數學的三個發展時期——變量數學時期

二、變量數學時期

變量數學時期從17世紀中葉到19世紀20年代，這一時期數學研究的主要內容是數量的變化及幾何變換。這一時期的主要成果是解析幾何、微積分、高等代數等學科，它們構成了現代大學數學課程(非數學專業)的主要內容。

十六、十七世紀，歐洲封建社會開始解體，代之而起的是資本主義社會。由于資本主義工場手工業的繁榮和向機器生產的過渡，以及航海、軍事等的發展，促使技術科學和數學急速向前發展。原來的初等數學已經不能滿足實踐的需要，在數學研究中自然而然地就引入了變量與函數的概念，從此數學進入了變量數學時期。它以笛卡兒的解析幾何的建立為起點(1637年)，接著是微積分的興起。

在數學史上，引人注目的17世紀是一個開創性的世紀。這個世紀中發生了對于數學具有重大意義的三件大事。

首先是伽里略實驗數學方法的出現，它表明了數學與自然科學的一種嶄新的結合。其特點是在所研究的現象中，找出一些可以度量的因素，并把數學方法應用到這些量的變化規律中去。具體可歸結為：(1)從所要研究的現象中，選擇出若干個可以用數量表示出來的特點；(2)提出一個假設，它包含所觀察各量之間的數學關系式；(3)從這個假設推導出某些能夠實際驗證的結果；(4)進行實驗觀測—改變條件—再現測，并把觀察結果盡可能地用數值表示以來；(5)以實驗結果來肯定或否定所提的假設；(6)以肯定的假設為起點，提出新假設，再度使新假設接受檢驗。

伽里略的實驗數學為科學研究開創了一種全新的局面。在它的影響下，17世紀以后的許多物理學家同時又是數學家，而許多數學家也在物理學的發展中做出了重要的貢獻。

第二件大事是笛卡兒的重要著作《方法談》及其附錄《幾何學》于1637年發表。它引入了運動著的一點的坐標的概念，引入了變量和函數的概念。由于有了坐標，平面曲線與二元方程之間建立起了聯系，由此產生了一門用代數方法研究幾何學的新學科——解析幾何學。這是數學的一個轉折點，也是變量數學發展的第一個決定性步驟。

在近代史上，笛卡兒以資產階級早期哲學家聞名于世，被譽為第一流的物理學家、近代生物學的奠基人和近代數學的開創者。他1596年3月21日生于法國圖朗，成年后的經歷大致可分兩個階段。第一階段從1616年大學畢業至1628年去荷蘭之前，為學習和探索時期。第二階段從1628年到1649年，為新思想的發揮和總結時期，大部分時間是在荷蘭度過的，這期間他完成了自己的所有著作。1650年2月11日，他病逝于瑞典。

第三件大事是微積分學的建立，最重要的工作是由牛頓和萊布尼茲各自獨立完成的。他們認識到微分和積分實際上是一對逆運算，從而給出了微積分學基本定理，即牛頓—萊布尼茲公式。到1700年，現在大學里學習的大部分微積分內容已經建立起來，其中還包括較高等的內容，例如變分法。第一本微積分課本出版于1696年，是洛比達寫的。

但是在其后的相當一段時間里，微積分的基礎還是不清楚的，并且很少被人注意，因為早期的研究者都被此學科的顯著的可應用性所吸引了。

除了這三件大事外，還有笛沙格在1639年發表的一書中，進行了射影幾何的早期工作；帕斯卡于1649年制成了計算器；惠更斯于1657年提出了概率論這一學科中的第一篇論文。

17世紀的數學，發生了許多深刻的、明顯的變革。在數學的活動范圍方面，數學教育擴大了，從事數學工作的人迅速增加，數學著作在較廣的范圍內得到傳播，而且建立了各種學會。在數學的傳統方面，從形的研究轉向了數的研究，代數占據了主導地位。在數學發展的趨勢方面，開始了科學數學化的過程。最早出現的是力學的數學化，它以1687年牛頓寫的《自然哲學的數學原理》為代表，從三大定律出發，用數學的邏輯推理將力學定律逐個地、必然地引申出來。

1705年紐可門制成了第一臺可供實用的蒸汽機；1768年瓦特制成了近代蒸汽機。由此引起了英國的工業革命，以后遍及全歐，生產力迅速提高，從而促進了科學的繁榮。法國掀起的啟蒙運動，人們的思想得到進一步解放，為數學的發展創造了良好條件。

18世紀數學的各個學科，如三角學、解析幾何學、微積分學、數論、方程論、概率論、微分方程和分析力學得到快速發展。同時還開創了若干新的領域，如保險統計科學、高等函數(指微分方程所定義的函數)、偏微分方程、微分幾何等。

這一時期主要的數學家有伯努利家族的幾位成員、隸莫弗爾、泰勒、麥克勞林、歐拉、克雷羅、達朗貝爾、蘭伯特、拉格朗日和蒙日等。他們中大多數的數學成就，就來自微積分在力學和天文學領域的應用。但是，達朗貝爾關于分析的基礎不可取的認識，蘭伯待在平行公設方面的工作、拉格朗日在位微積分嚴謹化上做的努力以及卡諾的哲學思想向人們發出預告：幾何學和代數學的解放即將來臨，現在是深入考慮數學的基礎的時候了。此外，開始出現專業化的數學家，像蒙日在幾何學中那樣。

18世紀的數學表現出幾個特點：(1)以微積分為基礎，發展出寬廣的數學領域，成為后來數學發展中的一個主流；(2)數學方法完成了從幾何方法向解析方法的轉變；(3)數學發展的動力除了來自物質生產之外，還來自物理學；(4)已經明確地把數學分為純粹數學和應用數學。

19世紀20年代出現了一個偉大的數學成就，它就是把微積分的理論基礎牢固地建立在極限的概念上。柯西于1821年在《分析教程》一書中，發展了可接受的極限理論，然后極其嚴格地定義了函數的連續性、導數和積分，強調了研究級數收斂性的必要，給出了正項級數的根式判別法和積分判別法。柯西的著作震動了當時的數學界，他的嚴謹推理激發了其他數學家努力擺脫形式運算和單憑直觀的分析。今天的初等微積分課本中寫得比較認真的內容，實質上是柯西的這些定義。

    19世紀前期出版的重要數學著作還有高斯的《算術研究》(1801年，數論)；蒙日的《分析在幾何學上的應用》(1809年，微分幾何)；拉普拉斯的《分析概率論》(1812年)，書中引入了著名的拉普拉斯變換；彭賽萊的《論圖形的射影性質》(1822年)；斯坦納的《幾何形的相互依賴性的系統發展》(1832年)等。以高斯為代表的數論的新開拓，以彭資萊、斯坦納為代表的射影幾何的復興，都是引人矚目的。