邏輯回歸算法的原理及實現(LR)

Logistic回歸雖然名字叫”回歸” ，但卻是一種分類學習方法。使用場景大概有兩個：第一用來預測，第二尋找因變量的影響因素。邏輯回歸(Logistic Regression, LR)又稱為邏輯回歸分析，是分類和預測算法中的一種。通過歷史數據的表現對未來結果發生的概率進行預測。例如，我們可以將購買的概率設置為因變量，將用戶的特征屬性，例如性別，年齡，注冊時間等設置為自變量。根據特征屬性預測購買的概率。邏輯回歸與回歸分析有很多相似之處，在開始介紹邏輯回歸之前我們先來看下回歸分析。

回歸分析用來描述自變量x和因變量Y之間的關系，或者說自變量X對因變量Y的影響程度，并對因變量Y進行預測。其中因變量是我們希望獲得的結果，自變量是影響結果的潛在因素，自變量可以有一個，也可以有多個。一個自變量的叫做一元回歸分析，超過一個自變量的叫做多元回歸分析。

下面是一組廣告費用和曝光次數的數據，費用和曝光次數一一對應。其中曝光次數是我們希望知道的結果，費用是影響曝光次數的因素，我們將費用設置為自變量X，將曝光次數設置為因變量Y，通過一元線性回歸方程和判定系數可以發現費用(X)對曝光次數(Y)的影響。

以下為一元回歸線性方式，其中y是因變量，X是自變量，我們只需求出截距b0和斜率b1就可以獲得費用和曝光次數之間的關系，并對曝光次數進行預測。這里我們使用最小二乘法來計算截距b0和斜率b1。最小二乘法通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。

下表中是使用最小二乘法計算回歸方程的一些必要的計算過程。在表中最左側的兩列分別為自變量X和因變量Y，我們首先計算出自變量和因變量的均值，然后計算每一個觀測值與均值的差，以及用于計算回歸方程斜率b1所需的數據。

根據表中的數據按公式計算出了回歸方程的斜率b1，計算過程如下。斜率表示了自變量和因變量間的關系，斜率為正表示自變量和因變量正相關，斜率為負表示自變量和因變量負相關，斜率為0表示自變量和因變量不相關。

求得斜率b1后，按下面的公式可以求出Y軸的截距b0。

將斜率b1和截距b0代入到回歸方程中，通過這個方程我們可以獲得自變量和因變量的關系，費用每增加1元，曝光次數會增長7437次。以下為回歸方程和圖示。

在回歸方程的圖示中，還有一個R^2，這個值叫做判定系數，用來衡量回歸方程是否很好的擬合了樣本的數據。判定系數在0-1之間，值越大說明擬合的越好，換句話說就是自變量對因變量的解釋度越高。判定系數的計算公式為SST=SSR+SSE，其中SST是總平方和，SSR是回歸平方和，SSE是誤差平方和。下表為計算判定系數所需三個指標的一些必要的計算過程。

根據前面求得的回歸平方和(SSR)和總平方和(SST)求得判定系數為0.94344。

以上為回歸方程的計算過程，在根據費用預測曝光數量的場景下，我們可以通過回歸方程在已知費用的情況下計算出曝光數量。邏輯回歸與回歸方程相比在線性回歸的基礎上增加了一個邏輯函數。例如通過用戶的屬性和特征來判斷用戶最終是否會進行購買。其中購買的概率是因變量Y，用戶的屬性和特征是自變量X。Y值越大說明用戶購買的概率越大。這里我們使用事件發生的可能性（odds）來表示購買與未購買的比值。

使用E作為購買事件，P(E)是購買的概率，P(E’)是未購買的概率，Odds(E)是事件E(購買)發生的可能性。

Odds是一個從0到無窮的數字，Odds的值越大，表明事件發生的可能性越大。下面我們要將Odds轉化為0-1之間的概率函數。首先對Odds取自然對數，得到logit方程，logit是一個范圍在負無窮到正無窮的值。

基于上面的logit方程，獲得以下公式：

其中使用π替換了公式中的P(E),π=P(E)。根據指數函數和對數規則獲得以下公式：

并最終獲得邏輯回歸方程：

下面根據邏輯回歸方程來計算用戶購買的概率，下表是用戶注冊天數和是否購買的數據，其中注冊天數是自變量X，是否購買是自變量Y。我們將購買標記為1，將未購買標記為0。

接下來我們將在Excel中通過8個步驟計算出邏輯回歸方程的斜率和截距。并通過方程預測新用戶是否會購買。

• 第一步，使用Excel的排序功能對原始數據按因變量Y進行排序，將已購買和未購買的數據分開，使得數據特征更加明顯。
• 第二步，按照Logit方程預設斜率b1和截距b0的值，這里我們將兩個值都預設為0.1。后續再通過Excel求最優解。
• 第三步，按照logit方程，使用之前預設的斜率和截距值計算出L值。

• 第四步，將L值取自然對數，
• 第五步，計算P(X)的值，P(X)為事件發生的可能性(Odds)。
• 具體的計算步驟和過程見下圖。

• 第六步，計算每個值的對數似然函數估計值（Log-Likelihood）。方法和過程見下圖。
• 第七步，將對數似然函數值進行匯總。

• 第八步，使用Excel的規劃求解功能，計算最大對數似然函數值。方法和過程見下圖。設置匯總的對數似然函數值LL為最大化的目標，預設的斜率b1和截距b0是可變單元格，取消”使無約束變量為非負數”的選項。進行求解。

Excel將自動求出邏輯回歸方程中斜率和截距的最優解，結果如下圖所示。

求得邏輯回歸方程的斜率和截距以后，我們可以將值代入方程，獲得一個注冊天數與購買概率的預測模型，通過這個模型我們可以對不同注冊天數(X)用戶的購買概率(Y)進行預測。以下為計算過程。

• 第一步，輸入自變量注冊天數(X)的值，這里我們輸入50天。
• 第二步，將輸入的X值，以及斜率和截距套入Logit方程，求出L值。
• 第三步，對L值取自然對數。
• 第四步，求時間發生可能性P(X)的概率值。

注冊天數為50天的用戶購買的概率約為17.60%。

我們將所有注冊天數的值代入到購買概率預測模型中，獲得了一條注冊天數對購買概率影響的曲線。從曲線中可以發現，注冊天數在較低和較高天數的用戶購買概率較為平穩。中間天數用戶的購買概率變化較大。

我們繼續在上面的計算結果中增加新的自變量“年齡”。以下是原始數據的截圖。現在有年齡和注冊天數兩個自變量和一個因變量。

依照前面的方法計算斜率和截距的最優解，并獲得邏輯回歸方程，將不同的年齡和注冊天數代入到方程中，獲得了用戶年齡和注冊天數對購買的預測模型。我們通過Excel的三維圖表來繪制年齡和注冊天數對購買概率的影響。

從圖中可以看出，購買概率隨著注冊天數的增加而增長，并且在相同的注冊天數下，年齡較小的用戶購買概率相對較高。

轉載于: http:///2016-05-18/logistic-regression.html#ixzz4RbUh8R3T

一 從線性回歸到Logistic回歸

線性回歸和Logistic回歸都是廣義線性模型的特例。

假設有一個因變量y和一組自變量x₁, x₂, x₃, ... , x_n，其中y為連續變量，我們可以擬合一個線性方程：

y =β₀ +β₁*x₁ +β₂*x₂ +β₃*x₃ +...+β_n*x_n

并通過最小二乘法估計各個β系數的值。

如果y為二分類變量，只能取值0或1，那么線性回歸方程就會遇到困難: 方程右側是一個連續的值，取值為負無窮到正無窮，而左側只能取值[0,1]，無法對應。為了繼續使用線性回歸的思想，統計學家想到了一個變換方法，就是將方程右邊的取值變換為[0,1]。最后選中了Logistic函數：

y = 1 / (1+e^-x)

這是一個S型函數，值域為(0,1)，能將任何數值映射到(0,1)，且具有無限階可導等優良數學性質。

我們將線性回歸方程改寫為：

y = 1 / (1+e^-z),

其中，z =β₀ +β₁*x₁ +β₂*x₂ +β₃*x₃ +...+β_n*x_n

此時方程兩邊的取值都在0和1之間。

進一步數學變換，可以寫為：

Ln(y/(1-y)) =β₀ +β₁*x₁ +β₂*x₂ +β₃*x₃ +...+β_n*x_n

Ln(y/(1-y))稱為Logit變換。我們再將y視為y取值為1的概率p(y=1)，因此，1-y就是y取值為0的概率p(y=0)，所以上式改寫為：

p(y=1) = e^z/(1+e^z),

p(y=0) = 1/(1+e^z),

其中，z =β₀ +β₁*x₁ +β₂*x₂ +β₃*x₃ +...+β_n*x_n.

接下來就可以使用”最大似然法”估計出各個系數β。

二 odds與OR復習

      odds: 稱為幾率、比值、比數，是指某事件發生的可能性(概率)與不發生的可能性（概率）之比。用p表示事件發生的概率，則：odds = p/(1-p)。

      OR：比值比，為實驗組的事件發生幾率(odds1)/對照組的事件發生幾率(odds2)。 

三 Logistic回歸結果的解讀

      我們用一個例子來說明，這個例子中包含200名學生數據，包括1個自變量和4個自變量：

      因變量:  hon，表示學生是否在榮譽班(honors class)，1表示是，0表示否；

      自變量：

      female ：性別，分類變量，1=女，0=男

      read: 閱讀成績，為連續變量

      write: 寫作成績，為連續變量

      math：數學成績，為連續變量 

      1、不包含任何變量的Logistic回歸

      首先擬合一個不包含任何變量的Logistic回歸，

      模型為 ln(p/(1-p) =β₀

      回歸結果如下（結果經過編輯）：

      這里的系數β就是模型中的β₀ = -1.12546，

      我們用p表示學生在榮譽班的概率，所以有ln(p/(1-p) =β₀ = -1.12546，

      解方程得：p = 0.245。

      odds = p/1-p = 0.3245

      這里的p是什么意思呢？p就是所有數據中hon=1的概率。

      我們來統計一下整個hon的數據:

      hon取值為1的概率p為49/(151+49) = 24.5% = 0.245，我們可以手動計算出ln(p/(1-p) = -1.12546，等于系數β₀。可以得出關系：

      β₀=ln(odds)。

      2、包含一個二分類因變量的模型

      擬合一個包含二分類因變量female的Logistic回歸，

      模型為 ln(p/(1-p)  =β₀ +β₁* female.

      回歸結果如下（結果經過編輯）：

      在解讀這個結果之前，先看一下hon和female的交叉表：

根據這個交叉表，對于男性（Male），其處在榮譽班級的概率為17/91，處在非榮譽班級的概率為74/91，所以其處在榮譽班級的幾率odds1=(17/91)/(74/91) = 17/74 = 0.23；相應的，女性處于榮譽班級的幾率odds2 = (32/109)/(77/109)=32/77 = 0.42。女性對男性的幾率之比OR = odds2/odds1 = 0.42/0.23 = 1.809。我們可以說，女性比男性在榮譽班的幾率高80.9%。

回到Logistic回歸結果。截距的系數-1.47是男性odds的對數（因為男性用female=0表示，是對照組），ln(0.23) = -1.47。變量female的系數為0.593，是女性對男性的OR值的對數，ln(1.809) = 0.593。所以我們可以得出關系: OR = exp(β)，或者β= ln(OR)（exp(x)函數為指數函數，代表e的x次方）。 

      3、包含一個連續變量的模型

      擬合一個包含連續變量math的Logistic回歸，

      模型為 ln(p/(1-p)  =β₀ +β₁* math.

      回歸結果如下（結果經過編輯）：

      這里截距系數的含義是在榮譽班中math成績為0的odds的對數。我們計算出odds = exp(-9.793942) = .00005579，是非常小的。因為在我們的數據中，沒有math成績為0的學生，所以這是一個外推出來的假想值。

      怎么解釋math的系數呢？根據擬合的模型，有：

      ln(p/(1-p)) =  - 9.793942  + .1563404*math

      我們先假設math=54，有：

      ln(p/(1-p))(math=54) = - 9.793942 + .1563404 *54

      然后我們把math提高提高一個單位，令math=55，有：

      ln(p/(1-p))(math=55) = - 9.793942 + .1563404 *55

      兩者之差：

      ln(p/(1-p))(math=55) - ln(p/1-p))(math = 54) = 0.1563404.

      正好是變量math的系數。

      由此我們可以說，math每提高1個單位，odds（即p/(1-p)，也即處于榮譽班的幾率）的對數增加0.1563404。

      那么odds增加多少呢？根據對數公式：

      ln(p/(1-p))(math=55) - ln(p/1-p))(math = 54) = ln((p/(1-p)(math=55)/ (p/(1-p)(math=54))) = ln(odds(math=55)/ odds(math=54)) = 0.1563404.

      所以：

      odds(math=55)/ odds(math=54)  =  exp(0.1563404) = 1.169.

      因此我們可以說，math每升高一個單位，odds增加16.9%。且與math的所處的絕對值無關。

      聰明的讀者肯定發現，odds(math=55)/ odds(math=54)不就是OR嘛！

      4、包含多個變量的模型（無交互效應）

      擬合一個包含female、math、read的Logistic回歸，

      模型為 ln(p/(1-p) = β₀ +β₁* math+β₂* female+β₃* read.

      回歸結果如下（結果經過編輯）：

      該結果說明:

     （1） 性別：在math和read成績都相同的條件下，女性（female=1）進入榮譽班的幾率（odds）是男性（female=0）的exp(0.979948) = 2.66倍，或者說，女性的幾率比男性高166%。

     （2） math成績：在female和read都相同的條件下，math成績每提高1，進入榮譽班的幾率提高13%（因為exp(0.1229589) = 1.13）。

     （3）read的解讀類似math。

      5、包含交互相應的模型

      擬合一個包含female、math和兩者交互相應的Logistic回歸，

      模型為 ln(p/(1-p)  =β₀ +β₁* female+β₂* math+β₃* female *math.

      所謂交互效應，是指一個變量對結果的影響因另一個變量取值的不同而不同。

      回歸結果如下（結果經過編輯）：

      注意：female*math項的P為0.21，可以認為沒有交互相應。但這里我們為了講解交互效應，暫時忽略P值，姑且認為他們是存在交互效應的。

      由于交互效應的存在，我們就不能說在保持math和female*math不變的情況下，female的影響如何如何，因為math和female*math是不可能保持不變的!

      對于這種簡單的情況，我們可以分別擬合兩個方程，

      對于男性（female=0）：

      log(p/(1-p))= β₀ + β₂*math.

      對于女性（female=1）：

      log(p/(1-p))= (β₀ + β₁) + (β₂ + β₃ )*math.

      然后分別解釋。

分類變量（啞變量）的處理及解讀

一、啞變量的設置方法

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