自相關(guān)函數(shù)，功率譜與白噪聲

 如果Xt是一個(gè)二階穩(wěn)態(tài)過(guò)程，即均值和方差不隨時(shí)間而變化。，此時(shí)相關(guān)函數(shù)只是時(shí)間差τ=s-t的一個(gè)函數(shù)，則上式可重寫(xiě)為：

 這就是統(tǒng)計(jì)學(xué)上的自相關(guān)函數(shù)。

就這么個(gè)玩意，表達(dá)了個(gè)什么意思呢？

讓我們把期望展開(kāi)來(lái)看，也就是當(dāng)隨機(jī)變量序列有樣本點(diǎn)時(shí)：

 

可以看出同統(tǒng)計(jì)中的形式相似，所以，信號(hào)處理中的自相關(guān)函數(shù)，同樣也反映同一個(gè)信號(hào)在不同時(shí)刻取值間的相關(guān)程度。若信號(hào)呈周期性，則當(dāng)τ取相應(yīng)的周期值時(shí)，自相關(guān)函數(shù)可取得最大值。所以，可以通過(guò)自相關(guān)函數(shù)來(lái)分析函數(shù)周期性。

在圖像處理里，常應(yīng)用到的是標(biāo)準(zhǔn)化互相關(guān)函數(shù)（Normalized Cross-Correlation，NCC）。比如，NCC在圖像模板匹配時(shí)可用于度量匹配距離。NCC表達(dá)形式，或本質(zhì)和統(tǒng)計(jì)里的相關(guān)函數(shù)一致。

圖像減掉均值，就具有了亮度不變性，然后再除以標(biāo)準(zhǔn)差，就具有了對(duì)比度不變性。就是說(shuō)，NCC度量距離具有在亮度和對(duì)比度變化下的穩(wěn)定性。

相關(guān)函數(shù)，就說(shuō)到這里，現(xiàn)在開(kāi)始由相關(guān)函數(shù)引到功率譜上。

功率譜或有時(shí)叫能量譜（power spectrum），或又叫功率密度譜（power density spectrum），或叫譜密度（spectral density或power spectral density），雖然 名字很多，但總還是靠譜。

 即對(duì)所有頻率下的能量積分或求和，就是信號(hào)的總能量。從這里也可以看出，功率譜表達(dá)的是信號(hào)某個(gè)頻率下所擁有的能量。事實(shí)上，功率譜和直方圖有很大的相似性。當(dāng)直方圖用于統(tǒng)計(jì)一個(gè)信號(hào)，每個(gè)頻率區(qū)間中的能量時(shí)，其意義就和功率譜一致。

如何計(jì)算信號(hào)的功率譜呢？維納-辛欽定理（Wiener-Khinchine Theorem）給出了一種計(jì)算方法:

首先用文字表述，一個(gè)信號(hào)的功率譜密度就是該信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。

所以，當(dāng)知道一個(gè)信號(hào)的傅里葉變換時(shí)，也可以直接求出該信號(hào)的功率譜。

至于維納辛欽定理是怎么來(lái)的。知道當(dāng)然 是好的，但是不知道也不要緊。重要的是理解功率譜的意義，并且會(huì)使用維納辛欽定理計(jì)算功率譜。

那么功率譜有什么用呢？

每個(gè)信號(hào)f(t)只有唯一的功率譜，雖然反過(guò)來(lái)未必成立。但功率譜是信號(hào)的一種屬性。有這種屬性，再加上別的一些屬性，就可以用于區(qū)分信號(hào)了。比如在圖像處理里，將圖像函數(shù)看做一個(gè)信號(hào)函數(shù)，對(duì)圖像某一區(qū)塊其進(jìn)行上述標(biāo)準(zhǔn)化互相關(guān)函數(shù)中講到的亮度和對(duì)比度不變性處理后，進(jìn)行傅里葉變換，并最后算出圖像功率譜，于是就有了一個(gè)很好的以頻率表達(dá)的可用于模板匹配的模板屬性。這就是圖像處理中所說(shuō)的，把對(duì)圖像處理的時(shí)空域內(nèi)思考，轉(zhuǎn)化到頻域。可以使一些在時(shí)空域較難處理的問(wèn)題，在頻域里找到直觀(guān)簡(jiǎn)便的解決方案。

 有了功率譜的概念，就可以談?wù)?i>白噪音（White noise）了。

白噪聲或白噪聲，是一種功率譜密度為常數(shù)的隨機(jī)信號(hào)或隨機(jī)過(guò)程。功率譜密度為常數(shù)，也就是說(shuō)，信號(hào)在各個(gè)頻率上的能量相同。由于白光是不同頻率的各色光混雜而成，所以同樣在不同頻率下具有想等能量的噪音被稱(chēng)為“白”的。

但是功率譜密度為常數(shù)又說(shuō)明了什么呢？

如上所述，功率譜可由自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換得到。繼續(xù)如上所述，自相關(guān)函數(shù)可以反映一個(gè)函數(shù)的周期性。那么自相關(guān)函數(shù)經(jīng)傅里葉變換后的功率譜也一樣。而且，周期和頻率原本就是一回事。如果某函數(shù)的頻率譜在某個(gè)頻率下取得很大的值，那么說(shuō)明此函數(shù)具有一定的周期性。而對(duì)于白噪聲而言，頻率譜在所有頻率下取值相同，就是說(shuō)能量和頻率沒(méi)有關(guān)系，也就是說(shuō)，能量和周期沒(méi)有關(guān)系。所以白噪聲不具有周期性。

既然自相關(guān)函數(shù)已經(jīng)可以表達(dá)這個(gè)意思了，為什么還要再傅里葉變換一下，來(lái)表達(dá)同一個(gè)意思。這不是脫了。。。（這里省略四個(gè)字）。。。，多加一道手續(xù)嗎？事實(shí)上，從上面維納-辛欽定理可以看出，信號(hào)的頻率譜可以直接由信號(hào)的傅里葉變換得到，而快速傅里葉變換（FFT）能提供一個(gè)高效的計(jì)算手段。這往往比計(jì)算自相關(guān)函數(shù)要更高效和直接。

好，繼續(xù)說(shuō)白噪聲。如果白噪聲描述的是時(shí)間信號(hào)，那不具有周期性就是說(shuō)，信號(hào)強(qiáng)度和時(shí)間不相關(guān)。回憶卡爾曼濾波（Kalman Filter）的三個(gè)應(yīng)用假設(shè)：

1.系統(tǒng)是線(xiàn)性的。

2.系統(tǒng)狀態(tài)噪音是白噪音

3.系統(tǒng)狀態(tài)噪音是高斯形式。

卡爾曼濾波中狀態(tài)變量的后驗(yàn)概率可以表示如下：
 
PS：
文中為了給出公式，用了很多圖片，如果因網(wǎng)絡(luò)原因看不到圖片的話(huà)，可向我索要word版，或pdf版。
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