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第二十九章：關于楊—米爾斯理論，有100萬的獎金等著你！ 學習高等物理的人，都知道楊-米爾斯理論。但還有很多人還是不知道這個理論講了什么，有多重要，今天我們一起來看看這個理論。 楊-米爾斯理論是一種基于SU(N)群的規范理論。在1953年，沃爾夫岡·泡利最初寫下了這類的規范理論，概括了五維的卡魯扎-克萊因理論。 但他發現到無法讓當中的規范玻色子帶有質量，所以選擇不發表他的成果。 雖然這項成果沒有正式寫成論文發表，但他在之后的演講中談論過這個理論。 1954年，楊振寧與羅伯特·米爾斯寫下了現今使用的楊-米爾斯理論，將原本可交換群的規范理論（應用的量子電動力學）拓展到不可交換群，以解釋強相互作用，因此又稱作非阿貝爾規范場論。 最初這個構想并不成功。其原因在于楊-米爾斯理論的量子必須質量為零以維持規范不變性。如果其作用粒子質量為零，則其作用是長程作用力。然而實驗上沒有觀察到長程力的作用。因此，這個理論在當時并未受到重視。 一直到1960年代南部陽一郎、杰弗里·戈德斯通、等人開始運用對稱性破缺的機制，從零質量粒子的理論中去得到帶質量的粒子，楊-米爾斯理論的重要性才顯現出來。
楊-米爾斯（Yang-Mills）理論，是現代規范場理論的基礎，20世紀下半葉重要的物理突破，旨在使用非阿貝爾李群描述基本粒子的行為，是由物理學家楊振寧和米爾斯在1954年首先提出來的。這個理論對今天的標準模型形成起了重要作用。這一理論中出現的楊－米爾斯方程是一組數學上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。 首先我們還是對這兩位科學家做一個簡單的介紹吧。楊振寧，1922年10月1日出生于安徽合肥，世界著名物理學家，現任香港中文大學講座教授、清華大學教授、美國紐約州立大學石溪分校榮休教授，他還是中國科學院院士、美國國家科學院院士、臺灣“中央研究院”院士、俄羅斯科學院院士、英國皇家學會會員，1957年獲諾貝爾物理學獎；是中美關系松動后回中國探訪的第一位華裔科學家，積極推動中美文化交流和中美人民的互相了解；在促進中美兩國建交、中美人才交流和科技合作等方面，做出了重大貢獻。
而另一位科學家全名是羅伯特·勞倫斯·米爾斯（英文：Robert Laurence Mills，1927年4月15日－1999年10月27日），美國物理學家，生于新澤西州恩格爾伍德。1956年成為俄亥俄州立大學的物理學教授。主要貢獻是與楊振寧合作的楊-米爾斯理論。 1954年，楊—Mills規范場論（即非阿貝爾規范場論）發表。這個當時沒有被物理學界看重的理論，通過后來許多學者于20世紀60年代到20世紀70年代引入的自發對稱破缺觀念，發展成標準模型。這被普遍認為是20世紀后半葉基礎物理學的總成就。 楊振寧和Mills的論文，從數學觀點講，是從描述電磁學的阿貝爾規范場論到非阿貝爾規范場論的推廣。而從物理觀點上講，是用此種推廣發展出新的相互作用的基礎規則。 在主宰世界的4種基本相互作用中，弱電相互作用和強相互作用都由楊—Mills理論描述，而描述引力的愛因斯坦的廣義相對論也與楊—Mills理論有類似之處。楊振寧稱此為“對稱支配力量”。楊—Mills理論是20世紀后半葉偉大的物理成就，楊—Mills方程與Maxwell方程、Einstein方程共同具有極其重要的歷史地位。
很抱歉，沒有找到一張關于羅伯特·勞倫斯·米爾斯照片，他由于后來沒有其他的理論發現，所以沒有楊振寧知名。但是我們依然不應該忘記他。 通過上面的介紹，大家知道了，楊—米爾斯理論也是一個非線性波動方程。這個很重要。他和愛氏的場方程，以及麥克斯韋方程組具有同樣重要的地位，都是劃時代的發現。 那么這個理論最初是為了解決上面問題呢？它起源于對電磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和電磁相互作用的統一理論，已經為實驗所證實，特別是這理論所預言的傳播弱相互作用的中間玻色子，已經在實驗中發現。 楊－米爾斯理論又為研究強子（參與強相互作用的基本粒子）的結構提供了有力的工具。 楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系?；跅睿谞査狗匠痰念A言已經在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。
盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是沒有被大多數物理學家所確認、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。 不知道大家發現沒有，看過我物理科普書籍《變化》的朋友一定會想到愛氏的場方程的。愛氏場方程也是很難有確切解，也是非線性波動方程。這和楊—米爾斯理論有很大的相似之處。 一貫的想法讓我不認為這是偶然，所有描述最根本的宇宙方程，都顯示了其深刻的波動性，開放性。這對于前面我們提到的諸多定律，比如波粒二象性，不確定原理等，都有深刻影響。 一起來看看這個方程吧，雖然我們看不懂它。但看和不看是兩個概念。一直不看，永遠看不懂。
再發一個愛氏的場方程大家看看。關于愛氏場方程的基本認識，大家可以去看看我的《變化》，會有啟發的。
有一點值得一提，那就是楊振寧的楊—米爾斯理論，和愛氏的相對論，都影響很大，但兩個人都沒有因此獲得諾貝爾獎。兩個人都是因為其他理論獲得諾貝爾獎的。 楊是因為和李政道提出“弱相互作用中宇稱不守恒理論”而獲獎。愛氏是因為光電效應理論獲獎。 大家也看到了，由于這個理論的方程是非線性波動方程，所以方程沒有能力為大家講，這也是世界性難題。期待中國的學生，多去研究。 不過為了讓大家理解這個理論，還要要補充的。上面說了，楊振寧和Mills的論文，從數學觀點講，是從描述電磁學的阿貝爾規范場論到非阿貝爾規范場論的推廣。 非阿貝爾規范場是為了描述原子核里的核子們(當時認為就是質子和中子)為什么會被緊緊拉在一起，而不會被正電之間強烈的排斥力而炸開(質子們帶正電，是互相排斥的)，而設想的一種作用力場。 電磁力是由電磁場傳播的。電荷及其運動所形成的電流產生了電磁場，場傳出去后可以作用在遠處電荷和電流上。于是，楊振寧和Mills也設想了一種類似電磁場的別的場來傳遞核力，那就是非阿貝爾規范場。
這個設想看似容易，其實很難。最重要的是，楊振寧和Mills此時極大地推廣了場和荷的含義。他們設想了一種更為復雜的荷(當然不能再叫電荷了)和它們所產生的場：這些荷和場都不是普通的實數能表示的，它們是一些矩陣。矩陣的乘法是不能交換的，這種乘法的不交換性叫“非阿貝爾”的。因此也叫非阿貝爾規范場。對那些學過物理的人應該說明的是：學過量子力學的人知道，量子理論里力學變量可以表示成矩陣。但這里說的場和荷表示成矩陣不是由于量子化的結果，而是在經典物理的意義上它們就是矩陣。 楊-Mills的那篇文章是1954年發表的。那時這個理論中還有幾個關鍵的問題不能解決（比如質量問題，量子化和重整化之類，這是些更為專業的名詞，只有研究這個方向的理論物理博士們才學的）。而且在隨后的六十年代，物理學界對于用場的觀點描述核力是較為悲觀的，那時別的觀點在物理學家中占主流。 不過后來，經過幾位物理學家近二十年左右的持續探索，解決了所有原來不能解決的問題。而且，后來找到了別的不同的荷（當時還不知道呢）分別能產生強力和弱力（核力就分這兩種力）。但它們用的數學形式都是類似的，都是楊-Mills理論。不同的是其中矩陣的大小不一樣：有2乘2的、有3乘3的；如果所用的矩陣是1乘1的，那它就是以前的法拉第和麥克斯韋的電磁理論。到了七十年代末，就知道自然界的所有基本作用力--引力，電磁力，弱力，強力中，除引力外的其它三種力都能用楊-Mills場描述。 這就是可以看出這個理論對物理學的影響有多大了。 楊振寧和Mills所設想的那種古怪的荷叫做"同位旋"。他們把描述電磁場的麥克斯韋理論做了一個優美而且深刻的推廣，得到一個新方程，后來就叫楊-Mills方程。當然比麥克斯韋方程普遍得多也復雜得多了。至于推廣的方法，是依據了一個來自電磁理論的原理，叫做“定域規范不變原理”。這個我會在下一章給大家做介紹。 有的物理學家指出，物理學基本定律可以寫在一件文化衫上（意思是很簡潔）。從牛頓時代開始，物理的主要目標就是描述物質結構、相互作用和運動規律。隨著物理學的發展，這個簡單的目標又進一步被簡化了。因為后來知道物質其實也是場，不過是所謂的“量子場”的一種。因此物理學最基本的定律就是描述各種場的運動和它們之間的作用?，F在如果要做那樣一件物理學文化衫的話，可以肯定地說，楊-Mills方程是一定應該寫上的。 有些人提出比如這類質疑：有的說楊-Mills理論后面的很多進展不是他們做的，是別的物理學家做的，怎么還說他們的貢獻那么大。還有的說楊-Mills方程最初的出發點是“錯的”，怎么還說那么重要。前一類疑問很容易解釋。確實，楊-Mills理論在物理上取得這么大的成功，包括了前后好多位物理學家的貢獻。如Higgs,Veltman,t''Hooft,Gross,Wilczek,Politzer,Weinberg,Salam等。其中好幾位得到了諾貝爾獎，但Higgs還沒得。還有數學家，如量子化楊-Mills場的俄國數學家Faddeev和Popov，他們也沒得諾貝爾獎，同樣楊振寧也不是因為提出楊-Mills場得的諾貝爾獎。
如此多人的貢獻，如果整個是由一個人作出來的，那他的成就和愛因斯坦一樣大了，甚至可以說是超過愛因斯坦！只有愛因斯坦曾經以一人之力建立了相對論。其它的物理理論，如量子力學，特別是后來的量子場論，都是由很多人，有時是經過幾代人很多年的持續努力才建立起來的。 此外，關于楊—米爾斯理論這個方程的數學性質的研究至今還是國際上懸賞最高的幾個數學問題之一。比如你可以搜索“千禧數學問題”，它們是美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute,CMI）于2000年公布的七個數學難題。根據克雷數學研究所訂定的規則，每解破一題獎金100萬美元。這幾個問題是： P/NP問題， 霍奇猜想， 龐加萊猜想， 黎曼假設， 楊-米爾斯存在性與質量間隙， 納維-斯托克斯存在性與光滑性， 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想。 解決其中任何一個問題，你就是擁有最強大腦的人物。知識改變命運，從來不是一句謊言。你相信它，它才能改變你。。 摘自獨立學者，詩人，作家，國學起名師靈遁者量子力學書籍《見微知著》 |
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