ∴點坐標為

    于是直線的方程為

    要證明經過原點，只需證明，即證

    注意到知上式成立，故直線經過原點。

    證法二：同上得。又∵∥軸，且在準線上，∴點坐標為。于是，知三點共線，從而直線經過原點。

    證法三：如圖，

    設軸與拋物線準線交于點，過作，是垂足

    則∥∥，連結交于點，則

    又根據拋物線的幾何性質，

    ∴

    因此點是的中點，即與原點重合，∴直線經過原點。

    評述：本題考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數法，證法三為幾何法，充分運用了拋物線的幾何性質，數形結合，更為巧妙。

【考點突破】

【考點指要】

    拋物線部分是每年高考必考內容，考點中要求掌握拋物線的定義、標準方程以及幾何性質，多出現在選擇題和填空題中，主要考查基礎知識、基礎技能、基本方法，分值大約是５分。

    考查通常分為四個層次：

    層次一：考查拋物線定義的應用；

    層次二：考查拋物線標準方程的求法；

    層次三：考查拋物線的幾何性質的應用；

    層次四：考查拋物線與平面向量等知識的綜合問題。

    解決問題的基本方法和途徑：待定系數法、軌跡方程法、數形結合法、分類討論法、等價轉化法。

【典型例題分析】

  例3. （2006江西）設為坐標原點，為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若，則點的坐標為（    ）

A.                 B.                

C.                 D.

    答案：Ｂ

    解析：解法一：設點坐標為，則

           ，

    解得或（舍），代入拋物線可得點的坐標為。

    解法二：由題意設，則，

    即，，求得，∴點的坐標為。

    評述：本題考查了拋物線的動點與向量運算問題。

  例4. （2006安徽）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（    ）

    A. －2                  B. 2               C. －4                  Ｄ. 4

    答案：D

    解析：橢圓的右焦點為，所以拋物線的焦點為，則。

    評述：本題考查拋物線與橢圓的標準方程中的基本量的關系。

【達標測試】

一. 選擇題：

1. 拋物線的準線方程為，則實數的值是（    ）

    A.                    B.                    C.                 D.

2. 設拋物線的頂點在原點，其焦點在軸上，又拋物線上的點，與焦點的距離為4，則等于（    ）

    A. 4               B. 4或－4                    C. －2                  D. －2或2

3. 焦點在直線上的拋物線的標準方程為（    ）

    A.                           B. 或

    C.                              D. 或

4. 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程為（    ）

    A.                     B.

    C.                     D.

5. 正方體的棱長為１，點在棱上，且，點是平面上的動點，且點到直線的距離與點到點的距離的平方差為１，則點的軌跡是（    ）

    A. 拋物線             B. 雙曲線          C. 直線                D. 以上都不對

6. 已知點是拋物線上一點，設點到此拋物線準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（　　　）

    A. 5               B. 4               C.              D.

7. 已知點是拋物線上的動點，點在軸上的射影是，點的坐標是，則的最小值是（    ）

    A.                    B. 4        C.                    D. 5

8. 過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點，則的值是（    ）

    A. 12                    B. －12                C. 3               D. －3

二. 填空題：

9. 已知圓和拋物線的準線相切，則的值是＿＿＿＿＿。

10. 已知分別是拋物線上兩點，為坐標原點，若的垂心恰好是此拋物線的焦點，則直線的方程為＿＿＿＿＿。

11. 過點（0，1）的直線與交于兩點，若的中點的橫坐標為，則＿＿＿。

12. 已知直線與拋物線交于兩點，那么線段的中點坐標是＿＿＿＿＿。

三. 解答題：

13. 已知拋物線頂點在原點，對稱軸為軸，拋物線上一點到焦點的距離是5，求拋物線的方程。

14. 過點（4，1）作拋物線的弦，恰被所平分，求所在直線方程。

15. 設點F（1，0），M點在軸上，點在軸上，且。

    ⑴當點在軸上運動時，求點的軌跡的方程；

    ⑵設是曲線上的三點，且成等差數列，當的垂直平分線與軸交于E（3，0）時，求點的坐標。

【綜合測試】

一. 選擇題：

1. （2005上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（    ）

    A. 有且僅有一條                       B. 有且僅有兩條

    C. 有無窮多條                           D. 不存在

2. （2005江蘇）拋物線上的一點到焦點的距離為1，則點的縱坐標是（   ）

    A.                   B.            C.             D. 0

3. （2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點，離心率為，若它的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線與拋物線的交點與原點的距離是（    ）

    A.              B.         C.              D. 21

4. （2005全國Ⅰ）已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線的離心率為（    ）

    A.                 B.                    C.          D.

5. （2004全國）設拋物線的準線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有公共點，則直線的斜率的取值范圍是（    ）

    A.                B.             C.           D.

6. （2006山東）動點是拋物線上的點，為原點，當時取得最小值，則的最小值為（    ）

    A.         B.         C.         D.

7. （2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內放一個小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積的取值范圍是（    ）

    A.            B.             C.            D.

8. （2005北京）設拋物線的準線為，直線與該拋物線相交于兩點，則點及點到準線的距離之和為（   ）

    A. 8               B. 7               C. 10                    D. 12

二. 填空題：

9. （2004全國Ⅳ）設是曲線上的一個動點，則點到點的距離與點到軸的距離之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10. （2005北京）過拋物線的焦點且垂直于軸的弦為，以為直徑的圓為，則圓與拋物線準線的位置關系是＿＿＿＿＿，圓的面積是＿＿＿＿＿。

11. （2005遼寧）已知拋物線的一條弦，，所在直線與軸交點坐標為（0，2），則＿＿＿＿＿。

12. （2004黃岡）已知拋物線的焦點在直線上，現將拋物線沿向量進行平移，且使得拋物線的焦點沿直線移到點處，則平移后所得拋物線被軸截得的弦長＿＿＿＿＿。

三. 解答題：

13. （2004山東）已知拋物線C：的焦點為，直線過定點且與拋物線交于兩點。

    ⑴若以弦為直徑的圓恒過原點，求的值；

    ⑵在⑴的條件下，若，求動點的軌跡方程。

14. （2005四川）

    如圖，是拋物線的焦點，點為拋物線內一定點，點為拋物線上一動點，的最小值為8。

    ⑴求拋物線方程；

    ⑵若為坐標原點，問是否存在點，使過點的動直線與拋物線交于兩點，且，若存在，求動點的坐標；若不存在，請說明理由。

15. （2005河南）已知拋物線，為頂點，為焦點，動直線與拋物線交于兩點。若總存在一個實數，使得。

    ⑴求；

    ⑵求滿足的點的軌跡方程。