高中數學：解析幾何中的非常規解法

1、逆向思維

例1、過點A（-1，5），B（-4，2）的直線交直線l：于點M，求AM：MB。

分析：通常是先寫出直線AB的方程，再求AB與l的交點M的坐標，從而求出比值。若運用逆向思維，先設AM：MB＝λ，用λ表示點M的坐標，由點M在直線l上，即可求出λ值。

解：設AM：MB＝λ，則得

因為

所以

解得

故AM：MB＝2

例2、雙曲線的任一切線交x軸于點A，交y軸于點B，O為原點，求證：△AOB的面積為定值。

分析：通常是先寫出雙曲線的任一切線的方程，求出A、B的坐標，再證得結論，當然可以，但過程較繁。若運用逆向思維，先設A、B的坐標，寫出AB的方程。由AB與雙曲線相切證得結論，則較為簡便。

證明：設A（m，0），B（0，n），則直線AB的方程為：

即

因為直線AB是雙曲線的切線，故

即的判別式△＝0

所以

因為

所以

故為定值。

例3、若橢圓與連結A（1，2），B（3，4）兩點的線段沒有公共點，求a的范圍。

分析：通常是分兩種情況考慮：

（1）A、B兩點都在橢圓外；

（2）A、B兩點都在橢圓內。

若從反面考慮則可避免分情況討論，計算簡潔。

解：先求橢圓和線段AB有公共點時的取值范圍。易得線段AB的方程為：

由方程組

得

故a²在[1，3]內遞增，且x＝1，3時的值分別為

故

因為a>0，所以

故當橢圓與線段AB無公共點時

2、極限思想

例4、求已知離心率，過（1，0）點且與直線l：相切于點，長軸平行于y軸的橢圓方程。

分析：通常是設橢圓中心為（x₀，y₀），可得橢圓方程，并列出過已知點P的切線方程，聯立消參可求得橢圓方程。若按極限思想，將點圓、點橢圓視為圓、橢圓的極限情況，則可簡化運算過程。

解：由，知

將點看作長軸平行于y軸且離心率的橢圓系，當時的極限情形（點橢圓），則與直線l：相切于該點的橢圓系即為過直線l與“點橢圓”有公共點的橢圓系方程

又因為所求的橢圓過點（1，0），代入上式得

故所求橢圓方程為

例5、過拋物線的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長度分別是p，q，求的值。

分析：通常是先列出PQ的直線方程，求出直線PQ與拋物線的交點坐標，再根據兩點間的距離公式求出p與q。

若按極限思想，使直線PQ的斜率不存在，則直線就是拋物線的對稱軸，此時P為頂點，Q在無窮遠處，用極限的觀點得

所以

3、利用平面幾何的有關知識

例6、過點P（-1，2）作直線l，使點A（-3，4）和點B（1，-2）到l的距離相等，求l的方程。

分析：通常是先設l的方程為，再利用已知條件求出斜率，故l的方程為。這樣解，不僅計算量較大，而且漏掉了一解。

若通過思維變式，由平面幾何知識可知：l過線段AB的中點Q（-1，1）或l//AB，從而較簡便地求得l的方程。

引用直線的斜率解題時，應注意斜率不存在，即直線垂直于x軸的情形，以免漏解或導致其它錯誤。

解：因為點A、B到l的距離相等，所以l或過線段AB的中點Q（-1，1）或l//AB，于是l的方程為

或

 即或

例7、直線l：交圓C：于A、B兩點，求線段AB的垂直平分線的方程。

分析：通常是先求出l與C的交點A、B的坐標，再寫出線段AB的垂直平分線方程。

若應用平面幾何知識，則可知：過圓心O且垂直于l的直線就是線段AB的垂直平分線，由此易求出其方程。

解：過圓心O（0，-2）且垂直于l的直線就是線段AB的垂直平分線，故l的方程為

即

例8、以原點O為頂點的定角在坐標平面內繞點O旋轉，角的兩邊分別交定直線l：x＝3于點A、B，求△OAB的外心M的軌跡。

分析：通常是設A點坐標，求B點坐標，再寫出兩邊的垂直平分線的方程，從而求出外心M的軌跡，顯然過程較繁，計算量較大。

若通過思維變式，充分利用平面幾何知識則易得解。

解：設△AOB的外心為M（x，y），AB的中點為D，因為∠AOB＝θ

所以∠AMB＝2θ

于是∠AMD＝θ

因為

所以點M在直線l的左側，即x<>

在Rt△AMD中

又

故

即

故△OAB的外心M的軌跡是這條雙曲線的左支。