無(wú)窮大能比大小嗎

無(wú)窮大指比任何自然數(shù)都要大的量，要了解這個(gè)量是怎么來(lái)的，就要從集合談起。集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。無(wú)窮集合的處理決定了極限、測(cè)度、分析、概率、幾何，這些嚴(yán)謹(jǐn)理論的理解。學(xué)理工很多人接觸過(guò)無(wú)窮集合的概念，也許知道些背后的公理，只是一般的課程都語(yǔ)焉不詳，網(wǎng)上文章抄來(lái)抄去，在表面字義上引申發(fā)揮。其實(shí)這些知識(shí)并不深?yuàn)W，與其霧里看花，不如花一點(diǎn)時(shí)間在邏輯上弄懂。這篇普及文只假定你有簡(jiǎn)單的集合概念【1】，除此不需要其他預(yù)備知識(shí)，按照純數(shù)學(xué)教科書證明的思路，加上點(diǎn)形象的說(shuō)法，讓你很快了解這里的概念，從邏輯上想通之間的關(guān)系。要想有收獲，下面內(nèi)容要在頭腦用邏輯里過(guò)一遍。

有限集合和自然數(shù)集合的元素，都是可以被逐個(gè)數(shù)到的。如果一個(gè)集合里的元素都能夠按某種次序數(shù)到，在數(shù)學(xué)上稱為“可數(shù)的”（Countable），這集合便稱為“可數(shù)集”或“可列集”。 整數(shù)是可數(shù)的，因?yàn)閺?開(kāi)始，依1、-1、2、-2、3、-3…，一正一負(fù)地走遠(yuǎn)，任何整數(shù)都能按這規(guī)則被數(shù)到。偶數(shù)可以用同樣方法數(shù)過(guò)，它也是可數(shù)的。輪流對(duì)兩個(gè)集合上元素依序點(diǎn)數(shù)走遍全體，說(shuō)明了可數(shù)集的并集也是可數(shù)的。這個(gè)通俗化的語(yǔ)言定義中有個(gè)關(guān)鍵詞“被數(shù)到”，就是說(shuō)集合中任何一個(gè)具體的元素，都會(huì)按這規(guī)則對(duì)應(yīng)著一個(gè)有限的序數(shù)。

由集合可以定義一個(gè)數(shù)，稱為集合的“基數(shù)”或者“勢(shì)”（Cardinal number），集合A的勢(shì)記為|A|。有限集合的勢(shì)是集合中元素的數(shù)量，是個(gè)正整數(shù)。自然數(shù)集合N有無(wú)窮多個(gè)元素，數(shù)量是無(wú)窮大，它的勢(shì)記為?0（這個(gè)希伯來(lái)字母?念作“阿列夫”），|N|=?0?？占膭?shì)是0， |?| =0。

勢(shì)能比較嗎？康托爾（Cantor）提出個(gè)一一對(duì)應(yīng)的辦法。如果兩個(gè)集合的元素存在著一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系【2】，即如果按照某種規(guī)則，一個(gè)集合中任何一個(gè)元素都能在另一集合中找到唯一的一個(gè)元素與之相應(yīng)，反過(guò)來(lái)也一樣，則說(shuō)這它們的勢(shì)相等。如果集合A對(duì)集合B有這樣的對(duì)應(yīng)規(guī)則，則集合B的勢(shì)可能比A大，記為|B|≥|A|；但反過(guò)來(lái)時(shí)卻沒(méi)有這樣對(duì)應(yīng)規(guī)則的，則說(shuō)集合B的勢(shì)比A大，記為|B|>|A|，俗稱集合B比A多。例如：每個(gè)公民有張身份證，公民的集合和身份證的集合等勢(shì)；5個(gè)蘋果的集合比紅、黃、綠3種顏色的集合勢(shì)大；網(wǎng)上馬甲集合的勢(shì)比博主集合的勢(shì)大；?0 > n，n是任何自然數(shù)。不難證明勢(shì)的大小關(guān)系“≥”和“>”如同自然數(shù)的大小一樣，具有反對(duì)稱性和傳遞性；“≥”還有返身性。

在可數(shù)集的定義中，集合的元素被逐個(gè)數(shù)到的辦法，就是它與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)的映射，所以可數(shù)集的勢(shì)都是一樣的，與自然數(shù)等勢(shì)，為?0. 我們知道偶數(shù)只是整數(shù)的一部分，自然數(shù)也只是整數(shù)的一部分，它們都是可數(shù)集，勢(shì)相等。這是無(wú)窮集合的一個(gè)反直覺(jué)的性質(zhì)：局部可以和全體一樣多！所以，涉及到無(wú)窮時(shí)必須很小心，直覺(jué)不可靠，只能憑借于邏輯了。

有理數(shù)也是可數(shù)的。將不可通約的正的真分?jǐn)?shù)，按照分母和分子從小到大排列如下：

1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5，1/6，5/6，1/7，2/7，……

這樣它們?nèi)魏我粋€(gè)都能無(wú)一遺漏地被數(shù)到，即正真分?jǐn)?shù)是可數(shù)的。所有大于1的分?jǐn)?shù)都是正真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，這倒數(shù)一一對(duì)應(yīng)說(shuō)明了它們等勢(shì)，都是可數(shù)的。有理數(shù)是這兩者的并集，再加上0和1。前面說(shuō)過(guò)，可數(shù)集的并也是可數(shù)的，這就證明了，有理數(shù)集合Q也是可數(shù)的，|Q|=?0。

無(wú)窮集合都是可數(shù)的嗎？不，實(shí)數(shù)就不是。這個(gè)證明如下：

假如（0，1）區(qū)間的實(shí)數(shù)也是可數(shù)的，那么這里任何一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)著一個(gè)自然數(shù)n，排成一個(gè)序列，表中第n個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示為F(n)=0.a(n,1)a(n,2)a(n,3)...，這里a(n,k)是序列中F(n)的第k位小數(shù)的數(shù)字?，F(xiàn)在定義一個(gè)新的實(shí)數(shù)b=0.b(1)b(2)b(3)...，其中的b(k)=7如果 a(k,k)=5，否則 b(k)=5。因?yàn)閎的每一位小數(shù)都和順序表中任何一個(gè)實(shí)數(shù)不一樣，這個(gè)b不可能在這表中。但順序表假定是列出了所有（0，1）區(qū)間的實(shí)數(shù)。這個(gè)矛盾證明了實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。

這是康托爾在1891年的證明用的“對(duì)角線法”技巧，其邏輯精彩絕綸，自此以后它的思想被大家借用，解決了一些難題。哥德?tīng)柕牟煌陚湫远ɡ恚潢P(guān)鍵部分也是用了對(duì)角線法的思想。如果你還一下子轉(zhuǎn)不過(guò)來(lái)，我再舉例說(shuō)明這個(gè)精妙的思想。

如果小于1的正實(shí)數(shù)是可數(shù)的，它可以按某種次序列表出來(lái)，比如說(shuō)這次序表的前6個(gè)如下：

F(1)=0.3132789…

F(2)=0.5674321…

F(3)=0.3355212…

F(4)=0.9823133…

F(5)=0.0042523…

F(6)=0.3214563…

……

為了醒目，我將其中的對(duì)角線元素a(k,k)用黑體字表示。現(xiàn)在新造出一個(gè)實(shí)數(shù)b來(lái)，這個(gè)b的第k位小數(shù)，是根據(jù)順序表中，第k個(gè)實(shí)數(shù)的第k位的數(shù)值（這對(duì)角線上的黑體數(shù)字）而定，按照上面說(shuō)的規(guī)則構(gòu)造出的實(shí)數(shù)是b=0.557575…

這個(gè)數(shù)b不可能在這順序表中，因?yàn)樗绻潜碇械趎個(gè)實(shí)數(shù)，b=F(n)，那它們的第n位小數(shù)不相等a(n,n)≠b(n)，這是構(gòu)造b時(shí)挖的坑，矛盾了。也就是說(shuō)實(shí)數(shù)不是可數(shù)的。自然數(shù)是實(shí)數(shù)的一部分，所以實(shí)數(shù)的勢(shì)比自然數(shù)和有理數(shù)大。稱為不可數(shù)集。實(shí)數(shù)R的勢(shì)，稱為連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)，記為c，|R|=c >?0.

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的并集是實(shí)數(shù)，有理數(shù)是可數(shù)的，實(shí)數(shù)是不可數(shù)的，所以無(wú)理數(shù)也是不可數(shù)的。無(wú)理數(shù)比有理數(shù)多，而且“多得多”！

能夠成為整系數(shù)代數(shù)方程根的實(shí)數(shù)稱為代數(shù)數(shù)，不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)稱為超越數(shù)。當(dāng)人們正在討論是否存在超越數(shù)時(shí)，康托爾手里還沒(méi)有一個(gè)超越數(shù)，通過(guò)證明代數(shù)數(shù)是可數(shù)的，他就敢斷言超越數(shù)不僅存在而且是不可數(shù)的多。

這集合的勢(shì)有沒(méi)有上限？康托爾說(shuō)沒(méi)有。把集合A的所有子集看成一個(gè)新的集合，記為2A，康托爾以構(gòu)造羅素悖論的相同思路，用反證法證明了|2A |>|A|，這稱為Cantor’s theorem。集合A的所有子集的勢(shì)也可以記為2|A| =|2A |，當(dāng)A是有限集合時(shí)，不難驗(yàn)證這個(gè)整數(shù)意義下的等式成立。

實(shí)數(shù)可以用0和1來(lái)表示，每一個(gè)實(shí)數(shù)中的數(shù)字為1的位數(shù)集合，比如說(shuō)10.101，一一對(duì)應(yīng)著整數(shù)的一個(gè)子集，例如是{2，-1，-3}，也就是實(shí)數(shù)與可數(shù)集上所有子集集合的勢(shì)相等，c=2?0。

所有集合的勢(shì)都可以比較嗎？對(duì)有限集合肯定沒(méi)問(wèn)題，無(wú)窮集合中的可數(shù)集，實(shí)數(shù)集，集合和它子集的集合，上面都給出了肯定的答案。其他的無(wú)窮集的勢(shì)呢？它們也是無(wú)窮大，既然有不同的無(wú)窮大，它們都能比較嗎？用數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)是：集合勢(shì)的大小關(guān)系是良序的嗎？這個(gè)問(wèn)題在樸素集合論中不能回答，也不能在ZF公理系統(tǒng)【3】中得到答案，人們?cè)赯F中增加了一條公理叫選擇公理CH，它與良序性等價(jià)。有了它所有的集合勢(shì)就都可以比較了。

接下去第二個(gè)問(wèn)題，到底有沒(méi)有集合的勢(shì)在c 和 ?0之間？康托爾認(rèn)為沒(méi)有，這稱為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)CH。【4】更強(qiáng)的廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)GCH是說(shuō)在|2A |和|A|之間不存在著其他的勢(shì)。哥德?tīng)栐?940年證明了這個(gè)假設(shè)與集合論ZFC公理下是不矛盾的，科恩在1963年證明了它們是獨(dú)立的。至今這個(gè)問(wèn)題仍被人們討論。【4】

至此，無(wú)窮大的比較問(wèn)題似乎已經(jīng)有了清楚的答案，雖然在公理的依據(jù)上有些爭(zhēng)論。這是主流數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問(wèn)題的答案，在這個(gè)基礎(chǔ)上建立起了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大廈。

上述無(wú)窮大的反直覺(jué)的性質(zhì)，讓一些喜歡直覺(jué)的人很不舒服。他們認(rèn)為無(wú)窮集合不能像有限的那樣，可以逐個(gè)檢查驗(yàn)證，上面結(jié)果的幾個(gè)關(guān)鍵證明，都是采用反證法的思辨。荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾認(rèn)為經(jīng)典邏輯是從有限集合的數(shù)學(xué)抽象出來(lái)，沒(méi)有理由運(yùn)用到無(wú)窮集合中。1908年，他反對(duì)把排中律運(yùn)用于無(wú)窮集合上，也就是說(shuō)在無(wú)窮情況下，不能用反證法。抽去了反證法這個(gè)支柱，這個(gè)無(wú)窮集合勢(shì)的大廈轟然崩潰?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分結(jié)果都要重新考證。他認(rèn)為除了可數(shù)集合之外，沒(méi)有其他無(wú)窮集合，數(shù)學(xué)無(wú)窮集合只有一個(gè)勢(shì)，即可數(shù)無(wú)窮。只有一種無(wú)窮大！

康托爾幾乎憑借著一己之力掀起思想革命，提供了平定數(shù)學(xué)界混亂的基礎(chǔ)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)領(lǐng)袖希爾伯特信心滿滿地帶領(lǐng)大家在上面建造新的大廈，布勞威爾的宣言幾乎是破壞這安定團(tuán)結(jié)的反動(dòng)，將數(shù)學(xué)帶回這革命前的混亂，希爾伯特終于忍無(wú)可忍地回應(yīng)：“把排中律排除在數(shù)學(xué)之外，就像禁止拳手使用拳頭?！辈紕谕柤みM(jìn)的性格終于使得這矛盾不可協(xié)調(diào)，被排斥出主流數(shù)學(xué)界。

布勞威爾是數(shù)學(xué)直覺(jué)主義的創(chuàng)始人，堅(jiān)持所有數(shù)學(xué)對(duì)象必須是可以構(gòu)造的，不能用排中律。上世紀(jì)三十年代初，由于哥德?tīng)柕墓ぷ?，一些?shù)學(xué)家開(kāi)始重視直覺(jué)主義，但與主流數(shù)學(xué)的汪洋大海相比，直覺(jué)主義與后來(lái)比較溫和的構(gòu)造主義取得的成果就非常有限了。最令人尷尬的是，布勞威爾一生最偉大的成就——布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，卻是用自己所極力反對(duì)的，非構(gòu)造性的方法來(lái)證明的。

我們?cè)谶@里看到數(shù)學(xué)的矛盾和爭(zhēng)論，看到反復(fù)斟酌的公理。有人疑惑到底這些公理對(duì)不對(duì)？到底是信仰還是事實(shí)，在矛盾之中，哪個(gè)是真理？這是對(duì)數(shù)學(xué)不理解了，數(shù)學(xué)的研究是從一些非?；镜募僭O(shè)中，應(yīng)用邏輯來(lái)看能夠走多遠(yuǎn)，能夠得到什么有用的結(jié)論。這些假設(shè)只要是自洽的，無(wú)關(guān)對(duì)錯(cuò)，只關(guān)是否有用，能否在應(yīng)用時(shí)被接受。構(gòu)成數(shù)學(xué)體系稱為公理的假設(shè)，很多是非?；窘醵x性的同語(yǔ)反復(fù)。還有一些公理被引入，是為了修補(bǔ)支撐已在實(shí)踐中被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)結(jié)果和工具。被排斥的一些公理，不是因?yàn)殄e(cuò)了，而是假設(shè)太強(qiáng)了，在這假設(shè)下得不到足夠廣泛有用的結(jié)果。

喜歡數(shù)學(xué)對(duì)一些基礎(chǔ)問(wèn)題感興趣的朋友，建議花點(diǎn)時(shí)間學(xué)習(xí)“點(diǎn)集拓?fù)洹?，即使是只學(xué)一兩章也可以受益無(wú)窮，上述關(guān)于無(wú)窮集合的內(nèi)容，只占General Topology【5】，第一章的中間部分，不到幾頁(yè)的內(nèi)容，除了邏輯的頭腦，幾乎不需要其他基礎(chǔ)?，F(xiàn)代的分析數(shù)學(xué)是建立在在點(diǎn)集之上，由子集定義開(kāi)集，用開(kāi)集構(gòu)造拓?fù)淇臻g，引進(jìn)鄰域，在此定義收斂，連續(xù)，緊，距離，連通性，各種空間。數(shù)學(xué)系統(tǒng)所的程代展和我都曾經(jīng)在國(guó)內(nèi)修過(guò)分析和泛函，到美國(guó)第一年學(xué)了兩個(gè)學(xué)期的拓?fù)?，像中學(xué)生一樣一道道題做，把各塊石頭都摸過(guò)，這讓我們對(duì)數(shù)學(xué)有種脫胎換骨的感覺(jué)。在這個(gè)基礎(chǔ)上重學(xué)了測(cè)度、隨機(jī)過(guò)程、微分幾何才覺(jué)得腳下是堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，一切概念和原理都可以回溯追問(wèn)到集合的公理為止。這時(shí)候才感到：數(shù)學(xué)，不是教你怎么計(jì)算的，而是怎么引進(jìn)假設(shè)，合乎邏輯地思考。

【參考資料】

【1】維基百科，集合     http://zh./wiki/%E9%9B%86%E5%90%88_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

【2】百度百科，映射http://baike.baidu.com/view/21249.htm

【3】Wiki, Zermelo–Fraenkel set theoryhttp://en./wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory

【4】Wiki, Continuum hypothesis http://en./wiki/Continuum_hypothesis

【5】Stephen Willard，General Topology， Addison-Wesley（1970）