《高中物理思維方法集解》試筆系列 —— “動量變化”與“動量定理”

談到物體或系統的動量、沖量，必須首先注意到其方向性；而動量變化指末、初動量之差。又，動量變化等于其合外力的沖量，即動量定理。本文討論動量變化與動量定理在高中物理中的重要應用。

                     一、破解依據

欲解決此類問題，歸納以下幾條依據：

㈠動量和沖量

⑴大小：，方向：與速度一致；⑵大小：，方向：與合外力一致。

㈡動量定理（應用僅限一維情形）

⑴大小：，或（此指合外力的沖量）；或⑵方向：動量變化與合外力方向一致。

㈢坐標正方向的選取：⑴初速度方向；⑵或合外力方向。

                       二、精選例題

[例題1]（07廣東物理） 機車從靜止開始沿平直軌道做勻加速運動，所受的阻力始終不變，在此過程中，下列說法正確的是  (     )

A．機車輸出功率逐漸增大

B．機車輸出功率不變

C．在任意兩相等時間內，機車動能變化相等

D．在任意兩相等時間內，機車動量變化大小相等

[例題2] (06江蘇物理) 一質量為m的物體放在光滑的水平面上，今以恒力F沿水平方向推該物體，在相同的時間間隔內，下列說法正確的是（     ）

A．物體的位移相等　　　　            B．物體動能的變化量相等

C．F對物體做的功相等　　            D．物體動量的變化量相等

[例題3]（07全國Ⅱ） 如圖所示，PQS是固定于豎直平面內的光滑的1/4圓周軌道，圓心O在S的正上方，在S和P兩點各有一質量為m的小物塊a和b，從同一時刻開始，a自由下落，b沿圓弧下滑。以下說法正確的是（     ）

A  a比b先到達S，它們在S點的動量不相等

B  a與b同時到達S，它們在S點的動量不相等

C  a比b先到達S，它們在S點的動量相等

D  b比a先到達S，它們在S點的動量不相等

[例題4] （06全國Ⅰ）一位質量為m的運動員從下蹲狀態向上起跳，經Δt時間，身體伸直并剛好離開地面，速度為v。在此過程中（     ）

A．地面對他的沖量為mv+mgΔt，地面對他做的功為mv²

B．地面對他的沖量為mv+mgΔt，地面對他做的功為零

C．地面對他的沖量為mv，地面對他做的功為mv²

D．地面對他的沖量為mv-mgΔt，地面對他做的功為零

[例題5]（04上海） 在行車過程中，如果車距不夠，剎車不及時，汽車將發生碰撞，車里的人可能受到傷害，為了盡可能地減輕碰撞引直怕傷害，人們設計了安全帶。假定乘客質量為70 kg，汽車車速為108 km/h（即30 m/s），從踩下剎車到車完全停止需要的時間為5 s，安全帶對乘客的作用力大小約為（     ）

A．400N      B.600N     C.800N     D.1000N

[例題6]（07重慶） 為估算池中睡蓮葉面承受出滴撞擊產生的平均壓強，小明在雨天將一圓柱形水杯置于露臺,測得1小時內杯中水上升了45 mm.查詢得知，當時雨滴豎直下落速度約為12 m/s.據此估算該壓強約為(設雨滴撞擊睡蓮后無反彈，不計雨滴重力，雨水的密度為1×10³  kg/m³)（    ）

A.0.15 Pa                        B.0.54 Pa

C.1.5  Pa                        D.5.4  Pa

[例題7]（07北京） 在真空中的光滑水平絕緣面上有一帶電小滑塊。開始時滑塊靜止。若在滑塊所在空間加一水平勻強電場持續一段時間后立刻換成與相反方向的勻強電場。當電場與電場持續時間相同時，滑塊恰好回到初始位置，且具有動能。在上述過程中，對滑塊的電場力做功為，沖量大小為；對滑塊的電場力做功為，沖量大小為。則（    ）

A．                                B．

C．              D．

[例題8] （07全國Ⅰ）如圖所示，在傾角為30°的足夠長的斜面上有一質量為的物體，它受到沿斜面方向的力F的作用.力F可按圖（a）、（b）、(c)、（d）所示的兩種方式隨時間變化（圖中縱坐標是F與mg的比值，為沿斜面向上為正）已知此物體在t＝0時速度為零，若用分別表示上述四種受力情況下物體在3秒末的速率，則這四個速率中最大的是(     )

A．                  B．                            C．                    D．

[解析]選沿斜面向上為正方向。顯見，物體所受重力為mg,,結合圖示數據,并應用動量定理可得                  

A.

B.

C.

D.

比較以上數據可知,速度絕對值最大；因此本題答案：C。

[例題9]（03上海）一個質量為0.3kg的彈性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墻上，碰撞后小球沿相反方向運動，反彈后的速度大小與磁撞前相同，則碰撞前后小球速度變化量的大小△v和碰撞過程中墻對小球做功的大小W為                （     ）

       A．△v=0                 B．△v=12m/s          C．W=0                   D．W=10.8J

[例題10] （04廣東）一質量為m的小球，以初速度沿水平方向射出，恰好垂直地射到一傾角為的固定斜面上，并立即反方向彈回。已知反彈速度的大小是入射速度大小的，求在碰撞中斜面對小球的沖量大小

[例題11] (08全國Ⅰ)圖—12中滑塊和小球的質量均為m，滑塊可在水平放置的光滑固定導軌上自由滑動，小球與滑塊上的懸點O由一不可伸長的輕繩相連，輕繩長為l₁,開始時，輕繩處于水平拉直狀態，小球和滑塊均靜止。現將小球由靜止釋放，當小球到達最低點時，滑塊剛好被一表面涂有粘住物質的固定擋板粘住，在極短的時間內速度減為零，小球繼續向左擺動，當輕繩與豎直方向的夾角θ＝60°時小球達到最高點。求

（1）從滑塊與擋板接觸到速度剛好變為零的過程中，擋板阻力對滑塊的沖量；

（2）小球從釋放到第一次到達最低點的過程中，繩的拉力對小球做功的大小。

[例題12]（08天津）光滑水平面上放著質量m_A=1kg的物塊A與質量m_B=2kg的物塊B，A與B均可視為質點，A靠在豎直墻壁上，A、B間夾一個被壓縮的輕彈簧(彈簧與A、B均不拴接)，用手擋住B不動，此時彈簧彈性勢能E_p=49J．在A、B間系一輕質細繩，細繩長度大于彈簧的自然長度，如圖所示，放手后B向右運動，繩在短暫時間內被拉斷，之后B沖上與水平面相切的豎直半圓光滑軌道，其半徑R=0.5m，B恰能到達最高點C取g=10m/s²，求

(1)繩拉斷后瞬間B的速度v_B的大小；

(2)繩子拉斷過程中對B的沖量I的大小；

(3)繩拉斷過程繩對A所做的功W．

[例題13] （05天津）如圖所示，質量m_A為4.0kg的木板A放在水平面C上，木板與水平面間的動摩擦因數μ為0.24，木板右端放著質量m_B為1.0kg的小物塊B（視為質點），它們均處于靜止狀態。木板突然受到水平向右的12N?s的瞬時沖量I作用開始運動，當小物塊滑離木板時，木板的動能E_M為8.0J，小物塊的動能為0.50J，重力加速度取10m/s²，求

⑴瞬時沖量作用結束時木板的速度v₀；

⑵木板的長度L。

[例題14] （02全國）蹦床是運動員在一張繃緊的彈性網上蹦跳、翻滾并做各種空中動作的運動項目。一個質量為60kg的運動員，從離水平網面3.2m高處自由下落，著網后沿豎直方向蹦回到離水平網面5.0m高處。已知運動員與網接觸的時間為1.2s。若把在這段時間內網對運動員的作用力當作恒力處理，求此力的大小。

[例題15] （04天津）質量的物塊（可視為質點）在水平恒力F作用下，從水平面上A點由靜止開始運動，運動一段距離撤去該力，物塊繼續滑行停在B點，已知A、B兩點間的距離，物塊與水平面間的動摩擦因數，求恒力F多大。（）

[例題16]（02廣東）一質量為m的小球，以初速度沿水平方向射出，恰好垂直地射到一傾角為的固定斜面上，并立即反方向彈回。已知反彈速度的大小是入射速度大小的，求在碰撞中斜面對小球的沖量大小

[例題17] （08四川） 一傾角為θ＝45°的斜血固定于地面，斜面頂端離地面的高度h₀＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質量m＝0.09kg的小物塊（視為質點）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數μ＝0.2。當小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g＝10 m/s²。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？

[例題18]（04全國Ⅲ） 柴油打樁機的重錘由氣缸、活塞等若干部件組成，氣缸與活塞間有柴油與空氣的混合物。在重錘與樁碰撞的過程中，通過壓縮使混合物燃燒，產生高溫高壓氣體，從而使樁向下運動，錘向上運動。現把柴油打樁機和打樁過程簡化如下：

柴油打樁機重錘的質量為m，錘在樁帽以上高度為h處（如圖1）從靜止開始沿豎直軌道自由落下，打在質量為M（包括樁帽）的鋼筋混凝土樁子上。同時，柴油燃燒，產生猛烈推力，錘和樁分離，這一過程的時間極短。隨后，樁在泥土中向下移動一距離l。已知錘反跳后到達最高點時，錘與已停下的樁幅之間的距離也為h（如圖2）。已知m＝1.0×10³kg，M＝2.0×10³kg，h＝2.0m，l＝0.20m，重力加速度g＝10m/s²，混合物的質量不計。設樁向下移動的過程中泥土對樁的作用力F是恒力，求此力的大小。

                      三、參考答案

⒈AD  ⒉D  ⒊A  ⒋B  ⒌A  ⒍B   ⒎C  ⒏C    ⒐BC

⒑[解析]小球在碰撞斜面前做平拋運動.設剛要碰撞斜面時小球速度為.由題意，的方向與豎直線的夾角為30°，且水平分量仍為₀，如右圖.由此得

=2₀     ①

碰撞過程中，小球速度由變為反向的碰撞時間極短，可不計重力的沖量，由動量定理，斜面對小球的沖量為

      ②  

由①、②得           ③

⒒[解析]⑴小球第一次到達最低點時，滑快和小球的速度分別為v₁和v ₂，由機械能守恒定律得

--------①

小球由最低點向左擺動到最高點，由機械能守恒定律得

-----②

聯立①②兩式得：

v₁=v₂=---------------------------③

設所求的擋板阻力對滑塊的沖量為Ｉ，規定動量方向向右為正，由動量定理可得

從而求出         --------④

⑵小球從開始釋放到第一次到達最低點的過程中，設繩對小球的拉力做的功為Ｗ，由動能定理得                ---------⑤

聯立③⑤式,可以求出

即繩對小球的拉力做的功大小為.

⒓[解析] (1)設B在繩被拉斷后瞬間的速度為v_B,到達C時的速度為v_C,有

代入數據得

v_B=5m/s

(2)設彈簧恢復到自然長度時B的速度為v₁,取水平向右為正方向,有

代入數據得

I=－4N·s,其大小為4N·s

(3)設繩斷后A的速度為v_A,取水平向右為正方向,有

代入數據得

W=8J

⒔[解析]（1）設水平向右為正方向，有

I=m_Av₀

代入數據解得  v₀=3.0m/s

（2）設A對B、B對A、C對A的滑動摩擦力的大小分別為F_AB、F_BA和F_CA，B在A上滑行的時間為t，B離開A時A和B的速度分別為v_A和v_B，有

－（F_BA+F_CA）t＝m_Av_A－m_Av₀

F_ABt＝m_Bv_B

其中                F_AB=F_BA   

F_CA=μ(m_A+m_B)g

設A、B相對于C的位移大小分別為s_A和s_B，有

－(F_BA+F_CA)s_A=m_Av_A²－m_Av₀² 

F_ABs_B=E_kB

動量與動能之間的關系為

m_Av_A=

m_Bv_B=

木板A的長度L=s_A－s_B；代入數據解得  L=0.50m

⒕[解析] 首先，將運動員看作質量為m的質點，從h₁高處下落，剛接觸網時速度的大小

v₁＝（向下）               ①

彈跳后到達的高度為h₂，剛離網時速度的大小

v₂＝（向上）               ②

顯然，其速度的改變量為

Δv＝v₁＋v₂（向上）              ③

以a表示加速度，Δt表示接觸時間，則

Δv＝aΔt                        ④

然后，接觸過程中運動員受到向上的彈力F和向下的重力mg。由牛頓第二定律，

F－mg＝ma                      ⑤

由以上五式，代入數據得解得

F＝mg＋m＝1.5×10³N   

⒖[解析]首先， 設撤去力F前物塊的位移為，撤去力F時物塊速度為，物塊受到的滑動摩擦力為

------------①

對撤去力F后物塊滑動過程，應用動量定理得

-------②

然后，由運動學公式，可得 

--------③

對物塊運動的全過程，應用動能定理則有

-------④

由以上各式，代入數據得

⒗[解析] 小球在碰撞斜面前做平拋運動.設剛要碰撞斜面時小球速度為.由題意，的方向與豎直線的夾角為30°，且水平分量仍為₀，如右圖.由此得

=2₀ --------------- ①

碰撞過程中，小球速度由變為反向的碰撞時間極短，可不計重力的沖量，由動量定理，斜面對小球的沖量為

                ------------②  

由①、②得     

⒘[解析]解法一：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達斜面底端時速度為v。

由功能關系得

 --------------①

以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量

                  ----------------  ②

設碰撞后小物塊所能達到的最大高度為h’，則

 ------------- ③

同理，有

 ---------------④

  --------------------------------⑤

式中，v’為小物塊再次到達斜面底端時的速度，I’為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量。由①②③④⑤式得

  ---------------------⑥

式中   。由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數，首項為

                 -----------⑦

總沖量為 

                 ----------⑧

由 得                         

                  ---------------  ⑨

代入數據得       N·s                              

解法二：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，小物塊受到重力，斜面對它的摩擦力和支持力，小物塊向下運動的加速度為a，依牛頓第二定律得

 ------------①

設小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則

                  ------------------------ ②

以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為

-------------------------③

由①②③式得

---------------④

設小物塊碰撞后沿斜面向上運動的加速度大小為a’， 依牛頓第二定律有

 ------------⑤

小物塊沿斜面向上運動的最大高度為

 ---------------------------⑥

由②⑤⑥式得         ------------------------------⑦                                 

式中 。同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量

-------------⑧

由④⑦⑧式得          

以下同“解法一”。

    ⒙[解析] 錘自由下落，碰樁前速度v₁向下，

                            ①

碰后，已知錘上升高度為（h－l），故剛碰后向上的速度為

                        ②

設碰后樁的速度為V，方向向下，由動量守恒，

                       ③

樁下降的過程中，根據功能關系，

                     ④

由①、②、③、④式得

     ⑤