【必修2】空行間幾何體·易錯警示9點

在解答關(guān)于空間幾何體概念的判斷題時,要注意緊扣定義,這就需要我們熟悉各種空間幾何體概念的內(nèi)涵和外延,切忌只憑圖形主觀臆斷,如本例若意識不到棱臺各側(cè)棱延長后交于一點則會致錯.

對如圖所示的幾何體描述正確的為　　　　(填序號). 

①這是一個六面體;②這是一個四棱臺;③這是一個四棱柱;④此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱而得到;⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱而得到.

錯解 ? ①②.

錯因分析 ?  直觀上感覺是棱臺,忽略此幾何體側(cè)棱的延長線不能相交于一點.

正解 ? ①③④⑤.

①正確,因為有六個面,屬于六面體.

②錯誤,因為側(cè)棱的延長線不能交于一點,所以不正確.

③正確,如果把幾何體正面或背面作為底面就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱.

④⑤都正確,如圖(1)(2)所示.

　(1)　　　 　(2)

解決此類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)變化中的“不變”,即位于同一面上的諸元素間的位置關(guān)系不變.

有一種骰子,每一面上都有一個英文字母,如圖是從3個不同的角度看同一粒骰子的情形,請畫出骰子的一個平面展開圖,并根據(jù)展開圖說明字母H對面的字母是　　　　. 

錯解 ? P.

錯因分析 ? 空間想象能力差而亂猜一氣,實際上可以動手制作模型,通過折疊得出答案.

正解 ? 將原正方體外面朝上展開,得其表面字母的排列如圖.易得H對面的字母是O.

三種視圖中,可見的輪廓線要畫成實線,存在但不可見的輪廓線要畫成虛線.畫三視圖時,一定要分清可見輪廓線與不可見輪廓線,避免出現(xiàn)錯誤.

(浙江學(xué)業(yè)水平考試)畫出圖(1)所示的幾何體的三視圖.

　　　(1)　　　　　　　　(2)

錯解 ? 如圖 (2).

錯因分析 ?  三視圖出現(xiàn)多處錯誤:(1)幾何體在正視圖和側(cè)視圖中的高度不平齊;(2)幾何體在側(cè)視圖中的寬度與俯視圖中的寬度不相等;(3)側(cè)視圖中有一條看不到的線,應(yīng)該用虛線表示出來,而圖中并沒有畫出來.

正解 ? 如圖.

如圖所示,請畫出該幾何體的正視圖與俯視圖.

錯解 ? 正視圖與俯視圖如圖所示.

錯因分析 ? 該組合體的下部是一個圓柱,上部是一個大圓柱中間挖掉一個小圓柱.在畫正視圖時,為體現(xiàn)中空應(yīng)用虛線作圖,錯解中正視圖的上邊矩形中缺少小圓柱形成的輪廓線(用虛線表示);在畫俯視圖時,因為三個圓都是可見的,所以應(yīng)畫為實線.

正解 ? 正視圖與俯視圖如圖所示.

當(dāng)已知三視圖去還原成幾何體時,要充分關(guān)注圖形中關(guān)鍵點的投影,先從俯視圖來確定是多面體還是旋轉(zhuǎn)體,再從正視圖和側(cè)視圖想象出幾何體的大致形狀,然后通過已知的三視圖驗證幾何體的正確性,最后檢查輪廓線的實虛.

(2013·四川) 一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是

錯解 ? A,B,C.

錯因分析 ?  錯選A,俯視圖判斷出錯,從俯視圖上看,幾何體的上、下部分都應(yīng)是旋轉(zhuǎn)體;錯選B,下部分幾何體判斷出錯,誤把旋轉(zhuǎn)體當(dāng)多面體;錯選C,上部分幾何體判斷出錯,誤把旋轉(zhuǎn)體當(dāng)多面體.

正解 ? 由三視圖可知幾何體上部是一個圓臺,下部是一個圓柱,選D.

圖是水平放置的平面圖形的直觀圖,則原平面圖形的面積為

A.3　　　B.

C.6　　　D.3

錯解 ? B

錯因分析 ?  錯解中把直觀圖認(rèn)為是原平面圖形,則原平面圖形的面積為×2×3×sin 45°=.實際上,圖1.2.3-23為直觀圖,必須根據(jù)直觀圖還原得到原平面圖形,再利用三角形的面積公式求解.

正解 ? 原平面圖形如圖所示,即Rt△OAB,其中OA=O'A'=3,OB=2O'B'=4,故原平面圖形的面積為×3×4=6,故選C.

平面圖與直觀圖的關(guān)系中要重點強調(diào)兩種數(shù)量關(guān)系,一是角的變化,原圖形中與x軸垂直的線段,在直觀圖中畫成與x'軸成45°或135°的線段;二是長度的變化,原圖形中與y軸平行(或在y軸上)的線段在直觀圖中長度減半,原圖形中與x軸平行(或在x軸上)的線段在直觀圖中長度不變.

如圖所示,用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形,則原來圖形的形狀是

　A　　　　B　　　　  C　　　　D

錯解 ? B,C,D

錯因分析 ?  B,C,D都因忽略原圖形中平行于y軸(或在y軸上)的線段在斜二測畫法中長度減半致錯.

正解 ? 根據(jù)斜二測畫法知,在y軸上的線段長度為直觀圖中相應(yīng)線段長度的2倍,可知A正確.

由三視圖還原幾何體要注意兩點:一是圖形的轉(zhuǎn)化,在轉(zhuǎn)化過程中注意圖中各個數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系;二是特殊情況的處理,在求表面積時,要搞清幾何體的特征,注意分割與拼補的技巧,切不可漏掉某個面.

(2014·安徽)一個多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為

A.21+　　B.18+

C.21          D.18

錯解一 ? B.

錯因分析一 ?  由三視圖可知原幾何體應(yīng)該是由一個正方體截去兩個全等的小正三棱錐得到的,B項計算三角形面積時出錯.

錯解二 ? C.

錯因分析二 ?  截去小正三棱錐,即除去了六個全等的等腰直角三角形,但C項忽略了幾何體多了兩個等邊三角形面.

錯解三 ? D.

錯因分析三 ?  由三視圖可知原幾何體應(yīng)該是一個正方體截去兩個全等的小正三棱錐得到的組合體,D項計算三角形面積時出錯,且計算時還少加了三棱錐的底面.

正解 ? 由三視圖可畫出原幾何體如圖所示,是一個正方體截去兩個全等的小正三棱錐.正方體的表面積為S=24,兩個全等的三棱錐是以正方體的相對頂點為頂點,側(cè)面是三個全等的且直角邊長為1的等腰直角三角形,其側(cè)面面積的和為3,三棱錐的底面是邊長為的正三角形,其底面面積的和為,故所求幾何體的表面積為24-3+=21+.故選A.

有關(guān)表面積、體積的計算,一定要注意對題設(shè)條件的充分利用,尤其要注意幾何體中元素的限制條件,防止擴(kuò)大范圍.

已知一個圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱,求圓柱的側(cè)面積.

錯解 ? 畫圓錐及內(nèi)接圓柱的軸截面,如圖.

設(shè)所求圓柱的底面半徑為r,則它的側(cè)面積S_{圓柱側(cè)}=2πr·x.

因為=,所以r=R-x.

故S_{圓柱側(cè)}=2πR·x-·x².

錯因分析 ? 錯解中x的取值范圍是R,而本題中的x有實際意義,因此本題錯誤的原因是忽略了對自變量x的取值范圍的確定.

正解 ? 由錯解得S_{圓柱側(cè)}=2πR·x-·x²(0<><>).

對于兩個平行平面截球時,要分清兩截面與球心的位置關(guān)系,即兩個截面是在球心的同側(cè)還是在球心的兩側(cè).

(成都重點中學(xué)聯(lián)考)已知半徑為10的球的兩個平行截面圓的周長分別是12π和16π,試求這兩個截面圓間的距離.

錯解 ? 如圖(1),設(shè)球的大圓為圓O,C,D分別為兩截面圓的圓心,AB為經(jīng)過點C,O,D的直徑,由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8.在Rt△COE中,OC==8.在Rt△DOF中,OD==6.所以CD=OC-OD=8-6=2,故這兩個截面圓間的距離為2.

錯因分析 ?  錯解中由于對球的結(jié)構(gòu)把握不準(zhǔn),考慮問題不全面而導(dǎo)致錯誤.事實上,兩個平行截面既可以在球心的同側(cè),也可以在球心的兩側(cè).

正解 ? 如圖(1)(2),設(shè)球的大圓為圓O,C,D分別為兩截面圓的圓心,AB為經(jīng)過點C,O,D的直徑,由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8.

當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時,CD=OC-OD=-=2;

當(dāng)兩截面在球心兩側(cè)時,CD=OC+OD=+=14.

綜上可知,兩截面圓間的距離為2或14.