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自旋現象在經典物理學和量子力學中都存在，我們這里著重介紹量子力學中的特點。 在量子力學中，自旋是粒子所具有的內稟性質，其運算規則類似于經典力學的角動量，并因此產生一個磁場。 雖然有時會與經典力學中的自轉（例如行星公轉時同時進行的自轉）相類比，但實際上本質是迥異的。經典概念中的自轉，是物體對于其質心的旋轉，比如地球每日的自轉是順著一個通過地心的極軸所作的轉動。地球自轉并不是內在性質。如果地球不轉了,它還是地球,但是粒子如果自旋不一樣,它就是一個新粒子。 首先對基本粒子提出自轉與相應角動量概念的是1925年由拉爾夫·克羅尼希（英語：Ralph Kronig）、喬治·烏倫貝克與山繆·古德斯密特（英語：Samuel Goudsmit）三人所開創。他們在處理電子的磁場理論時，把電子想象一個帶電的球體，自轉因而產生磁場。 后來在量子力學中，透過理論以及實驗驗證發現基本粒子可視為是不可分割的點粒子，所以物體自轉無法直接套用到自旋角動量上來，因此僅能將自旋視為一種內稟性質，為粒子與生俱來帶有的一種角動量，并且其量值是量子化的，無法被改變（但自旋角動量的指向可以透過操作來改變）。 自旋對原子尺度的系統格外重要，諸如單一原子、質子、電子甚至是光子，都帶有正半奇數（1/2、3/2等等）或含零正整數（0、1、2）的自旋；半整數自旋的粒子被稱為費米子（如電子），整數的則稱為玻色子（如光子）。復合粒子也帶有自旋，其由組成粒子（可能是基本粒子）之自旋透過加法所得；例如質子的自旋可以從夸克自旋得到。 自旋角動量是系統的一個可觀測量，它在空間中的三個分量和軌道角動量一樣滿足相同的對易關系。每個粒子都具有特有的自旋。粒子自旋角動量遵從角動量的普遍規律，p=[J(J+1)]0.5h，此為自旋角動量量子數 ，J ＝ 0，1 ／ 2，1，3／2，……。 自旋為半奇數的粒子稱為費米子，服從費米-狄拉克統計；自旋為0或整數的粒子稱為玻色子，服從玻色-愛因斯坦統計。復合粒子的自旋是其內部各組成部分之間相對軌道角動量和各組成部分自旋的矢量和，即按量子力學中角動量相加法則求和。已發現的粒子中，自旋為整數的，最大自旋為4；自旋為半奇數的，最大自旋為3／2。 自旋是微觀粒子的一種性質，沒有經典對應，是一種全新的內稟自由度。自旋為半奇數的物質粒子服從泡利不相容原理。 自旋的發現，首先出現在堿金屬元素的發射光譜課題中。于1924年，泡利首先引入他稱為是“雙值量子自由度”，與最外殼層的電子有關。這使他可以形式化地表述泡利不相容原理，即沒有兩個電子可以在同一時間共享相同的量子態。 泡利的“自由度”的物理解釋最初是未知的。拉爾夫·克勒尼希，朗德的一位助手，于1925年初提出它是由電子的自轉產生的。當泡利聽到這個想法時，他予以嚴厲的批駁，他指出為了產生足夠的角動量，電子的假想表面必須以超過光速運動。這將違反相對論。很大程度上由于泡利的批評，克勒尼希決定不發表他的想法。 當年秋天，兩個年輕的荷蘭物理學家產生了同樣的想法，它們是烏倫貝克和撒穆爾·古德施密特。在保羅·埃倫費斯特的建議下，他們以一個小篇幅發表了他們的結果。它得到了正面的反應，特別是在雷沃林·托馬斯消除了實驗結果與烏倫貝克和古德施密特的（以及克勒尼希未發表的）計算之間的兩個矛盾的系數之后。這個矛盾是由于電子指向的切向結構必須納入計算，附加到它的位置上；以數學語言來說，需要一個纖維叢描述。 切向叢效應是相加性的和相對論性的（比如在c趨近于無限時它消失了）；在沒有考慮切向空間朝向時其值只有一半，而且符號相反。因此這個復合效應與后來的相差了一個系數2。 盡管他最初反對這個想法，泡利還是在1927年形式化了自旋理論，運用了埃爾文·薛定諤和沃納·海森堡發現的現代量子力學理論。他開拓性地使用泡利矩陣作為一個自旋算子的群表述，并且引入了一個二元旋量波函數。 泡利的自旋理論是非相對論性的。然而，在1928年，保羅·狄拉克發表了狄拉克方程，描述了相對論性的電子。在狄拉克方程中，一個四元旋量（所謂的“狄拉克旋量”）被用于電子波函數。在1940年，泡利證明了“自旋統計定理”，它表述了費米子具有半整數自旋，玻色子具有整數自旋。 對于像光子、電子、各種夸克這樣的基本粒子，理論和實驗研究都已經發現它們所具有的自旋無法解釋為它們所包含的更小單元圍繞質心的自轉（即使使用最保守估計的電子半徑，電子“赤道”處的速度也需要超光速才能解釋其自旋角動量）。由于這些不可再分的基本粒子可以認為是真正的點粒子，因此自旋與質量、電量一樣，是基本粒子的內稟性質。 在量子力學中，任何體系的角動量都是量子化的，其值只能為： 其中h{displaystyle hbar }是約化普朗克常數，而自旋量子數是整數或者半整數（0, 1/2, 1, 3/2, 2,……），自旋量子數可以取半整數的值，這是自旋量子數與軌道量子數的主要區別，后者的量子數取值只能為整數。自旋量子數的取值只依賴于粒子的種類【費米子和玻色子】，無法用現有的手段去改變其取值。 例如，所有電子具有{displaystyle s=1/2}的1/2自旋，自旋為1/2的基本粒子還包括正電子、中微子和夸克，光子是自旋為1的粒子，理論假設的引力子是自旋為2的粒子，希格斯玻色子在基本粒子中比較特殊，它的自旋為0。 對于像質子、中子及原子核這樣的亞原子粒子，自旋通常是指總的角動量，即亞原子粒子的自旋角動量和軌道角動量的總和。亞原子粒子的自旋與其它角動量都遵循同樣的量子化條件。 通常認為亞原子粒子與基本粒子一樣具有確定的自旋，例如，質子是自旋為1/2的粒子，可以理解為這是該亞原子粒子能量量低的自旋態，該自旋態由亞原子粒子內部自旋角動量和軌道角動量的結構決定。 利用第一性原理推導出亞原子粒子的自旋是比較困難的，例如，盡管我們知道質子是自旋為1/2的粒子，但是原子核自旋結構的問題仍然是一個活躍的研究領域。 原子和分子的自旋是原子或分子中未成對電子自旋之和，未成對電子的自旋導致原子和分子具有順磁性。 粒子的自旋對于其在統計力學中的性質具有深刻的影響，具有半整數自旋的粒子遵循費米-狄拉克統計，稱為費米子，它們必須占據反對稱的量子態，這種性質要求費米子不能占據相同的量子態，這被稱為泡利不相容原理。 另一方面，具有整數自旋的粒子遵循玻色-愛因斯坦統計，稱為玻色子，這些粒子可以占據對稱的量子態，因此可以占據相同的量子態。對此的證明稱為自旋統計定理，依據的是量子力學以及狹義相對論。事實上，自旋與統計的聯系是狹義相對論的一個重要結論。 具有自旋的粒子具有磁偶極矩，就如同經典電動力學中轉動的帶電物體。磁矩可以通過多種實驗手段觀察，例如，在施特恩-格拉赫實驗中受到不均勻磁場的偏轉，或者測量粒子自身產生的磁場。 自旋這一特性無法完全用經典的內稟軌道角動量來解釋，也就是不能認為自旋是像陀螺一樣的自轉運動，因為軌道角動量只能導致s取整數值。電子一般情況下可以不考慮相對論效應，光子必須采用相對論來處理，而用來描述這些粒子的麥克斯韋方程組，也是滿足相對論關系的。 數學方面的論述是這樣的：自旋—— 常被稱為總角動量 —— 指的是粒子（基本或復合）在質心參考系下的角動量： 三個方向的角動量算符生成一個李代數 ： 。 顯然這三個算符是不互相兩兩對易的，因此，根據廣義的不確定關系，我們無法同時得到三個方向的角動量的值（本征值）。 但退一步發現， ，換句話說，我們可以同時知道總角動量與其任一分量的本征值，不妨將這一分量選為 。 其本征值方程為， 這里J 叫做本征態 的自旋， 叫做自旋的投影。 數學家告訴我們，自旋 的取值是離散化的，只能取 的非負的整數或半整數倍，所以只有自旋為 0、1/2、1、3/2……的粒子，沒有自旋為2.314 的粒子；而同樣地， 的取值也是離散化的。 泡利不相容原理非常重要，例如，化學家和生物學家常用的元素周期表就是遵循泡利不相容原理制訂的。 看了這么長的介紹，你有什么要說的？ 其實我想說的是，在“自旋”這個詞的面前，你有再好的想象力也不夠。 現在所有關于自旋的數學性描述，其實算不上是嚴謹的。該如何形象的理解自旋，上面的介紹顯然太官方。我這樣解釋一下，大家跟著理解一下。 實驗指出微觀粒子具有額外自由度，并且這個自由度是離散化的，可以參考斯特恩-蓋拉赫實驗。接下來面對實驗結果的處理方式只有兩種，一種從唯象的角度統統接受，建立唯象理論籠統描述；一種是從原理出發從頭推導，建立一個更加普適基本的理論。
實際上的結果就是，自旋這個東西，就是唯象描述。跟量子化后的角動量長得一模一樣，還沒法解釋其出現的原因。就是說我們把實驗觀察到的粒子的這種額外離散自由度，叫自旋。 對于自旋的普適理論，則需要用到相對論量子力學中學習狄拉克方程和克萊因-高登方程時才能得到初步解釋。在相對論量子力學中，采用四個坐標作為波函數的坐標，空間-時間，建立波函數的運動方程。 克萊因-高登方程可以直接從相對論的能動量關系中得到，最后可以計算出滿足克萊因-高登運動方程的粒子，具有0自旋。同樣的，狄拉克方程則指出其粒子具有1/2自旋。從狄拉克方程就可以看出，1/2自旋這個東西，是將四維坐標變換約化為三維空間坐標的平移和轉動時自然出現的。對于自旋為1的粒子，則滿足麥克斯韋方程。
所以大家在理解自旋的時刻，不要想著它是簡單的轉動。無論是自轉，還是圍繞軸心轉動，都是不恰當的。 更準確的應該理解為具有離散性質的場的運動，是有方向性的場的運動。 還有一點大家應該有這樣的聯想——自旋是內秉屬性，與生育來。相同的與生俱來的屬性，還有引力，慣性。 總結起來就是物質的與生俱來的屬性。 一個宏觀的表現，一個是圍觀的表現，我之所以將他們寫在一塊，是一定要大家去聯想的。這種的偶然不是偶然，他們肯定有一定的聯系。 我在《變化》中將引力的本源定義為時空！引力量子化的描述，就和宏觀和量子系統銜接的過程。任何物質，粒子都是運動的的物質，粒子自旋這種與生俱來的性質，角動量能量不排除來自于時空“擾動”，這就是我要給大家的啟發。 其大無外，其小無內的深刻內涵，也正在于此。 其實你仔細去想，世界上什么東西最大，什么東西最小。什么叫其大無外？就是沒有邊際的大！ 什么叫其小無內？就是沒有邊際的小！ 都是沒有邊際的的東西，誰大誰小？ 看似矛盾，看似詭異，卻正透露者這個世界的深刻。
透過大來看小，透過小來看大，這樣的思維要有。即透過引力看量子世界的粒子；透過量子世界的粒子來看引力。透過時空的運動，來看粒子世界的運動；透過粒子世界的運動，來看宇宙的運動。他們有聯系，但我們要知道是如何聯系的。 通過愛氏的場方程，我們知道了宇宙是非線性波動的系統。如果是兩者是相切合的系統，那么量子世界的系統也是非線性波動系統。線性是特殊的，非線性才是普遍的。物質與物質的交互，場與場的交互，遵從的統計規律，都在離散性質的波動狀態中實現。也就是說只有具體的物質間的交互，場與場的交互中統計概率得以成立。 什么叫概率，概念就是可能性。可是這種概率性高得離譜的時候，你就要相信這是一種幾乎不可逆的性質。而具有這種的性質的往往不是個體，而是系統。即不能說一個粒子遵從泡利不相容原理，是一類粒子遵從泡利不相容原理。
同樣，不是一個粒子自旋，是所有的粒子都自旋。不是一個粒子遵從狄拉克或者玻色-玻色愛因斯坦統計，而是一類粒子遵從這樣的概率統計。 事實上，我們一直在做關于宏觀和量子世界的銜接探索，那就是“大統一”理論。這種理論方向的正確性，我從不懷疑，愛氏的思路是正確的。 好了，今天關于粒子自旋的理論和啟發性認識，就寫到這里。后面我們還會介紹更多的知識，我們甚至會返回來，再去解讀解讀過的內容。如果我那樣做了，那證明我有新的想法，新的改變。 摘自獨立學者，詩人，作家，國學起名師靈遁者量子力學科普作品《見微知著》 |
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