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現代數學中的新理論--突變理論 突變理論“熱”轟動一時，是20世紀60年代末和70年代初的又一大新聞。 許多年以來，自然界許多事物的連續的、平滑的運動變化過程，比如象地球圍繞太陽旋轉那種連續變化的自然現象，都可以用微積分的方法給以解釋，并加以計算和預測，得到圓滿的解決。我們可以說，經典的微積分是連續變化的數學模型。但是，當遇到充滿突變和跳躍的自然現象來說，不連續性把系統的行為空間變成不可微的，微積分也無法解決。火山的爆發、巖石的破裂、橋梁的斷塌，細胞的分裂、胚胎的變異、地震突然發生、蝗蟲急速繁殖，病人忽然休克，如此等等，由量變突然發展為質變，乃是司空見慣的現象。不但自然界存在著許多突變現象，即使在生物界和社會科學領域也有很多突變現象。比如一只既驚又恐的狗似乎要咬人，但只要稍加恐嚇就會掉頭逃跑，而一只似乎要跑的狗，因涉及到被逼迫的刺激而突然地放棄逃走的念頭，轉為進攻（即所謂狗急跳墻）。一個國家對另一個國家的威脅變得太大，突然的造成不宣而戰；市場上穩定的經濟增長，因受到許多漲落的影響而突然的價跌千丈等等，突變現象不一而足。有沒有可能建立一種關于突變現象的一般性數學理論來描述各種飛躍和不連續過程呢？這引起數學家的重視。法國數學家勒內·托姆(Renè Thom,1923~ )——菲爾茲獎獲得者，從1968年開始陸續發表文章，論述“突變理論”。1972年，出版《構造穩定性和形態發生學》一書，明確的闡明了突變理論的內容，宣告了突變理論的誕生，一時風靡世界。英國齊曼（Zeeman）教授稱突變理論是“數學界的一次智力革命——微積分以后最重要的發現”。 突變理論主要以拓撲學、奇點理論為工具，并通過對穩定性結構的研究，說明了有的事物不變，有的漸變，有的則是突變，從而提出了一系列的數學模型，用以解釋自然界和社會現象中所發生的不連續的變化過程，描述各種現象為何從性狀的一種形式突然地跳躍到根本不同的另一種形式。按照突變理論，自然界和社會現象中的大量的不連續事件，可以由某些特定的幾何形狀來表示。 托姆是一位卓有成就的拓撲學家，他以協邊理論的創造馳名于世。60年代以來，他致力于高維空間曲面的研究，用微分拓撲的方法分析曲面的奇點，并進行分類。托姆提出，發生在三維空間和一維時間的四個因子控制下的突變，有七種突變類型：折迭突變、尖頂突變、燕尾突變、蝴蝶突變、雙曲臍型突變、橢圓臍型突變以及拋物臍型突變等。例如，水由液體轉化為氣體、甚至由液體凝結為固體，水的這幾種質態之間相互轉化的模型，可用突變理論中的尖頂突變來描述。在光學中，一束光線（即一小組相鄰的光線）有可能是以某種方式聚焦的，于是，它們匯集在一個平面上，甚至一條線上或一個點上，而不再充滿于一個空間區域。它的強度可以很大，如果你拿一個放大鏡放在陽光下，光線被聚集照射在紙片上，不一會紙片就會燃燒起來。與聚焦現象相反的是散焦現象。使一束光線聚焦或散焦的曲面分別稱為焦聚面與焦散面。在光學中，借助于突變理論找到了光的焦聚散面的全部可能形式，這是突變理論應用到光學研究中的著名成果之一。夏日雨過天晴，在蔚藍的天空中常常會出現一條五彩繽紛的彩虹。我們知道，虹是由于陽光照射到空中的水滴里，發生反射與折射而造成的；當我們在平靜無風的海面航行或站在海邊瞭望，往往會看到空中映現出遠方船舶、島嶼、或城郭樓臺的映像；在沙漠里旅行，有時也會發現遠處突然有一片湖水，湖面樹影搖曳。可是大風一起，這些景象就突然消失了，原來這是一種幻景，人們稱為海市蜃樓。海市蜃樓的產生也是光線反射和折射的結果。另外據報導，在中緯度和低緯度的海區，在海深一千米左右處存在一個穩定的聲道（這是海中的某一水層，聲音能夠被限制在這個“通道”內傳播到很遠的地方，而不會“溢”出去），這種現象的產生是由于在深海中存在一個穩定的極小聲音速度層的緣故。實際上，雨過天晴出現的彩虹和海市蜃樓的形成都與散焦有關，深海聲道的產生也涉及到聲波的散焦，而散焦現象是可以用尖頂型突變來解釋的，也就是說，光與聲的散焦是一種突變過程。氫氧化物的水溶液有三種基本性質：強酸性；強堿性；不電離。顯然，只要選擇適當的控制變量，在控制平面上這些性質存在的中介狀態，即弱堿、弱酸和兩性區的分布應用蝴蝶突變來描述。尖頂突變型和蝴蝶突變型是幾種質態之間能夠可逆轉化的模型。自然界還有些過程是不可逆的，比如死亡是一種突變，活人可以變為死人，反過來卻不行。這一類過程可以用折迭突變型、燕尾突變型等勢函數最高為奇次的模型來把握質量互便過程。突變理論解釋的題目涉及到胚胎學、人性學、醫學、生態學、地質學、地震學、光學、化學、協同學、激光、船舶穩定，以至囚犯騷動、戰爭爆發、市場崩潰等等，幾乎無所不包。突變理論的研究對于深入討論哲學上的質量互變規律，有很大意義。一百年前，黑格爾從大量的現象中第一次概括出質量互變規律，然而，一直沒有出現過闡述這條規律的數學理論。所以，深入地研究突變理論，并從中吸取營養，將會促進質量互變理論的發展。 齊曼在“突變熱”中起了很大推動作用，他是英國沃里克大學著名的數學教授，早年也致力于拓撲學，頗有建樹。當他接觸托姆的理論后，便被吸引住了。他組織了一個研究團體，悉心鉆研，擴展應用，短短幾年，論文已有400多篇，可稱極一時之盛。前蘇聯拓撲學家阿諾爾德（Arnold）也做了許多漂亮的工作。至于應用則集中在物理、化學和工程學方面，凡是涉及幾種穩定態（如氣相、液相、固相都是相對穩定的）之間的躍遷變化，只要因素變化的數目不超過4，都有可能應用突變理論，至少可以做定性的描述，有些則能得出定量的結果。 現代科學日新月異，新鮮事物層出不窮，人們稱突變理論是鮮花盛開的科學百花園中的一枝奇葩，它與比利時布魯塞爾自由大學教授著名化學家普里高津的“耗散結構理論”，聯邦德國斯圖加特大學理論物理學家哈肯教授的“協同論”，構成今天的所謂“新三論”。我們完全相信，隨著對突變理論研究工作的不斷深入和應用范圍的日益擴大，它將會成為數學中名副其實的新興分支，而與微積分并光輝 |
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