插值算法（一）：各種插值方法比較

整體擬合利用現有的所有已知點來估算未知點的值。

局部插值使用已知點的樣本來估算位置點的值。

確定性插值方法不提供預測值的誤差檢驗。

隨機性插值方法則用估計變異提供預測誤差的評價。

 對于某個數據已知的點，精確插值法在該點位置的估算值與該點已知值相同。也就是，精確插值所生成的面通過所有控制點，而非精確插值或叫做近似插值，估算的點值與該點已知值不同。

1、反距離加權法（Inverse Distance Weighted）

    反距離加權法是一種常用而簡單的空間插值方法，IDW是基于“地理第一定律”的基本假設:即兩個物體相似性隨他們見的距離增大而減少。它以插值點與樣本點間的距離為權重進行加權平均，離插值點越近的樣本賦予的權重越大，此種方法簡單易行，直觀并且效率高，在已知點分布均勻的情況下插值效果好，插值結果在用于插值數據的最大值和最小值之間，但缺點是易受極值的影響。

2、樣條插值法（Spline）

樣條插值是使用一種數學函數，對一些限定的點值，通過控制估計方差，利用一些特征節點，用多項式擬合的方法來產生平滑的插值曲線。這種方法適用于逐漸變化的曲面，如溫度、高程、地下水位高度或污染濃度等。該方法優點是易操作，計算量不大，缺點是難以對誤差進行估計，采樣點稀少時效果不好。

樣條插值法又分為

• 張力樣條插值法（Spline with Tension）
• 規則樣條插值法（Regularized Spline）
• 薄板樣條插值法 (Thin-Plate Splin)

3、克里金法（Kriging）

克里金方法最早是由法國地理學家Matheron和南非礦山工程師Krige提出的，用于礦山勘探。這種方法認為在空間連續變化的屬性是非常不規則的，用簡單的平滑函數進行模擬將出現誤差，用隨機表面函數給予描述會比較恰當。(克里金中包括幾個因子：變化圖模型、漂移類型和礦塊效應)

克里金方法的關鍵在于權重系數的確定，該方法在插值過程中根據某種優化準則函數來動態地決定變量的數值，從而使內插函數處于最佳狀態。克里金方法考慮了觀測的點和被估計點的位置關系，并且也考慮各觀測點之間的相對位置關系，在點稀少時插值效果比反距離權重等方法要好。所以利用克里金方法進行空間數據插值往往取得理想的效果。

在地質統計學中，根據應用目標的區別，發展了多種克里格方法如：

• 簡單克里格(Simple-Kriging)、
• 普通克里格(Ordinary-Kriging)、
• 泛克里格(Universal-Kriging)、
• 對數正態克里格(Log-Normal Kriging)、
• 協同克里格(Cokriging)、
• 擬協克里格(Pseudo-Kriging)、
• 指示克里格(Indicator-Kriging)、
• 離析克里格（Disjunctive-Kriging）

在三維地質建模過程中，克里格被作為插值方法，能過最大的程度的保證地質界面與原始數據的吻合，且不依賴于網絡。

4、離散平滑插值（Discrete Smooth Interpolation）

DSI方法是法國南錫大學J.L.Mallet教授提出的，該方法依賴于網格結點的拓撲關系，不以空間坐標為參數，是一種不受維數限制的差值方法。

DSI插值基本思想：欲在一個離散化數據點間建立相互聯絡的網絡，如果網絡上的已知節點值滿足某種約束條件，則未知節點上的值可以通過解線性方程而得到。

DSI插值算法的數學描述：在有節點連接構成的網格Ω內部，已知網絡節點集成為L，未知網絡節點集為I（I+L=Ω）；f(*)為Ω內的一個分段連續函數，函數f（*）在節點集合L上假設一直，插值算法的目的通過f（*）推測出在集合I上的內插值函數Φ（*）表達式。

顯然，插值函數只能無窮逼近未知網格節點，為了選擇一個“最優”表達式，DSI算法利用二次檢驗函數（全局平滑度函數）R（ψ）來檢驗一個可能的插值函數，二次檢驗函數如下式所示。R(ψ)=ψ*[W]* ψ 其中[W]是給定的正定對稱矩陣，R(ψ)由多個局部平滑度函數在線性約束下確定，通過檢驗函數的約束，可以得到最優的插值函數表達式，進而求得內插值函數Φ（*）集，在實際應用中，可以結合專家經驗來現則合適的插值函數。

5、趨勢面光滑插值（Trend Surface）

作為一個非精確的插值方法，趨勢面插值用多項式表示的線或面按最小二乘法原理對數據點進行擬合，并用于估算其它值的點，線和面多項式的選擇取決于數據是一維還是二維。

線性或一階次趨勢面的數學模擬模型、二次趨勢面的數學模擬模型、三次趨勢面的數學模擬模型（二維）

趨勢面分析的優點：它是一種極易理解的技術，至少在計算方法上易于理解。另外，大多數數據特征可以用低次多項式來模擬。