以引導學生自主探究為中心的《反比例函數的圖像和性質》課堂導學案設計策略研究

 此文發《中國教師》2017.4.

以引導學生自主探究為中心的《反比例函數的圖像和性質》課堂導學案設計策略研究 

湖北省巴東縣茶店子鎮民族初級中學      張茂華     郵編：444315

      我教這節課時，主要是通過學生自主探究、觀察、類比學習，探索得出反比例函數的圖象和性質，使學生經歷了一次自主獲取新知的成功體驗，充分體現了新課程的教學理念和自主探究的學習方法。自主探究學習是近年來興起的一種全新的教學方式，它主要著力于學生的學，鼓勵學生以類似科學研究的模式，進行主動探索。它把目標指向學生的創新能力、問題意識，以及關注現實、關注人類發展的意識和責任感的培養，而不僅僅是知識的傳播和掌握．其有利于改變學生學習數學的方式，它強調“做中學”，力圖通過學生“做”的主動探究過程來培養他們的創新精神、動手能力和解決問題的能力。而立足于課堂，深入鉆研教材，是數學課堂教學中實施探究性學習的基礎。帶著這樣的思路,我設計了《反比例函數的圖象與性質》導學案。

        一、《反比例函數的圖像和性質》課堂導學設計思路

    1.內容和內容解析

本節課內容屬于《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中的“數與代數”領域，是在已經學習了平面直角坐標系和一次函數的基礎上，進一步研究反比例函數的圖象，并通過圖象的研究和分析，來確定反比例函數的性質．

反比例函數是最基本的初等函數之一，是后續學習各類函數的基礎．反比例函數的核心內容是反比例函數的概念、圖象和性質．反比例函數的圖象和性質的核心，是圖象“特征”、函數“特性”以及它們之間的相互轉化關系，這也正是反比例函數的本質屬性所在．

反比例函數的圖象和性質，蘊含著豐富的數學思想．首先，反比例函數圖象和性質，本身就是“數”與“形”的統一體．通過對圖象的研究和分析，可以確定函數本身的性質，體現了數形結合的思想方法．這在學習數軸、平面直角坐標系時，學生已經接觸過，結合本課內容，可以進一步加強對數形結合思想方法的理解，發揮從“數”和“形”兩個方面共同分析解決問題的優勢．其次，從本節課知識的形成過程來看，由“解析式（確定自變量取值范圍）”到“作圖（列表、描點、連線）”，再到“性質（觀察圖象探究性質）”，充分體現了由“數”到“形”，再由“形”到“數”的轉化過程，這種函數解析式及性質與函數圖象之間的聯系，突出體現了兩者間的轉化對分析解決問題的特殊作用，是轉化思想的具體應用．再次，將函數中變量、之間的對應關系，通過圖象的形狀、變化趨勢，借助平面直角坐標系和點的坐標，直觀地予以呈現，這又充分體現了變化與對應的數學思想．

對于反比例函數圖象及性質的研究與學習，盡管還處于函數學習的初級階段，但它所體現的函數學習的一般規律和方法，是繼一次函數學習之后的再一次強化．教材中呈現的“函數概念—函數的圖象和性質—函數的實際應用”的結構，是學習初等函數的有效方法．再次，用描點法畫反比例函數的圖象時，先由函數解析式考慮自變量的取值范圍，分析、的對應變化關系，然后構思函數圖象的大致位置、輪廓、趨勢，進而列表、描點、連線作出函數圖象，反映了作函數圖象的一般規律．另外，利用圖象“特征”確定函數“特性”，也是初中階段研究函數性質的常用方法．

此外，反比例函數圖象和性質的學習，是繼一次函數后，知識與方法上的一次拓展，理解與認識上的一次升華，也是思維上的一次飛躍．圖象由“一條”到“兩支”，形態由“直”到“曲”，由“連續”到“間斷”，由與坐標軸“相交”到“漸近”，無不反映出對函數概念本質屬性認識的進一步深化．

因此，學好本節課內容，將為今后的函數學習奠定堅實的基礎．

教學重點：反比例函數的圖象和性質，以及本課內容所蘊含的思想方法．

2.目標和目標解析

教學目標

（1）會畫反比例函數圖象，理解反比例函數的圖象和性質．

（2）感悟“數形結合”、“變化與對應”和“轉化”的數學思想，并能應用數形結合和轉化思想，根據反比例函數的圖象探究其性質．

（3）培養學生的觀察、分析、探究、歸納及概括能力．

目標解析

（1）本節教學內容的脈絡是：先使用描點法畫出反比例函數的圖象，然后依據圖象分析、探究、歸納得到函數的性質．因此，準確畫出反比例函數的圖象，是探究反比例函數性質的前提．此時，雖然學生已經學過用描點法畫函數圖象，但是由于反比例函數圖象的特殊性，會畫反比例函數的圖象，仍是學習中的目標之一．通過列表、描點、畫出反比例函數的圖象，進而觀察、分析、探究、歸納、概括，得到反比例函數的性質，可以進一步加深對函數三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法）的理解。

（2）數學思想的教學一般要經過滲透孕育期、領悟形成期、應用發展期、鞏固深化期四個階段，而不能復制與灌輸．在探究反比例函數性質時，讓學生領悟到數形結合思想、轉化思想、變化與對應思想的存在，并能運用這些數學思想觀察、分析反比例函數的圖象，探究、歸納、概括反比例函數的性質．

（3）在探究反比例函數性質的過程中，讓學生經歷觀察、分析、探究、歸納、概括的認知過程，培養學生良好的思維品質，提高學生的思維能力．

3.教學問題診斷分析

對于用描點法畫函數的圖象，學生已經學過，但因當時處于函數學習的初始階段，重點只是讓學生掌握用描點法畫函數圖象的“三步曲（列表、描點、連線）”，所以，學生對每步要求的理解并不深刻．因此，在畫反比例函數圖象時，常遇到如下的問題：

（1）“列表”時確定自變量的取值缺乏代表性及忽略等現象；

（2）“連線”時，由于一次函數圖象是一條直線，容易使學生產生知識上的負遷移，把雙曲線畫成折線；

（3）對雙曲線與軸、軸“越來越靠近”但不相交的趨勢不易理解．

教學時，應注意進行有針對性的引導，注意從解析式的分析入手，讓學生先進行“數”（ ，,）、“式”（解析式中、的反比例關系）的分析，進而過渡到對“形”（圖象）的認識．

在學習一次函數的時候，學生已經歷過觀察、分析圖象的特征，抽象、概括函數性質的過程，對研究函數性質所用的探究方法也有一定的了解，因此，通過類比，結合反比例函數的圖象探究性質，從使用的方法上不會存在障礙，但由于反比例函數圖象相對于一次函數圖象，其形態豐富、結構復雜，具有自身的特殊性，故對性質的深入理解和掌握，對性質探究中的數學思想的體會和運用，還存在一定的困難．教學中，應注重強調說明由“數”到“形”、由“形”到“數”的轉化關系，以“數”與“形”的轉化為途徑，展開探究活動．

教學難點：準確畫出反比例函數的圖象，理解反比例函數的性質，并能靈活應用．

4.教學支持條件分析

根據本節課教材內容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，借助信息技術工具，以《幾何畫板》為平臺，繪制反比例函數圖象，同時輔之以“點跟蹤”等手段，通過動態的演示，觀察相關數值的變化，研究圖象的變化趨勢，抽象概括當自變量變化時，對應的函數值的變化規律，進而探究反比例函數的性質．

 5.教學過程設計（其中部分內容略）

    （1）創設情境，引入新知

    問題1　我們已經學習了正比例函數的哪些內容？是如何研究的？

（2）觀察探究，形成新知

問題2　反比例函數的圖象是什么樣的？

問題3　請觀察反比例函數的圖象，有哪些特征？

問題4　是不是所有的反比例函數的圖象都具有這樣的特征呢？

問題5　反比例函數與的圖象有什么共同特征？有什么不同點？是由什么決定的？

問題6　當取不同的值，上述結論是否適用于所有的反比例函數？

問題7　總結反比例函數（）圖象的特征和性質．

（3）鞏固提高，應用新知

課堂練習

（4）歸納反思，深化新知

問題8　通過本節課的學習，你有哪些收獲？ 

學生總結、教師歸納

    二、《反比例函數的圖像和性質》課后教學反思

    1.關于數形結合的處理

　　在“反比例函數的圖象和性質”這一課的教學過程中，“數”與“形”的轉化，是貫穿始終的一條主線．主要反映在以下三個方面．

第一， 反比例函數的圖象和性質，是“數”與“形”的統一體，由“解析式”到“作圖”，再到“性質”，都充分體現了由“數”到“形”，再由“形”到“數”的轉化過程，是數形結合思想的具體應用．本課的教學設計與實施中，通過“描點法”作圖、觀察幾個具體的反比例函數的圖象、課件演示展示“由動點生成函數圖象”，很好地反映了“數”、“形”之間的這種內在的聯系．

第二，在“列表取值為何不能取零”、“反比例函數的圖象為何與坐標軸不會相交”、“特殊的反比例函數性質能否推廣到一般”這幾個問題中，如果單純依靠觀察圖象，是無法得出具有“說服力”的結論的，這就需要“回歸”解析式，再引導學生進行分析．即我們可以借助直觀圖形，幫助我們思考相關的問題，但僅有圖形的直觀是不夠的，必須考慮“已經”形式化的“數”的本質“特征”，使“數”、“形”之間達到統一．于是，在教學中，我們同樣關注了對“解析式”的分析．

第三，在總結得出反比例函數的圖象和性質之后，我們為學生提供了一組題目，目的也是為學生提供一個體會“數形結合”、應用“數形結合”分析問題的平臺，使學生經歷利用“圖形直觀”來認識、解決與函數有關問題的過程．

　　2.關于教學效果的反思

在實際授課過程中，教學環節的展開是自然、順暢的，如“觀察探究，形成新知”環節，學生能夠在教師的引導下，說出一次函數的圖象特征及性質，并通過類比一次函數的研究方法，完成列表、描點、畫出反比例函數圖象的過程，也可以通過觀察所畫出的反比例函數的圖象，得出其圖象的“特征”和函數的“性質”．

然而，由于學生剛剛接觸反比例函數的圖象，圖象的外在形式（雙曲線）與一次函數的圖象（直線）之間存在較大的差異，學生還缺乏對反比例函數圖象“整體形象”的把握．一方面，當反比例系數的絕對值較大時，部分學生畫出的圖形，不能完整地反映其圖象“漸近”的特征；另一方面，在應用反比例函數（增或減）的性質，比較反比例函數的兩個函數值的大小時，學生還不能有意識地從“自變量的正負”來考慮問題，這致使學生在課后“目標檢測”時，對部分問題的解決出現偏差．

此外，展開本節課學習的一個重要的方法，就是“類比”．在教學過程中，教師極力引導學生要“類比一次函數學習的方法”，最大限度地調動學生“合情推理”的因素，以確保學習知識的“正遷移”效應．事實上，這樣也會帶來另一些負面的影響，學生往往對屬于一次函數和反比例函數“共性”的結論印象比較深刻，而對于新的反比例函數“個性”的結論，在理解上反而會受到一些干擾．

3.關于教學設計的改進

基于上述思考，以及研究課后課題組成員的研討，我們認為在教學設計中，還存在兩處需要改進的地方．

3.1 應強調“回歸”解析式的必要性

在本課題的教學中，我們通過“畫出”圖形，使反比例函數解析式表示的函數關系直觀化，更易于學生通過觀察，得出函數圖象的“特征”及函數的“性質”，但由于這樣得出的結論，對“圖形”的依賴性過強，甚至形成了“解析式—圖象—性質”的思維定勢，而忽視了數學形式化的意義，也有悖于“圖形直觀”在研究函數問題中的輔助性作用，也就是說，我們不能將對函數的認識，完全等價于對其圖形的認識，應該把“圖形”與“解析式”結合起來，以利于更好地探究兩個變量之間“變化中的規律性”．

因此，本教學設計應在注重分析“反比例函數圖象的位置特征”，及引導學生觀察“反比例函數的增減變化趨勢”的同時，更加強調對反比例函數解析式的剖析，如對于反比例函數 （ ），當 時，、的正負符號相同，以（， ）為坐標的點位于第一或第三象限，且 隨 的增大而減小；當 時， 、 的正負符號相反，以（，）為坐標的點位于第二或第四象限，且 隨的增大而增大．同時，從解析式 本身來看，顯然 ， ，圖象一定不經過坐標原點，也永遠不會與軸、軸有交點．

這種從“數”的方面的再強調，無疑會使學生對反比例函數圖象和性質的認識更加科學精確．

3.2 應關注“類比”中的“差異性”

反比例函數圖象和性質的學習，可以類比一次函數的研究方法進行，從而體現了函數學習的一般規律和方法．本教學設計尊重人教版課標教材的編寫意圖，其中所呈現的通過“描點”畫圖，到“觀察”圖象，到分析圖象“特征”，再到確定函數中變量、之間的“變化規律”，從而得出函數的“特性”，這一探究的過程和方法，是學習初等函數時不可或缺的．事實上，初中學段后續研究的二次函數，高中學段研究的指數函數、對數函數、冪函數等，都可以采用與之類似的研究“模式”．無疑，“類比”是一種重要的方法，對于學生理解反比例函數、建立完善的認知結構具有重要的意義．

但是，我們在運用“類比”的方法研究反比例函數的過程中，還應注意“趨同求異”，關注反比例函數與一次函數之間的“差異性”，如圖形的“曲”與“直”、“間斷”與“連續”等，這樣的認識，在本課教學時，應加以強調，并傳達給學生．

     三、促進初中生數學探究性學習高效略的幾點設想    

１．先學后教，促使學生自主探究

新課程標準下的素質教育的基本特征之一就是以學生為本。教育的最終成效不是以教師教了什么，而是以學生學了什么以及對學生的素質產生了怎樣的影響來衡量。所以數學教學應理所當然地要轉向以學習者為中心。傳統教學方法是教師講，學生聽；教師寫，學生記；教師布置，學生練習等。教師一進課堂就口若懸河，滔滔不絕，使學生昏昏欲睡，學生做作業時間很少，新知識學得糊里糊涂，同時又沒有及時鞏固，這種“先教后學”的模式，一直使學生處于被動的學習地位，效果差是顯而易見的。素質教育要求在充分發揮教師主導作用前提下，廣泛地讓學生參與，積極思考，親自實踐，課堂要留給學生一些機會去發展自已的思維，這樣才能不斷地開發潛能。據此我在教學中通過大膽的教學改革，先讓學生帶著思考題課前充分預習，并嘗試做例題和簡單練習題，在學生掌握了有關知識點后，再實施教學。這種“先學后教”的教學方法既能調動學生學習的積極性，主動性，又能讓教師在課堂上有的放矢，能重點講解學生不理解的知識點，從而增加了學生活動的時間，又可以大大提高課堂教學效率，除了給學生基本的知識外，還開發學生的智力，使他們學會了在己有知識的基礎上探索新知識的方法，促使了學生自主探究。

２．創造學習氛圍，誘導學生自主探究

心理學研究表明，學生的非智力因素對于學習數學起到了啟發、導向、引導、維持、強化、調節、補償等作用，是學好數學的一種決定因素，因此，在初中數學教學中，應努力營造寬松和諧的學習氛圍，使數學教學具有親和力，誘導學生積極參與，自主探究，體會成功解決問題的滿足感，激發學生的學習積極性。      

良好的師生關系是營造寬松環境的必要的手段，是培養學生情感、意志、性格、信念和個性心理品質的重要因素，是教學的有機組成部分，也是新課標的要求。要建立良好的師生關系，我認為教師必須具有良好的心理素質、高度的責任心和恰當的教學方法，要摒棄傳統教育中的“師道尊嚴”，正確樹立教師威信，熱愛學生，尊重學生；要建立良好的師生關系，教師還需要具備良好的素養。首先，教師應具有過硬的專業素養和過硬的教學能力。教育是一門科學，也是一門技術，更是一門藝術，因此教師要有高超的教學設計能力，教材處理、教學反饋、多媒體運用的能力。其次，教師應具有良好的道德品質。只有把智力因素與非智力因素有機地結合起來，充分調動學生認知的、心理的、生理的、情感的、行為的、價值的等方面因素，讓學生進入一種全新的境界，學生自主學習才會達到比較好的效果。所以我在課堂教學中充分尊重學生人格，關心學生的發展，積極營造一個民主和諧的教學氛圍，努力做到了在認知和情感兩個領域的有機結合，促進了學生的全面發展。在民主、和諧的教學氛圍中，學生樹立了信心，能積極思考，主動參與，獲得了發展。

   3、開展多種形式的評價，深化學生自主探究能力

    傳統的數學作業評價方式即作業的批閱方式，往往采取獨批、獨改、獨評的方式，工作量偏重，造成每次作業的批改周期過長，作業反饋時間太長，學生作業出現的問題不能及時解決，正確的得不到強化，錯誤的得不到及時訂正，從而影響了學生自主探究能力的提高。因此，我們可以對學生數學作業的評價采取如下方法：（1）精批細改。對收來的作業，按成績好、中、差三類，從中各取9――15本，進行精批細改，了解各個層次學生的學習情況，以便分類輔導，全面提高學生數學成績（2）自我批閱。作業做完后，我公布解題過程和參考答案，寫出多種解法，要求學生對照批閱，極大的調動了學生的極積性、主動性,啟發了學生的思維。（3）分組批閱。將作業按學習小組分開，指定學習較好的學生任組長，共同討論各習題的解法和答案，教師綜合小組意見公布參考答案，各組成員流水作業，然后由組長監督，并幫助他們進行訂正。這樣不僅培養了學生的集體主義精神，同時，促使自主探究。（4）集體批閱。根據學生的具體情況，挑選作業中的突出問題，讓學生在黑板上演示，其他學生集體批閱，指出其錯誤，這樣可以加深學生對數學知識的印象。所以我在初中數學教學中，將評價內容不以探究結論作為唯一評價依據，而是從學生參與活動的態度、興趣、學生發現問題和解決問題的過程、探究活動中獲得的感悟和體驗、參于合作的程度等方面綜合評價，廣泛采用學生自評、互評、組評等形式，從而達到了深化學生自主探究的能力。