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愛因斯坦建立的引力場方程，是廣義相對論定量描述引力、時空和物質的統一性的理論手段，在宇宙學研究中具有重要作用。這個引力場方程 Gmn =Rmn-1/2（gmnR）=（8πG/c4）Tmn 是一個二階張量方程，其中Rmn為里奇張量，它由黎曼幾何張量縮并而成，表示曲率，意味著空間的彎曲狀況；Tmn為能量-動量張量，表示物質（質量）分布和運動狀況，意味著描述的是能量流、動量流及其應力；gmn為3+1維時空的度規張量，稱為愛因斯坦張量；G是重力常數，c是真空中光速，8πG/c4稱為系數，可由低速的牛頓理論來確定。 方程的意義是：空間物質的能量-動量（Tmn）分布=空間的彎曲狀況（Rmn）。其解的形式是： ds2=Adt2+Bdr2+Cdq2+Ddφ2 式中A,B,C,D為度規gmn分量。考慮能量-動量張量Tmn的解比較復雜，最簡單就是讓Tmn等于0。對于真空靜止球對稱外部的情況，得到了施瓦西解。如果是該球體內部的情況，或者是考慮球體軸對稱的旋轉，就稍微復雜一點。考慮星云內部或外部的情況，星云內的星球還要運動、轉動等，這些因素都要影響到星云內部的曲面空間。 含宇宙常數項的場方程 Rmn- 1/2（gmnR）+ Λgmn = 8πG/c4Tmn Λ是宇宙常數，其物理意義是宇宙真空場。Λgmn為宇宙項，如果從數學上理解，則由這個場方程得到的解也是： ds2 = Adt2 + Bdr2 + Cdq2 + Ddφ2 ds表達空間彎曲程度的一小段距離。由于4維空間與時間有關，ds是隨時間變化而變化的。如果沒有宇宙項，ds隨時間是增大的，宇宙就是膨脹的；而當加了宇宙項，選取適當Λ值，ds不隨時間變化，宇宙就是穩定的。從物理的意義上理解，把宇宙項移到方程式的右邊，變為： Rmn-1/2（gmn R）=（8πG/c4）Tmn-Λgmn Λ項為負值，起到了斥力的作用，即宇宙真空場與普通物質場之間存在著斥力。宇宙項和通常物質場的引力作用起到了平衡的作用，所以可得到穩定的宇宙解。 愛因斯坦于1905年發表狹義相對論之后，開始著首如何將引力納入狹義相對論框架的思考。他以一個處在自由落體狀態的觀察者設計理想實驗開展分析，從1907年開始用了長達8年時間探索引力的相對性理論。在歷經多次彎路和錯誤之后，他于1915年11月在普魯士科學院作了發言，其內容正是著名的愛因斯坦引力場方程。這個方程式的左邊表達的是時空彎曲的狀態，右邊表達的是物質及其運動。正如惠勒所說：“物質告訴時空怎么彎曲，時空告訴物質怎么運動。”他把時間、空間和物質、運動這四個自然界最基本的物理量聯系了起來，具有非常重要的意義。引力場方程是一個二階非線性偏微分方程組，數學上想要求得方程的解是一件非常困難的事。愛因斯坦曾經用了很多近似方法，從引力場方程得出了幾個最初的預言。 場方程的非線性特質使得廣義相對論與其他物理學理論迥異。例如，電磁學的麥克斯韋方程組，其電場、磁場以及電荷、電流的分布是呈線性關系（兩個解的線性疊加仍然是一個解）；又如量子力學中的薛定諤方程，對于概率波函數也是線性的。 透過弱場近似或慢速近似，可以從場方程轉化為牛頓重力定律。事實上，場方程中的比例常數8πG/c4是經過這兩個方面的近似，以跟牛頓重力理論做連結統一而得出的。這個場方程的解不可能反映宇宙的多樣性，也不能作為宇宙有限無限性的唯一判據。在廣義相對論中，物體的速度與質量有直接關系，速度會影響引力。 以下是張天蓉老師的系列科普文章《廣義相對論與黎曼幾何》，這里的收藏做了一些刪減，不影響原文的意思表達。 1.曲率和撓率 歐幾里德幾何誕生于公元前，距今已有2000多年。16世紀笛卡兒將坐標的概念引入幾何，建立了解析幾何。18世紀前半頁，法國數學家亞歷克西斯·克萊洛等人創立了微分幾何，而曲率和撓率是微分幾何中最重要的基本概念。 圖1：克萊洛及雙重曲率 理解曲率需要引人曲線的切線或稱“切矢量”的概念，即曲線上兩點無限接近時它們的連線的極限位置所決定的那個矢量（圖1）。曲率是切矢量方向的變化率（切矢量的旋轉速率），切矢量旋轉得越快，曲線的彎曲程度也越大。所以，曲率的幾何意義就是曲線的切矢量對于弧長的旋轉速度。 就平面曲線而言，如果每一點的曲率已經確定，這條曲線的形狀也就確定了。任意一個圓上的每個點的曲率都一樣，等于它的半徑的倒數。圓的半徑越小，倒數則大，因而曲率也越大；反之亦然。考慮平面螺旋線（圖2a），從內到外近似于一個一個從小到大的圓，它的曲率是中心大邊沿小。如果平面螺旋線象一個平面上的錐形彈簧，它的三維形狀如圖2b，是一條三維曲線。
將平面螺旋線放在三維空間中（圖2c），可以對曲線上每個點定義一個由3個矢量組成的三維標架。令曲線的切線方向為T，在曲線所在的平面上有一個與T垂直的方向N（對于圓周，N指向圓心）。平面內與切線T垂直的矢量有無窮多條，它們都可稱為曲線在該點的法線，這些法線構成一個平面，叫做通過該點的法平面，而N稱之為曲線在該點的主法線。由切線T和主法線N，使用右手定則可以定義出三維空間中的另一個矢量B，B也是法線之一，稱之為次法線。從圖2c很容易看出，螺旋線上每個點的切矢量T和主法線N的方向都逐點變化，唯獨次法線B的方向不變。推廣到一般：一條平面曲線上每個點的次法線都指向同一個方向，即指向與該平面垂直的方向。 對于空間曲線，它象是平面螺旋線逐漸被拉開的，在每一點的次法線方向便會從原來的垂直線逐漸發生偏離。也可以說，次法線的方向處在與曲線“密切相貼”的那個平面。這個密切相貼的平面逐點不一樣，稱為曲線在該點的“密切平面”（圖2d）。一般三維曲線上的不同點，三個標架T、N、B的方向都有所不同，每一點的次法線B的方向也會變化，但它仍與該點的密切平面垂直。 因為空間曲線與平面曲線的不同，克萊洛認為需要用另外一個曲率即“撓率”的幾何量來表征這種差別。換言之，撓率可以表示曲線偏離平面曲線的程度，被定義為次法線B隨弧長變化的速率。 2.牛頓引力 引力是一種頗為神秘的作用力，它存在于任何具有質量的兩個物體之間。然而，除了巨大質量的星體產生的引力能夠被觀測到之外，一般物體的引力很難被探測到。人類對引力的本質仍然知之甚少，不像電磁場、電磁波或光可以通過產生、接受、控制來研究和理解，我們對引力的了解還差得太遠。 萬有引力定律是理解引力的第一個里程碑。這個定律說的是任意兩個物體之間都存在相互吸引力，力的大小與它們的質量乘積成正比，與它們距離的平方成反比。其比例系數（引力常數）G是個很小的數值，致于到底多大，牛頓自己也搞不清楚，一直到牛頓死后70年左右，才被英國物理學家亨利·卡文迪什用一個很巧妙的扭秤方法測量出來。現公認 G = 6.67×10-11N·m2/kg2 按照這個數值計算，兩個50公斤成人之間距離1米時的萬有引力只有十萬分之一克。 牛頓當時還研究了地球的形狀。從理論上（將慣性離心力分解，如圖3a所示）推測地球不是一個很圓的球形，而是一個在赤道處略為隆起、兩極略為扁平的橢球體。當時在學界也有相反觀點，卡西尼根據其他一些理論，認為地球是個長橢球。為此，法國科學院測量隊進行1年多的遠征，對地球進行弧度測量，證實地球確實為一扁形橢球體，赤道半徑要比極半徑長出20多公里。
圖3：地球自轉對地球形狀的影響 克萊洛從1745年開始研究太陽、地球、月亮的三體問題。牛頓定律用于解決二體問題不難，但對三體就顯得異常復雜。后來經龐加萊研究，得知這個問題實際上與復雜的混沌現象有關。克萊洛算了月球軌道、遠地點和近地點等，有趣的是，他的計算結果認為牛頓重力理論的平方反比定律是錯誤的，建議用“與半徑4次方成反比”作為修正，并得到歐拉的支持。1748年，克萊洛意識到，月球遠地點的觀察數據與理論計算之間的差異是來自所作近似不太恰當，于是在1749年宣布，現在的理論計算結果是與平方反比定律相符合的。 萬有引力遵循平方反比律，其實可能大有緣由。靜電力和引力相仿，也遵循平方反比律，還有諸如光線、輻射、聲音的傳播等，都由平方反比規律決定。為什么剛好是平方反比，難道大自然總是以一種高明而又簡略的方式來設置自然規律？時間的積累和科學家們的努力，部分回答了這個問題。人們逐漸認識到，這個平方反比率不是隨意選定的，它與空間維數為3有關。
圖4：點信號源的傳播服從平方反比律 在各向同性的3維空間中，任何一種點信號源的傳播都將服從平方反比定律，這是由空間的幾何性質決定的。如圖4，輻射可以用從點S發出的射線表示。一個點源在一定時間間隔內所發射的能量S是一定的，這份能量S向各個方向傳播，不同時間到達不同大小的球面。當距離r呈線性增加時，球面面積4pr2卻是以平方規律增長。同樣一份能量，分配的面積越來越大，單位面積的能量就越來越少。比如說場強I=S/（4pr2），當距離由r變成2r時，同樣能量的覆蓋面增大4倍，因而使強度變成了1/4。這個結論也就是場強的平方反比定律。 現代矢量分析及場論可以對平方反比律解釋得更深入一些。簡略說，服從平方反比律的場，是“無旋”的、保守力的場，是有心力、無源處的場，它的散度為0，場強可以表示為某個標量的梯度，做功與路徑無關，等等。按場論的觀點，在n維歐氏空間中，場強的變化與r(n-1)成反比，當n=3時，便簡化到平方反比定律。 追溯萬有引力的平方反比定律的發現歷史，便扯出了牛頓與胡克間的著名公案。胡克對萬有引力的發現及物理學的其它方面都做出了不朽的貢獻，然而現在一般人除了知道“胡克定律”之外，恐怕就說不清楚胡克是誰了。胡克與牛頓在萬有引力的發現問題上有很多議論，這都無可奈何，成者為王敗者寇，學術界也基本如此，正如胡克所說，“利益沒有良心”。 3.曲面的微分幾何 用微積分的方法對曲線及曲面進行研究，除了歐拉、克萊洛等人的貢獻之外，蒙日的工作舉足輕重。由于微分幾何與微分方程的研究緊密結合，大大促進了微分方程，特別是偏微分方程理論的進展。 由曲率和撓率在空間的變化規律所完全決定的空間曲線，它可以用一個點在空間移動而得到。假如不是一個點，而是一條曲線在空間移動，那么得到的將是一個嵌在三維空間的曲面。 由一條直線在空間平滑移動產生的曲面叫“直紋面”。尺子（直線）兩端A、B沿曲線C1和C2移動，形成一個直紋面。尺子移動的方式可以多種多樣，能形成各種不同的直紋面（圖5）。
圖5：各種直紋面 柱面、錐面和切線面這三種直紋面具有一個共同特性：可以展開成平面。將圓柱形或錐形沿軸（母線）剪開，得到的圖形平攤在桌面上沒有任何皺褶，這樣的曲面叫做“可展曲面”。切線面也是一種可展曲面。雙曲面、螺旋面、馬鞍面等都不是可展曲面。可以證明，可展曲面只有以上三種直紋面。概括講，可展曲面都是直紋面，但直紋面卻不一定可展。球面不是直紋面，球面也是不可展的。 一個曲面是否可展在物理學上很重要，比一個曲面是否為直紋面要重要得多，因為物理學家們需要知道，是什么幾何量決定了曲面的可展性。 曲率和撓率這兩個幾何量決定曲線在三維空間中某一點的形態。由于曲線都是可展的，我們可以將定義曲線的曲率概念應用到曲面的微分幾何研究之中。對于曲面上的一個給定點G，能畫出無限多條曲面上的曲線，因而可以作出無限多條切線。這些切線都在同一個平面上，稱為曲面在這點的切平面。通過該切點與切平面垂直的直線叫做曲面在這點的法線。 過法線可以作出無限多個平面，其中每一個平面都與曲面相交于一條平面曲線C，于是可以定義平面曲線C在G點的曲率（圖6a所示）。設曲線C1、C2…在G點的曲率分別為Q1、Q2…，在（Q1、Q2…）中的最大值和最小值，叫做曲面在點G的主曲率。這兩個主曲率的切線方向（或兩個法平面方向）總是互相垂直的。這是大數學家歐拉在1760年得到的一個結論，稱之為曲面的兩個主方向。從圖6右邊兩圖可以看到，兩個主曲率可正可負。當曲線轉向與平面給定法向量相同方向時，曲率取正值，否則取負值。
圖6：曲面的兩個主曲率 綜上所述歸納如下： ①.就曲線而言，任意一條空間曲線都是可展的，都可以伸展為一條直線。不同的空間曲線只是由它們“嵌入3維空間”時的彎曲和扭曲程度而區分。如果定域在曲線上看，所有的曲線都是一樣的，都與直線具有同樣的幾何性質。換言之，如果有一種極小的螞蟻生活在一條空間曲線上，它在曲線上不能知道周圍空間的任何信息，那么，它就感覺不出它的曲線世界與其它的曲線（或直線）有任何的不同。 ②.曲面有可展與不可展之分。一個球面是不可展的，而柱面、錐面可展，它具有與平面完全相同的內在幾何性質。假如有一種生活在柱面上的生物，它會覺得與生活在平面上是一模一樣的。但是，球面生物能感覺到幾何上的差異。比如說，柱面生物在它的柱面世界中畫一個三角形，三個內角之和等于180度，這個結論與平面生物得到的一致。球面生物在它的世界中畫一個三角形，如果把三個角加起來，要大于180度。 這種與曲面嵌入3維空間的彎曲方式無關，只研究所謂曲面本身上的幾何，叫做內蘊幾何。高斯是研究內蘊幾何之第一人。他抓住了微分幾何中最重要的概念，建立了曲面的內在幾何，奠定了近代形式曲面論的基礎，使微分幾何成了一門獨立的學科。 4.內蘊幾何 高斯在1827年所著《關于曲面的一般研究》發展了內蘊幾何。所謂“內蘊”，是相對于“外嵌”而言，指曲面（或曲線）不依賴于它在三維空間中嵌入方式的某些性質。從物理意義上講，一個觀察者在自己生活的物理空間所能觀察和測量到的幾何性質就是這個空間的內蘊性質。 一條直線可以在3維空間任意彎曲，即隨意改變它的曲率和撓率，生活在直線上的“點狀螞蟻”觀察不到這些“彎來繞去”，能測量到的只是弧長。但是，弧長與曲線嵌入空間中的彎曲情況無關，所以這是個內蘊幾何量。空間曲線的曲率和撓率是在三維空間中觀察“螞蟻曲線”時得到的重要性質，這并不是內蘊幾何量。對曲面來說也是如此。 由于所有空間曲線的內在性質都與直線相同，也就是曲線除了弧長再沒有其它內蘊幾何性質。因此，內蘊幾何主要研究曲面的性質。既然弧長是內蘊的，由弧長所導出曲面上的面積、夾角等其它幾何量也是內蘊的。（計算弧長按勾股定理先設計一小段，再利用計算公式進行積分。）由此可定義曲面的等距變換，即保持弧長不變的變換。曲面的內蘊幾何量都是等距變換下的不變量，或者說，根據計算弧長的公式（稱曲面第一基本公式）可以建立起曲面的內蘊幾何。 空間曲線的曲率和撓率不是內蘊的，對于曲面，可以由兩個主曲率定義“平均曲率”。研究發現，主曲率和平均曲率也都不是內蘊幾何量。直觀地看，柱面和錐面等可展曲面應該與平面有相同的內蘊幾何，而球面一類的不可展曲面，代表了另外種類的幾何。高斯注意到，雖然主曲率和平均曲率不是內蘊的，但從幾何直觀上看，應該存在某種“內蘊曲率”。
圖7：高斯映射和高斯曲率 高斯通過研究曲面在一個給定點及其附近鄰域的法線方向，定義了高斯映射，繼而再定義了曲面的內蘊曲率，即高斯曲率。如圖7a所示，高斯映射將曲面在一個給定點P及其附近鄰域（總面積為A）的法線矢量，保持原來的方向將端點平移到原點，這些法線與單位球面相交于一塊面積為B的圖形。高斯認為，面積B與面積A的比值可以代表曲面在P的內蘊彎曲程度（定義為高斯曲率）。 高斯曲率為什么能代表曲面的內在彎曲度，可以這樣理解：如果曲面是一個平面，那么p點附近所有法線都指向同一個方向，高斯映射將整個平面映射為單位球上的一個點，因此面積B為0，從而得到平面的高斯曲率為0。如果曲面是一個柱面，高斯映射是單位球面上的一個圓（注：高斯映射應該是單位球面上的一條線段），圓（線段）的面積也是0，柱面的高斯曲率也為0。考慮半徑為r的球面的情形（圖7c），根據高斯曲率K的計算公式，K=B/A=1/r2，可見r越大，高斯曲率越小，這符合我們對球面內蘊曲率的直觀理解。 高斯曲率與主曲率有一個簡單關系：高斯曲率就等于兩個主曲率的乘積。對柱面、錐面、切線面這三種可展曲面，曲率的最小值為0，因此兩個主曲率相乘而得到的高斯曲率也為0。高斯曲率表明，三維空間中曲面在每一點的曲率不隨曲面的等距變換而變化（絕妙定理），也就是說，高斯曲率是一個內蘊幾何量。 絕妙定理絕妙之處在于它提出并證明了內蘊幾何這個幾何史上全新的概念，它說明曲面并不僅僅是嵌入三維歐氏空間的一個子圖形，曲面本身就是一個空間，這個空間獨立于外界3維空間而存在，有它自身內在的幾何學。
圖8：內蘊幾何是測地員（或“爬蟲”）觀察到的幾何 圖8b是生存在各種類型曲面空間中的“爬蟲生物”所觀察到的幾何。在圖8b中，平面是一個2維的歐氏空間，而球面和雙曲面則是非歐氏空間。 5.黎曼幾何 高斯以他的“絕妙定理”建立了曲面內在的微分幾何，高斯的得意門生黎曼將曲面的概念擴展到流形，使內蘊幾何擴展到n維的一般情形，形成了黎曼幾何。黎曼在演講論文《論作為幾何基礎的假設》中提出了一大堆陌生概念，開創了一種嶄新的幾何體系。據說當時在黎曼就職演講的聽眾中，唯有高斯聽懂了黎曼在說些什么。 根據曲面第一基本形式（曲面上計算弧長的公式），可以建立起曲面的內蘊幾何。三維空間中兩個參數u和v所描述的曲面的第一形式可用下式表達： ds2= E du2+ 2F dudv+ G dv2
圖9：平面（a、b）和球面（c）上的弧長（微分）表達式 上式中的E、F、G是曲面第一基本形式的系數。黎曼將二維曲面的概念擴展為“n維流形”，將E、F、G等系數擴展為定義在n維黎曼流形上每一點p的“黎曼度規”gij(p)：
有了度規，就有了度量空間長度的某種方法，能夠測量和計算距離、角度、面積等幾何量，從而建立流形上的幾何學。從圖9中平面和球面上的弧長微分計算公式，能對黎曼度規gij得到一點直觀印象。在二維平面和二維球面的弧長微分公式中，下指標i和j的取值從1到2，可以將度規gij寫成2×2的矩陣形式：
上面3種情況下的度規意義是： ①.平面直角坐標的度規是個簡單的dij函數（i等于j時為1，否則為0），對整個平面所有的p點都是一樣的； ②.平面極坐標的度規對整個平面不是常數，隨點p的r不同而不同； ③.球面坐標上的度規也不是常數。 由①和②可知，同樣是描述平面，如果所選坐標系不同，度規也將不同。由于平面極坐標和直角坐標可以互換，所以②的極坐標度規可以變換成①的dij函數形式的度規。對③的球面度規是否可以變換成如①的那種d函數形式的度規？答案是否定的。也就是說，在ds保持不變的情形下，無論你作何種坐標變換，都不可能將球面的度規變成①所示的d形式。由此表明，球面的內在彎曲性質無法通過坐標變換而消除，黎曼度規可以區分平面、球面或其它空間的內在彎曲狀況。 一般來說，黎曼流形上每一點p的黎曼度規gij(p)隨p點的不同而不同，這種以空間中的點為變量的物理量叫做“場”。黎曼度規gij(p)具有兩個指標（i和j），在坐標變換下是按一定規律變化的幾何量，叫做二階張量，gij(p)是黎曼流形上的2階張量場。不難看出，對n維流形上的點p，gij(p)在給定的坐標系中有n2個分量，可以表示成一個n×n的矩陣。除了2階張量場，黎曼流形上也能定義0階張量（標量）場、1階張量（矢量）場、3階、4階以及更高階的張量場。 張量在物理及工程上應用廣泛，尤其是“矢量”的概念，包括速度、加速度、力、電流、水流、電場、磁場等等，這些既有方向，又有大小的物理量，都可以用矢量來表示。n維空間的矢量有n個分量，標量則只有1個分量。 如果一個黎曼流形上每一點的度規張量都可以寫成dij函數形式，則稱之為“平”流形。流形“平”或“不平”，定義在它上面的幾何規律將完全不同。 黎曼將二維曲面的球面幾何、雙曲幾何（羅巴切夫斯基幾何）、歐氏幾何，統一在下述黎曼度規表達式中（公式a是2維曲面的高斯曲率）：
如同嵌入三維空間中的二維曲面大多是不可展一樣，流形的多數也不是“平”的。高斯曲率用來描述平面和“不可展”曲面的差異，黎曼將曲率的概念擴展為“黎曼曲率張量”。 黎曼流形上在某一點的切空間，一般情況下n維流形只考慮n≥3，因為人類大腦想象不出、計算機也畫不出更高維“不平坦”流形是什么樣子，所以只好用嵌入3維空間的2維曲面來表示“彎曲”流形（如圖10所示）。
圖10：流形和過每一點的切空間 6.平行移動和協變微分 所謂平行移動，就是將一個矢量按平行于自身的方向沿空間的一條曲線移動。這種沿著某條曲線的平行移動，可以看成是由許多沿著無窮小的一段弧長ds平行移動的連續操作而構成的。因此，首先需要理解“平行移動無窮小弧長ds”的意義。“無窮小”與微分有關，涉及流形中矢量場的“導數”概念。 黎曼流形上定義的張量場，就是流形上每個點都有的物理量（張量），包括標量、矢量、二階以上張量等。如果用n維空間的坐標表示張量的分量，標量是1個數，矢量是n個數，2階張量是n2個數，3階張量是n3個數，依次類推。根據分量數目的這種規律，可以將坐標系中的張量分量用取值從1到n的指標i、j、k…來表示。比如標量f，不需要指標，為0階張量；矢量Vi，1個指標，為1階張量；有兩個指標的度規張量gij是二階張量；4階張量Rijkr有4個指標。 必須注意，分量數目符合上述規律的物理量不一定是張量，只有當坐標變換時，張量的分量按照某種相關的規律變化，才能稱之為張量。另外，張量的指標i、j、k等，有的在上，有的在下，這只是一種約定俗成，分別指“逆變”和“協變”。例如某矢量，如果它的分量按照和坐標基矢ei相同的變換規律“協調一致”地變換，這樣的矢量叫做協變矢量，指標寫在下面，記為Vi。如果某矢量的分量按照和坐標基矢ei變換的“轉置逆矩陣”的規律而變換，這樣的矢量叫做逆變矢量，指標寫在上，記為Vi。其它階張量指標按類似約定來分成“協變”或“逆變”，從而決定該指標寫在“下”或“上”。
圖11：任意坐標下的協變矢量和逆變矢量 圖11給出了協變矢量和逆變矢量的直觀幾何意義。同一個矢量V，可以用對坐標平行投影的方法表示成逆變矢量，也可以用對垂直坐標投影的方法表示成協變矢量。對直角坐標系而言，兩種坐標系是一樣的，所以沒有“協變量”、“逆變量”的區別。 張量的變換規律決定了張量的一個重要性質：如果在某個坐標系中，一個張量是0，那么，這個張量在其它坐標系中也是0。也就是說，張量是獨立于坐標而存在的。這一點對于物理定律的描述很重要，因為物理定律也是不依賴于坐標的，坐標只是為了計算的需要而被引入，而物理定律往往用一個方程式（右邊等于0）表示。張量0可以不依賴于參照系選擇，與矢量的原始定義是相恰的。矢量同時具有大小和方向，它并沒有什么坐標牽扯進來。在一定的坐標系，V可以表示成坐標基矢ei（或者ei）的線性組合： V = Viei = Viei 這個表達式已約定俗成，叫做愛因斯坦約定。它表示，如果指標i在式子中出現兩次（一上一下），即指對指標的所有可能取值求和。矢量（張量）的協變分量和逆變分量可以通過度規張量gij互相轉換： Vi = gijVj 假設V = Viei = Viei描述的是歐氏空間的一個矢量場V，使用笛卡爾直角坐標系，基矢ei是整個空間不變的，對V的導數只需要對Vi求導就可以了。但是，對一般的流形（平坦空間的曲線坐標或者不平坦的任意度規），坐標架和基矢ei都逐點變化，對V的導數還必須考慮ei的導數。一般來說，ei的導數仍然是ei的線性組合，將其系數記為Gmab，叫做克里斯托費爾符號。 度規張量gij實際上是坐標基矢ei的內積：gij = ei·ej。因此，由坐標基矢之導數定義的克里斯托費爾符號與度規張量以及度規張量的導數有關。 7.二維曲面上的平行移動和曲率 根據“無限小”平行移動公式，矢量的平行移動是將矢量的坐標分量作相應改變。這可由幾個簡單例子作直觀理解。
圖12：平行移動舉例 如圖12a，將錐面從頂點剪開后重新展開成一個平面圖形。這個平面圖形與歐氏平面的區別在A和B是錐面上的同一點，因此，直線OA和OB被理解為是同一條線。圖15a中右方的閉合曲線C1沒有包含頂點O，曲線C1所在的區域和歐氏平面沒有任何區別。當一個矢量平行于自身沿C1經過點（1-2-3-4-5-1）逆時針繞行一周后，和原來在平面上繞行一周一樣，方向不會改變。但是，如果矢量是沿著左邊的曲線C2平行移動，由于C2包括了頂點O，矢量在繞行過程中必然要碰到直線OA。假設矢量從B點出發時的方向垂直于OB，由于A、B、1三個點其實是同一個點，所以出發時的矢量方向也是垂直于OA的。當矢量經過點2、3、4到達5時，應該保持和原來相同的方向。客觀上點5就在直線OA上，但在OA和OB之間剪去了一個角，平行移動到點5時，矢量并不垂直于OA，而OA和OB又是同一條線，所以最后的矢量與OB也不垂直。這種產生矢量變化的原因在于平面被剪去一角后成為錐面，使得繞行C2一周在平面上并沒有繞過360度，而是少走了一個角度，導致矢量平行移動后產生了“角度虧損”。 因此，任何矢量在錐面上作平行移動的規律很簡單：如果繞行的回路中沒有頂點，矢量方向不變；如果回路包括了頂點，則將產生一個固定的角度虧損，這個角度差別取決于錐形的形狀。 矢量平行移動一周之后產生的角度虧損與繞行曲線所包圍的區域的彎曲性質有關，如果那塊區域是完全平坦的，則沒有角度虧損。換言之，角度虧損是被包圍的區域中的“不平坦”產生的。對于錐面的情況，不平坦的來源是頂點。a的圓Ca 地球是一個球面，我們更感興趣在球面上的平行移動。在圖12b中，賦予球面經緯坐標，考慮緯度為a的圓Ca，球面上的矢量沿圓Ca的平行移動可簡化為錐面上的平行移動，這好比給球面帶上一頂剛好與Ca相切的錐形帽子。因此，球面上沿Ca平行移動的角度虧損等于沿錐面平行移動的角度虧損。這個角度差與錐形“帽子被剪去”有關，它與緯度a的關系是：矢量順時針平行移動后，其方向以順時針方向旋轉了2πsina，相應的角度虧損為2π(1-sina）。如果緯度a變大，圓周Ca向上方移動且變小，錐形帽子剪去的角度也就更小，錐形變得更平坦，因而使得平行移動后的角度虧損也更小。 物理上，球面平行移動的計算可以用來解釋傅科擺現象（圖12c）。傅科擺是證明地球自轉的一種簡單設備，根據法國物理學家萊昂·傅科而命名。考慮懸掛在位于緯度為a處的單擺，因為地球繞著南極北極的軸自轉，單擺上方的固定點將和地球一起轉動，而擺平面的方向卻是相對自由的。如果用一個矢量V來表示擺平面的方向，在以太陽為參考系的觀測者看起來，當地球自轉一周時，矢量V沿著緯度為a處的緯圈平行移動了一圈。根據剛才對球面上平行移動的分析可知，矢量V平行移動一圈之后，將和原來的方向相差一個角度（2πsina這正是被傅科擺實驗證實了的擺平面旋轉的角度）。 由以上分析知道，矢量沿a緯圈平行移動一圈的角度虧損為2π(1-sina），這個角度虧損來源于所包圍區域的“不平坦”性的總和。如果繞行的圓圈越小，角度虧損也越小。在北極（或南極）附近，緯度a靠近90°的地方，圓圈的面積接近0，角度虧損也接近0。因為球面的對稱性，它處處的“不平坦”程度都是一樣的，所以在球面上將任何矢量平行移動一圈回到出發點后的角度虧損很容易計算：角度虧損q正比于閉曲線所包圍的區域面積A。 對于一般的2維曲面，上述“角度虧損q正比于區域面積A”的結論在大范圍內不能成立，但在2維曲面某個給定的P點附近，當繞行的回路趨近于無限小的時候仍然成立。也就是說：無限小的角度虧損dq將正比于無限小的區域面積dA。 高斯曲率是根據高斯映射來定義的，高斯映射也涉及到平行移動，只是說法不太一樣。有了黎曼流形上矢量平行移動的概念，就可以用平行移動來重新定義二維曲面上的內蘊曲率R。 矢量繞曲面上P點附近無限小的一塊區域平行移動后，產生的角度虧損dq將正比于區域的面積dA，即 dq = RdA 這里的比例系數R，被定義為2維曲面在P點的曲率。對半徑為r的球面：2π(1-cos(da)）= Rπ(dr)2,其中dr = r×da，于是可以解出球面的曲率R=1/r2。對剪去一個有限角度d而形成的錐面，只要繞過的區域包含了頂點，角度虧損便都固定等于d，無論面積dA取得多小。因此，錐面上頂點處的曲率等于無窮大，其余點的曲率為0。 按照定義，曲率R可正可負。如果矢量沿著閉合曲線逆時針方向平行移動一周后得到逆時針方向的角度變化，或者順時針方向平行移動后得到順時針方向的角度變化，得到的曲率為正，否則為負。馬鞍面是曲率為負值的二維曲面例子。 8.測地線和曲率張量 平行移動的概念不僅可以被用來定義曲面的曲率，也可以被用來定義測地線。 測地線是歐氏幾何中“直線”概念在黎曼幾何中的推廣。按歐氏幾何，直線是兩點之間最短的連線，這可用“切矢量方向不變”來定義。將后一種說法稍加改動，便可直接推廣到黎曼幾何中：“如果一條曲線的切矢量關于曲線自己是平行移動的，則該曲線為測地線。”
圖13：在緯度a的圓上以及在赤道上切矢量的平行移動有所不同 切矢量的平行移動與矢量的平行移動類同。一般來說，沿著球面上緯度為a的圓的平行移動等效于在一個錐面“帽子”上的平行移動。然而，當a=0時（對應于赤道），錐面變成了柱面，因而可以將錐面或柱面（赤道）展開成平面來研究球面上的平行移動。圖13的中圖和右圖分別是錐面和柱面展開的平面上平行移動的示意圖。可以看出，切矢量的平行移動對a=0（赤道）和a>0（非赤道）兩種情形有所不同。對于小于赤道的圓，從錐面展開的平面圖可知，點1的切矢量平行移動到2、3、4等各點后不一定再是切矢量；而赤道在柱面展開的平面圖中是一條直線，點1的切矢量平行移動到各點后仍然是切矢量。在赤道上（大圓）的切矢量平行移動后仍然是切矢量，這符合測地線的定義，因此所有大圓都是球面上的測地線。 測地線是否一定是短程線，在歐氏空間是肯定的，在一般的黎曼空間不一定如此。比如球面上，連接兩點的測地線至少有兩條（大圓的兩段），那條小于180°的圓弧是短程線，而另一條就不是短程線了。從局部考慮，對于充分接近的兩個點，測地線是最短曲線。 二維曲面上一點P的曲率R，被定義為“任意矢量沿曲面上無限小的閉曲線平行移動后的角度虧損對閉曲線所包圍之面積的導數”，即標量曲率R=dq/dA。這包含了如下幾點涵義：曲率R是局部的，隨點P位置的變化而變化；曲率R的定義依賴于一個2維曲面；曲率R的定義與某個角度虧損有關。這個虧損了的角度，就是矢量的方向平行移動后相對于原來的方向繞某一個軸轉動的角度。 如果在2維曲面上的每個點能定義一個曲率R，我們就說定義了2維曲面上的一個標量曲率場。考慮一般的n維黎曼流形，需要將上述的曲率概念加以推廣。但是，如果按照2維曲率定義的方法，當n大于2時，不只是一個曲率值，而是可以定義多個曲率數值。其原因在于，過高維空間中一點的二維面不止一個，考慮角度虧損也不只有一個角度虧損值。相對于每一個可能存在的轉軸，都將有一個所謂角度虧損值。如此一來，n維流形上每一個點的曲率需要不止一個數值來描述。為了解決這個困難，在每個點的切空間中定義一個曲率張量，即賦予黎曼流形上一個曲率張量場。 那么，這個曲率張量的階數是多少，或者說，這個曲率張量需要幾個指標才能表征n維黎曼流形在一個給定點的內蘊彎曲度，我們可以用如下的方法將2維空間標量曲率概念推廣到n維以上的流形。
圖14：黎曼曲率張量和平行移動 首先，考慮n維流形中的矢量V在P點附近的平行移動方式，是可以沿著過P點的任何一個2維子流形的回路平行移動。在圖14中，V是在由坐標xm和dxn表示的曲面上沿著dxm、dxn、-dxm、-dxn圍成的四邊形回路平行移動。當V繞回路一圈返回原點時將和原來矢量不一樣，得到了一個改變量dV。類比于標量曲率R的定義，矢量的這個增量應該正比于平行移動的路徑所圍成的面積（面積是dxmdxn）。此外，增矢量dV與原矢量V有關，考慮dV和V方向上的差異，增量dV的逆變分量dVa可以寫成如下形式： dVa = dxm dxn VgRn amg， 這里將平行移動一周之后的微小變化用符號d表示，以區別于坐標的線性微分增量dxm 或dxn。式中的比例系數Rn amg便是黎曼曲率張量。所涉及的四個指標，其中m和n對應于平行移動路徑所在的2維曲面，另外兩個指標a和g分別表示矢量增量dV及原來矢量V的逆變指標。公式右邊的重復指標m、n和g是求和的意思，遵循“愛因斯坦約定”。 黎曼曲率張量是個四階張量，對n維空間，四個指標都可以從1變化到n，因而分量數目很多。利用對稱性的性質，獨立分量的數目大大減少，只有n2(n2-1)/12個。當n=4時有20個獨立分量；當n=2時，曲率只有一個獨立分量，即2維曲面的高斯曲率。 在黎曼幾何中有多種方式理解和定義內在曲率。本來是同一個東西，從不同角度看可以加深理解。用平行移動概念來定義的四階黎曼曲率張量Rn amg是定義曲率最標準的形式；“截面曲率”被定義為n維流形過給定點的所有2維截面高斯曲率的總和，截面曲率等效于黎曼曲率張量，與截面曲率有關的20個獨立分量同樣也是內蘊曲率的完整描述。 愛因斯坦的引力場方程用的是另外兩個稱之為里奇曲率的幾何量：里奇曲率張量Rμν和里奇曲率標量R。這兩個曲率是通過上述黎曼曲率張量的指標縮并而得到的。縮并就是將矩陣只用一個數（它的trace）來表示，縮并后，原來的n2個矩陣就變成了n2個數值，這就是所謂的里奇曲率張量。將里奇曲率張量的兩個指標進一步縮，可化為一個標量R = gμνRμν。在2維曲面情形下，R正好是高斯曲率的2倍。 高斯和黎曼的微分幾何，強化的是流形的“內蘊”性質。遺憾的是我們無法用直觀的圖像來表達更為高維空間的這種內蘊性，唯一能加深和驗證理解的直觀工具就是想象嵌入在三維歐氏空間中的各種二維曲面。因此務必記住，在研究這些曲面的幾何性質時，盡量不把它們當作三維歐氏空間中的子空間，而是把自己想象成生活在曲面上、只能看見這個曲面上發生的事件，當我們基于這個曲面進行測量或考慮問題時，涉及的幾何量才是內蘊幾何量。而要保持內蘊的思考，那就是：一切都得從度規張量出發。 理解黎曼幾何和廣義相對論的另一個重要原則是，物理規律與坐標系無關。盡管任何有用處的實際計算都是在某個坐標系進行的，但計算結果表達的物理定律卻是獨立于坐標而存在。這也是要將描述物理規律的方程式寫成“張量”形式的原因，因為張量的坐標分量在坐標變換下是作線性齊次變換。線性表明張量屬于切空間，齊次表明張量與坐標系選擇無關。如果一個張量在某個坐標系下所有分量都是零，經過線性齊次變換后，它在任何坐標系中都將是零。 9.等效原理 狹義相對論是基于相對性原理和光速不變原理而建立的，它通過洛倫茨變換將麥克斯韋的電磁理論編織進新的時空理論之中。按照狹義相對論，時間和空間不再是獨立而絕對的，而是由閔可夫斯基的四維時空將它們聯系在一起。在這個理論框架內，所有相對作勻速運動的慣性參考系都是平權的，物理定律在任何慣性參考系中都具有相同的形式。但是，除了慣性參考系，還有非慣性參考系，一個在加速參考系中的物理規律是否適合慣性參考系？ 從最基本的原理、最簡單的情形出發來思考問題，從來就是愛因斯坦的特點。意大利的比薩斜塔，伽利略在這里做過“自由落體”實驗，證明了地表引力場中一切自由落體都具有同樣的加速度。后來有人質疑伽利略的斜塔實驗，但這并不重要。關鍵是斜塔實驗所證明的物理規律是公認的，之后的多次類似實驗也是相符合的。1971年，阿波羅15號宇航員大衛·斯科特在月球上將一把錘子和一根羽毛同時扔出，兩樣東西也是同時落“地”。愛因斯坦認識到這條定律的重要性，因為它首先可以被表述為“慣性質量等于引力質量”，進一步的推論可以得到加速度與引力間的等效原理。 何謂慣性質量，何謂引力質量？簡言之，牛頓第二定律F=ma中的m是慣性質量，它表征物體的慣性（抵抗速度變化的能力），而引力質量則是決定作用在物體上引力（如重力）大小的一個參數。在自由落體實驗中，與引力質量成正比的地球引力，克服慣性質量而引起了物體的加速度，這個加速度應該正比于兩個質量的比值。正如實驗所證實的，下落加速度對所有物體都一樣，兩個質量的比值也對所有物體都一樣。既然對所有物體都相同，兩者的比例系數便可以選為1，說明這兩個質量實際上是同一個東西。這個看起來平淡無奇的結論卻激發了愛因斯塔的好奇心，他認為其中也許深藏著慣性和引力之間的奧秘。
圖15：等效原理 愛因斯坦設計了一個思想實驗來探索這個奧秘。實驗的基本思想是（圖15）：設想在沒有重力的宇宙空間中，一個飛船以勻加速度g =9.8m/s2上升，這個上升加速度與地面上的重力加速度相等。關在飛船中看不到外面的觀察者，將會感到一個向下的力。這種效應與我們坐汽車上的感覺一樣，汽車向前加速，乘客會感覺一個相反方向（向后）的作用力，反之亦然。因此，圖15的左a和右b中的人無法區分是在以勻加速度上升的飛船中，還是在地面的引力場中。換言之，加速度和引力場是等效的。 假如考慮有光線從水平方向射進飛船，由于飛船加速向上運動，光線在到達飛船另一側時應該射在更低一些的位置。因此，飛船中的觀察者看到的光線是一條向下彎曲的拋物線。而圖b與圖a是等效的，當光線通過引力場的時候，也應該和飛船中的光線一樣呈向下彎曲的拋物線形狀。也就是說，光線將由于引力的作用而彎曲。 光線在引力場中彎曲的現象可以從另一個角度來理解。可以認為不是光線彎曲了，而是引力場使得它周圍的空間彎曲了。或者用相對論的術語表達，是“時空彎曲”了。光線是按照最短的路徑傳播，只不過在彎曲的時空里的最短路徑已經不是原來的直線而已。 由引力與加速度等效，還可以推出另一個驚人的結論：引力可以通過選擇一個適當的加速參考系來消除。比如說，一臺突然斷了纜繩的電梯，立即成為一個自由落體，以9.8m/s2的重力加速度下降，電梯中的人將會產生“失重感”。而且，不僅僅是有失重感覺，還會看到別的物體好像沒有重量似的。也就是說，電梯下落的加速度抵消了地球的引力。愛因斯坦從中看出了暗藏的引力奧秘：引力與其它的力（比如電力）大不一樣，因為我們不可能用諸如加速度這樣的東西來抵消電磁力。為什么可以消除引力，也許引力根本可以不被當成一種力，而可能是彎曲時空本來就有的某種性質。這種將引力作為時空某種性質的奇思妙想，將愛因斯坦引向了廣義相對論。 開始，愛因斯坦只是企圖按照上面的思路將引力包括到狹義相對論的范疇，但他很快就意識到有大障礙。一個均勻的引力場的確可以等效于一個勻加速度參考系，而宇宙中并不存在真正均勻的引力場。按照萬有引力定律，引力與距離成平方反比率，地球施加在我們頭頂的力要比施加在雙腳的力小一些，并且，引力的方向總是指向引力源的中心（即作用在物體右側和左側的引力方向不是絕對平行），地球表面“重力處處一樣”只是一個近似。然而，要建立宇宙中引力的物理數學模型，就必須考慮這點了，因為在大尺度上，這種差異能產生明顯的可見效應。例如，地球表面海洋的潮汐現象，就是因為月亮對地球的引力不是一個均勻引力場而形成的（圖19a）。
圖16：潮汐力、地球的引力 盡管愛因斯坦的思想實驗描述了如何用一個勻加速參考系來抵消一個均勻的引力場，但實際上的引力場卻是非均勻的，不可能使用任何參考系的變換來消除。圖16b顯示的是地球引力場，在四個方向需要用四個不同的勻加速參考系來作局部等效的近似描述。 這個問題困擾了愛因斯坦好幾年，直到后來得到數學家格羅斯曼的幫助為止。根據格羅斯曼的介紹，愛因斯坦才驚奇地發現，早在半個世紀之前，黎曼等人就已經創造出了他所需要的數學工具。有了黎曼幾何，愛因斯坦才順利地開啟了廣義相對論的大門。 10.雙生子佯謬 描述任何事件，除了要由3個值決定位置（地點），還有一個事件發生的時間問題。如果把時間當作另外一個維度，我們的世界便是4維的了，稱之為4維時空。但時間和空間的物理意義終有區別，無法簡單的完全一視同仁。 天才數學家龐加萊將四維時空中的時間維和空間維分別用實數和虛數來表示，3個實數坐標代表空間，1個虛數坐標描述時間，或者反過來使用也可以，只不過是一種約定。習慣上經常使用的是后者。閔可夫斯基發展了龐加萊想法，他用仿射空間來定義4維時空，可以在形式上用對稱統一的方式處理時間和空間。這樣一來，如同3維歐氏空間中的坐標旋轉，洛倫茨變換成為4維時空中的一個雙曲旋轉。歐氏空間中的兩個相鄰點的間隔是一個正定二次式： ds2 = dx2+dy2+dz2， 這不適用于閔可夫斯基時空，因為時空中的坐標除了實數之外，還有了虛數。因此，在閔可夫斯基時空中兩個相鄰點間隔的平方變成了： dt2 = dt2-dx2-dy2-dz2， 這兒的dt被稱為固有時。不同于歐幾里德度規，閔可夫斯基時空的度規是“非正定”的。時間和空間的概念不同，空間是各向同性伸展的，空間位置可以隨意移動，朝一個方向前進之后可以反向再回來。但是時間不同，它是單向性的，只能向前，不會倒流，否則便會破環因果律。也正是因為如此，狹義相對論引出了許多“佯謬”，其中“雙生子佯謬”是最著名的一個，最早由朗之萬在1911年提出。 假設一對剛出生雙胞胎A和B（即哥哥劉天/弟弟劉地），A坐宇宙飛船去太空旅行，航速假定為光速的3/4；B則留在家里（地球上）過日子（圖17）。按照相對論，飛船上與地球上的時間差異效應很明顯。所謂“時鐘變慢”，是一種物理效應，不僅僅是時鐘，而是所有與時間有關的過程，諸如植物生長、細胞分裂、原子震蕩，以及人的心跳、物體運動等所有過程都放慢了進程。現在是B在家里過了60年之后，A從太空返回了地球。根據“運動中的時間變短”，A只旅行了40個年頭，仍然風華正茂，當他看到弟弟B，已是老態初現。人們要問，到底會不會是這種現象？這就是雙生子佯謬問題。
圖17：雙生子佯謬和同時性 首先需要明確，狹義相對論并不認為所有的參考系都等同，只是認為慣性參考系才是等同的。A飛離地球和返回地球是兩個階段，每一段的過程相對地球都是勻速運動，都能夠分別當作是慣性參考系。但就整個過程看，卻不能共同作為一個統一的慣性參考系，即A出發與返回的整個過程并不是在一個慣性參考系。在圖17b中，畫出了一個時間軸t加一個空間軸x，（t，x）是地球參考系的坐標，兄弟A、B的時空過程分別用他們的“世界線”來表示。世界線是指事件在時空中所走的路徑。B的世界線是沿著t軸，而A的世界線是一條折線。 考慮太空船掉頭返回的加速或減速過程是必不可少的，關鍵是要把“固有時”概念搞清楚。
圖18：固有時和坐標時的區別以及與弧長的類比 固有時或稱原時。設想如圖18a的旅行者（太空人）自己記錄距離和時間，他的記錄就是固有時（圖18c）。從圖18b可以看出固有時和坐標時的區別，坐標時是事件之外的觀察者使用某個參考系而記錄的事件發生的時間，固有時是旅行者自己的時鐘記錄的時間。 固有時與弧長不同，普通空間的弧長一般比坐標數值大，但固有時卻比坐標時小。換言之，固有時用以描述時空中兩個事件之間流過的時間，這個時間被賦予事件自身的時鐘所測量。因而，測量結果不僅取決于兩個事件對應的時空點位置，而且也取決于時鐘參與其中的具體過程。更簡節地說，固有時是時鐘的世界線長度。 如何計算雙胞胎在重逢時各自度過的真實年齡，結論是：計算和比較他們在兩次相遇之間的固有時。因為固有時t是內蘊不變的，這個計算可以在任何一個參考系中進行，都將得到同樣的結果。 11.四維時空 在科學史上，相對論引發諸多“佯謬”是絕無僅有的。除了雙生子佯謬，還有滑梯佯謬、貝爾飛船佯謬、轉盤佯謬等，以及它們的許多變種。這些佯謬的產生，都是出于對同時性、時鐘變慢、長度收縮、相對性原理、不同參考系觀察者、統一時空等概念的思考和質疑。時間和空間到底是什么？公元四世紀哲學家圣·奧古斯丁對“時間”有一句名言：“無人問時我知曉，欲求答案卻茫然”。相對論是否部分地回答了這個問題，盡管眾口難調，見仁見智，但相對論起碼為我們提供了一種科學的思路和方法，使我們能從物理理論上較為詳細地詮釋這些概念，何況還有上百年來大量實驗結果及天文觀測數據的驗證和支持。修正尚可，否定不易，起碼不是詆毀謾罵之輩能做到的。 提出一種佯謬，往往總是涉及到加速度參考系，但分析和理解佯謬并不一定需要廣義相對論，許多相關問題也并非一定要使用彎曲時空理論來解釋，正如黎曼流形的每一個局部都還是一個歐氏空間。廣義相對論的彎曲時空，它在每一個局部仍然是一個閔可夫斯基空間。 閔可夫斯基4維時空的性質對廣義相對論至關重要，是理解彎曲時空、分析黑洞等奇異現象的基礎。它是歐氏空間的推廣，仍然是平坦的。閔氏空間與歐式空間的區別在于度規張量的正定性，在黎曼流形上局部歐氏空間定義的度規張量場gij是對稱正定的。如果將時間維加進去，度規張量便不能滿足“正定”的條件了。將非正定的度規張量場包括在內，黎曼流形的概念擴展為“偽黎曼流形”。幸運的是，奇維塔聯絡及相關的平行移動、測地線、曲率張量等概念，都可以相應地推廣到偽黎曼流形的情形。 度規張量是一個二階張量，可以被理解為方形“矩陣”。矩陣也是“對稱正定”的，行和列對換后仍然是原來矩陣的那種矩陣。度規張量的對稱性，是由它的定義決定的： ds2 = gijdxidxj. 任何矩陣都可以分解成一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。根據度規的定義可知，gij的反對稱部分對ds2的貢獻為0。所以，度規張量可以被認為是一個對稱矩陣，矩陣“正定”可以理解為這個矩陣的所有特征值都是“正”的。歐氏空間度規的正定性意味著實際空間中距離（弧長）的平方是一個正實數ds2 = dx2+dy2+dz2。因而，歐氏空間的度規是一個對稱正定的d函數。 閔可夫斯基時空的度規是對稱的，但數學形式不是正定的：dt2 = dt2-dx2-dy2-dz2，其度規記為h函數。式中的t是時間，x、y、z是3個空間維坐標，而dt取代了弧長ds，被稱為固有時。由于時間間隔和空間距離的量綱不一樣，這里約定將光速定義成1。也就是說，四維時空的度規本來應該表示成：c2dt2 = c2dt2-dx2-dy2-dz2，當約定了c=1，公式變得簡明（務必記住這點）。 歐氏空間度規函數d和閔氏空間度規函數h寫成矩陣形式：
在公式（2-13-2）中，第一維的本征值1對應于時間，其它本征值為-1的3個維度對應于3維空間。時間和空間統一在4維時空中，是為了數學上的方便。狹義相對論揭示了時間空間的相對性及它們之間通過洛倫茨變換的互相關聯，但時間和空間畢竟是不同的物理概念，時間用時鐘度量，空間用尺子度量，它們在4維時空中分別對應實數和虛數，用以反映“時鐘”和“尺子”不能互變的物理事實。 圖19a的4維時空圖實際上只畫了3維，包括1個豎直方向的時間維和2個水平空間維。時間軸往上的方向表示未來，向下代表過去。圖中的圓錐稱為光錐。以時空中的一點為錐頂的光錐將這個點附近的時空分成類時、類光、類空三個部分。 四維時空中的一個點，有時間有位置，按照通常ij理解把它叫做一個“事件”。例如，圖19b中的A點，表示粒子初始時刻t1的空間坐標為(x1,y1)這個“事件”，在時刻t2，粒子運動到了空間位置(x2,y2)，即粒子最后在時空中的位置，這個“事件”用點B(t2,x2,y2)來表示。從A到B的曲線，叫做粒子的“世界線”，它用以描述一個點粒子在時空中的運動軌跡。如果考慮的對象不是一個點，比如說，一條線蟲，它在時空中的軌跡就成為了“事件面”，而要描述像阿扁那樣的2維生物隨時間長大的過程，就是個“世界體”了（圖19b）。
圖19：四維時空和世界線 解讀雙生子佯謬中的兄弟兩次相遇，是當作2維時空中的兩個事件點，分別計算兩條世界線的“固有時”再加以比較而得到答案。2維閔氏時空中兩個任意事件之間直線路徑的距離表示為：t2=t2-x2。這個表達式右邊的數值可取正、零、負，分別定義為兩個事件之間的相對關系是類時、類光或類空。如果兩事件的關系是類時（t2﹥0），t代表固有時。類時關系說明兩個事件之間有因果先后的關聯。如果兩個事件的關系是類光（ t2=0），說明它們位于不同的光錐上，只有速度最快的光才能將它們聯系起來。在類空（t2﹤0）情形下，兩個事件之間的間隔無法叫“固有時”，因為它的本質已經不是時間，而更像空間。但它可以被另一個物理量即“固有距離”s來表征：s2=x2-t2。“類空”說明兩個事件之間不可能具有因果關系，除非存在超光速的信號，才能將它們互相聯系起來。兩個類空事件點之間不可能有真實粒子的“世界線”，真實粒子世界線的位置一定在光錐以內，是類時的。類空的兩個事件互相位于對方的光錐之外。
圖20：二維閔可夫斯基時空中事件之間的關系 12.勻加速參考系上的觀察者 假設有3個人A、B、C，相對于地球靜止參考系，B和A分別乘坐勻速運動和勻加速運動的宇宙飛船去太空，而C則一直留在地面。分析這3個人分別體驗到的時空世界是怎樣，可假設C所在的地面附近是一個平坦時空。圖21a是C在他的閔氏2維時空中畫出來的B和A的世界線，他將整個飛船視為一個點。
圖21：勻速運動參考系和勻加速運動參考系 C在他的坐標系中靜止不動，世界線是垂直向上的直線；B的飛船作勻速運動，世界線是一條指向斜上方的直線；A的飛船作勻加速運動，世界線是一條雙曲線。我們可以觀察到，作勻速運動的B在他的全部過程中可以看到整個2維時空中的事件，但作勻加速運動A卻不是這樣。“事件”是2維圖中的一個點（某時某處），“可以看到事件”的意思是從這個事件發出的光，即在2維時空圖上從事件點向上方畫的兩條45°斜線之一，將與該觀測者的世界線相交。勻速運動的直線可以和圖21a中任何位置點發出的光線相交，說明B可以看到整個2維時空。對于A的雙曲世界線，情況就不一樣了。A所能看到的時空事件很有限。比如圖21b中所示的事件S1、S2，發出的光線（向上的綠色小箭頭）到達不了A所在的雙曲線，即不會與A的世界線相交。同時，A發出的光信號也到不了S2、S3處。所以A能夠傳遞信息的空間只有圖中右邊雙曲線所在的非陰影的部分，也就是說，對作勻加速運動的A而言，存在一個“事件地平線”，即相對論術語的所謂“視界”。A的視界呈現在圖21b中，就是那條從左下角到右上方的45°直線，她不能看見這條直線左邊（視界之外）時空發生的任何事件。 圖21c是2維時空圖的第一象限。假設這是一個相對于地面靜止的參考系觀測到的平坦時空。將圖a中所描述的情形改變一下，設想A、B、C三人在t=0時，B和A坐上的都是勻加速運動宇宙飛船，C仍然留在地面。在開始的片刻，A和B及飛船的世界線都是圖中所畫的那條雙曲線。在t=0之后，飛船發出的光信號能夠與地面上C的世界線相交，說明C可以“看”見A和B。然而，對作勻加速運動的飛船來說，不能收到C在t﹥0之后發出的任何信號。因此，飛船中的A和B看見的C只是t=0那一刻的形象，C后來的變化已經消失在飛船的“視界”之外。 假設在圖中B1的那個時空點，B不從飛船上掉到了茫茫宇宙空間中，B繼續按飛船B1時刻的即時速度V在空中作勻速運動。因而B脫離了飛船的世界線，他的世界線變為一條在B1點與雙曲線相切的直線（圖21c）。問題是：從B1之后，A還能看見B嗎？B和C之間又如何？ 從圖21c中可見，B的世界線從B1經過B2，將穿過“A的視界”，然后到達陰影部分中的B3。在沒有穿過視界之前，B發出的光信號可以被A接收到。不過，從B發出信號到A接受到信號的時間變得越來越長，越來越長…，當B接近“視界”的時候，傳輸的時間趨于無窮大。也就是說，A看見的B已經凝固在B的世界線與視界相交的那一點，或者說，B已經走出了A的視界。 除了光信號傳輸時間變得越來越長之外，A還能觀察到B的光信號產生的多普勒效應（紅移）。信號的紅移也是越來越大，頻率越來越低，直到無法接受到為止。 B掉入太空作勻速運動，與C之間的光通信沒有什么問題，只是信號到達對方延遲一段時間而已。并且，他們兩人都感覺不到A的那條“視界”存在。他們兩人而言，周圍的2維時空是均勻的，是各向同性的，處處都是一樣。 由此可見，本來是一個平坦的閔可夫斯基時空，作勻加速運動的A卻觀察到一些不一般的現象。在A的世界中存在一個“視界”，視界之外的事件，將在A的眼中消失，這些怪異之事，類似愛因斯坦的廣義相對論所預言的彎曲空間中的“黑洞”。按照經典廣義相對論對黑洞的描述，黑洞周圍也有一個視界，在視界之內是一片漆黑，連光也無法逃離，所以誰也看不見它，就像A現在看不見視界外的C和B一樣。對A而言，她的兩個朋友都好像“掉進了黑洞”。 霍金專門研究黑洞，最有名的成果是 “霍金輻射”。他說：其實黑洞并不是絕對的黑，它也有一定的溫度，因而會有熱輻射現象，就像我們坐在爐子旁邊感到溫暖一樣，靠近黑洞時也能感到“溫暖”的輻射。
圖22：安魯效應和倫德勒坐標 那么，A在視界附近是否也像黑洞附近那樣，有一個溫暖的背景？假定A有粒子探測器，開始時似乎沒有什么動靜，但隨著時間流逝，宇宙飛船越來越接近視界時，探測器有了號信響，并且越接近視界，探測器響的次數越明顯，這說明它接受到了視界附近的輻射。 對于黑洞，B和C的探測器是沒有任何動靜的，因為他們所在的慣性參考系能觀測到的是閔氏空間的量子基態，即絕對溫度為零的真空態。但是，閔氏空間的真空態與加速參考系中的觀察者能看到的真空態是不一樣的，加速參考系的真空態能量低于閔氏空間的真空態能量。對加速參考系中的A來說，閔氏空間的真空態不是真空，而是一個有一定溫度的比真空態能量要高的某個熱力學平衡態。因此，A才會發現在“視界”附近時，她處在一個溫暖熱輻射的背景中。這種加速運動的觀察者可以觀測到慣性參考系中觀察者無法看到的黑體輻射的現象，叫做“安魯效應”，是1976年由哥倫比亞大學的威廉·盎魯提出的。 如上所述，象A和她的飛船作勻加速運動的物體，在2維時空中的世界線是一條兩端無限趨近原點光錐線的雙曲線，光錐線便是參考系中觀察者的“視界”。如果A的勻加速度是a，可以證明，這條雙曲線與x軸的交點位于x=1/a2的位置。不失一般性，可以假設a=1，那么，雙曲線與x軸的交點就位于x=1。 考慮加速度為a=2，1/2，1/3，1/4，…，等等的參考系，有一群加速度不相同的宇宙飛船，每一個飛船在2維閔氏時空中都能劃出一條雙曲線。這些雙曲線都以同一條原點光錐線為漸近線，加上從原點出發的輻射狀等時線，在2維時空中形成一組特別的坐標系，叫做倫德勒坐標系（圖23b）。閔可夫斯基時空是平坦的，平坦時空中可以有曲線坐標，正如在2維平面上有直角坐標系也有極坐標系一樣。倫德勒坐標系便是平坦閔氏空間中的曲線坐標，由于它是由勻加速觀測者的世界線構成的，所以也叫加速度坐標系。倫德勒加速度坐標系可以用來模擬和理解“黑洞”，也被用來解釋“貝爾的飛船佯謬”（飛船佯謬是質疑空間的“尺縮效應”）。
圖23：貝爾的飛船佯謬 【有兩艘用繩索連在一起的宇宙飛船，讓它們以相同的加速度同時從靜止開始運動。由于兩艘飛船的速度在任何時刻都是一樣，因而兩艘飛船間的空間距離保持不變。考慮飛船和繩索都以高速運動，它們會有“尺縮效應”。空間的距離不變而繩索的長度卻縮短了，繩索應該斷開，另一種觀點則認為繩索不會斷。】 13.引力場方程 閔可夫斯基是愛因斯坦的老師，為他的狹義相對論奠定了數學基礎。格羅斯曼是愛因斯坦的同學。沒有與兩位同窗好友的緣分，或許就沒有偉人愛因斯坦。愛因斯坦在回憶中稱格羅斯曼為鐵桿朋友，但這個“鐵哥”格羅斯曼完全不同于愛因斯坦。他上課認真聽課做筆記，完整的筆記成為愛因斯坦每次考試時的救命稻草，讓他得以敷衍考試，完成學業。愛因斯坦用心思考的是他認為更重要的事情。在大學畢業后，靠格羅斯曼的父親的關系和推薦，失業許久的愛因斯坦到瑞士專利局工作，收入不菲、穩定輕松，最適合愛因斯坦當時那種看起來心不在焉、腦袋里卻天馬行空的“獨立思考”者。 也許是天意安排，格羅斯曼后來成為黎曼幾何專家。在愛因斯坦為找不到適當的數學工具來表述他的天才物理思想而困惑多年之后，又是這個鐵哥們兒向愛因斯坦提起了黎曼幾何，并將里奇、契維塔等數學專家介紹給他，使愛因斯坦用黎曼幾何和張量分析這兩個強大的數學工具，順利地克服難關，創立了彎曲時空理論——廣義相對論。 1912年左右，愛因斯坦有了等效原理，有了時空彎曲的想法，有了黎曼幾何和張量微積分，開始著手構造引力場方程。與牛頓的引力定律有所不同，愛因斯坦想要建立的是“場”方程。所謂場，意思是說空間中每個點都有相應的標的物理量，這個物理量一般都逐點不一樣。“場”的概念最先由法拉第提出，麥克斯韋建立了電磁場的方程。此前拉格朗日在研究牛頓理論時，曾引入了引力勢的概念，拉格朗日的學生泊松推廣了引力場理論，建立了與牛頓萬有引力定律等效的引力場泊松方程： Dj = 4πGρ 式中的D是拉普拉斯算符。這是引力勢j滿足的對坐標的二階微分方程，方程右邊的G和ρ分別是萬有引力常數和空間的質量密度。 當初在愛因斯坦看來，洛倫茨變換、統一時空等，都僅僅是使理論完美漂亮的數學手段而已。真正使愛因斯坦的引力觀念飛躍上升到時空幾何層次的，是“轉盤佯謬”。一個圓盤以高速旋轉，設想圓盤由許多大小的圓圈組成，越到邊緣處圓圈半徑越大，圓圈的線速度越快。由于長度收縮效應，這些圓圈的周長會縮小。考慮圓盤的任何部分都沒有徑向運動，每個圓圈的直徑將保持不變。周長與直徑的比值是圓周率p。根據狹義相對論的尺縮效應，圓盤高速轉動時比值會小于p，就好象圓盤彎成了一個曲面一樣，如圖24a所示。
圖24：轉盤佯謬 如果圓盤是一個剛體，就不可能彎曲。于是佯謬有另外一種敘述方法：對同樣一個圓盤邊緣，由于相對論的“尺縮效應”，位于圓盤邊緣上觀測者的尺子，要比靜止觀測者的尺子更短，這就出現了運動觀測者測量到的圓盤周長大于靜止觀測者所測結果的現象。而當運動觀測者測量直徑的時候，尺子不會縮短，所以，運動觀測者測量到的周長與直徑的比值，要大于圓周率p。 愛因斯坦由此意識到他最初企圖將引力和加速度系統包括進狹義相對論的想法是行不通的，他需要另外一種幾何，來描述被引力（或加速度）彎曲了的時空。由于真實宇宙中各處的引力是不一樣的，時空的彎曲程度也將處處不一樣。愛因斯坦苦苦思索7、8年之久，終于驚喜地發現黎曼幾何正好可以將他的狹義相對論與引力場彎曲時空的思想完美地縫合在一起，縫成一個美妙的新理論。 愛因斯坦認為黎曼幾何中的“度規”張量場類似于他想要描述的引力勢，可以建立一個與空間度規有關的引力場方程，在“低速弱場”的近似下，這個方程應該得到牛頓引力定律的結果，也就是泊松方程。泊松方程的左邊是引力勢對空間的二階導數，右邊除了幾個常數之外，是物質密度ρ，在物理上可以解釋為：空間的物質分布決定了空間的引力勢，空間的引力勢場是泊松方程的解。 愛因斯坦想要的引力場方程則應該解釋為：時空中的物質分布決定了時空的度規。將度規類比于引力勢，泊松方程左邊的引力勢的二階導數就應該對應于度規的二階導數。與度規二階導數有關的是曲率張量，作為場方程的左邊就應該是曲率張量表征的幾何量。曲率張量有好幾種，愛因斯坦選中了有兩個指標的里奇曲率張量。對場方程的右邊，愛因斯坦將質量密度ρ的概念擴展成一個張量，稱之為能量動量張量。歸納上面的想法，愛因斯坦的引力場方程有如下形式：
方程（2-15-2）右邊的G與泊松方程一樣，是牛頓萬有引力常數，Tmn是四維時空中的能量動量張量，其物理意義如公式（2-15-3）所示，它的表達非常復雜。這些“物質”形態不僅僅包括具有靜止質量m的通常意義下的物質，還包括了所有具有能量的狀態，因為E=mc2，任何形態的能量都可以等同于一定的質量，都應該對時空彎曲有所貢獻。意思是說，宇宙中各個系統的剪應力和壓強也要以動量流的形式被包含在能量動量張量中。 方程左邊是的時空的幾何描述，其中第一項Rmn是里奇曲率張量。后來，愛因斯坦發現如果只有第一項Rmn，方程不能自動滿足能量守恒和動量守恒的要求，于是加上了里奇標量曲率R與度規gmn相乘的第二項。 愛因斯坦引力場方程的物理意義是非常明確的。一個物理方程的求解過程，就是從已知的物理量得到未知函數的過程。這個場方程對于待求解的度規張量gmn而言，是高度非線性的，求解異常困難。同時，還要考慮到引力場或引力波也是一種物理存在，也具有能量，它是否也要被考慮進能量動量張量之中，愛因斯坦并未將它放進去，也不知如何放進去。在研究計算具體問題時，這是務必考慮的。 方程（2-15-2）左邊的第三項，與度規張量成正比，比例系數L便是著名的宇宙常數。物理界和天文界對此宇宙常數的研究興趣盎然經久不衰，因為它的存在與宇宙中發現的“暗能量”有關。 14.宇宙常數 愛因斯坦1915年建立廣義相對論的引力場方程，在1917年引入了宇宙常數一項。場方程看起來不是很復雜，解起來卻異常困難。先忽略宇宙常數，看引力場方程包含的物理意義，如今很難體會或揣摸愛因斯坦當時的真實思想，但可以從現有物理知識出發，重新認識場方程到底意味著些什么。 相對于經典牛頓力學，狹義相對論否認了速度（運動）的絕對意義。即談及速度v時，一定是相對于哪個參考系而言的速度，否則毫無意義。廣義相對論更進了一步，因為廣義相對論取消了慣性系，速度不僅沒有了絕對意義，連速度對慣性系的相對意義也沒有了。例如，在廣義相對論預言的彎曲時空中，我們只能在同一個時空點來比較兩個速度（任何矢量），卻無法比較不同時間、不同地點的兩個速度的大小和方向，除非將它們在黎曼流形上平行移動到同一個時空點。由于在黎曼流形（偽的）上，每個不同時空點定義了不同的坐標系，只有利用黎曼幾何和微分幾何，才能正確描述廣義相對論中彎曲時空的精髓。或者說，狹義相對論將獨立的時間和空間統一成了“4維時空”，廣義相對論則將平直的時空變成了帶著活動標架的“流形”。 與愛因斯坦最后在一起工作過的著名物理學家約翰·惠勒有一句解釋廣義相對論的名言：“物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物體如何運動”。在場方程的右邊是度規張量，表征時空彎曲的幾何度量。這意味“物質”分布決定了方程的解，“物質告訴時空如何彎曲”是顯而易見的。后一句說的是彎曲的時空中粒子將如何運動。 考慮在度規為gij的時空中有一個“自由落體”運動的“試驗粒子”，這樣的試驗粒子將沿測地線運動，速度矢量相應地沿測地線平行移動。測地線是彎曲空間中最接近直線概念的幾何量。 用2維球面來理解彎曲時空。兩個人從赤道上的不同點出發，都一直向北走。按平坦空間的幾何，他們以為運動方向是互相平行的。然而，實際結果是兩人相距越來越近。對這個事實可以用兩種方式來解釋：一是認為有一種力將他們推得互相靠近，二是想象成是由于空間彎曲的幾何原因。這兩種解釋是等效的，正如廣義相對論中將引力等效于時空彎曲一樣。 愛因斯坦建立引力場方程之后，物理學家和天文學家蜂擁而上，使用各種數學方法研究方程的解，將其與牛頓經典理論比較，用以解釋各種天文觀測現象。那時宇宙學還只是初生嬰兒，物理和天文學界基本上公認宇宙的靜態模型。所謂靜態模型，并非萬物靜止不動，而是就宇宙空間的大范圍而言，宇宙是處處均勻各向同性的，在每一點朝各個方向看去都是無窮多顆恒星，恒星之間的平均距離不會隨時間的流逝而擴大或縮小。但是，根據廣義相對論的運算結果，宇宙并不符合上述靜態模型，而是動態的，有可能會擴張或收縮。愛因斯坦為了使宇宙保持靜態，在引力場方程式中加上了宇宙常數項Λ。 當初，愛因斯坦及大多數物理學家都認為，萬有引力是一種吸引力，如果沒有某種排斥的“反引力”與其相平衡，整個宇宙最終將會因互相吸引而導致塌縮。當引入Λ使場方程滿足守恒條件的時候，愛因斯坦就發現，方程中可以加上與度規張量成正比的一項仍然能滿足所要求的所有條件。那么，是否可以利用這一項來使得場方程預言的宇宙圖景成為靜態、均勻、各向同性，愛因斯坦假設這個比例常數Λ很小，在銀河系尺度范圍都可忽略不計，只在宇宙尺度下Λ才有意義。不過，愛因斯坦的想法很快被天文學的觀測事實推翻了。 物理學家證明了，即使愛因斯坦的宇宙常數提供了一個能暫時處于靜態的宇宙模型，這個靜態模型也是不穩定的。只要某一個參數有稍許變化，就會使變化增大而往一個方向繼續下去，最后使得宇宙很快地膨脹或塌縮。后來在1922年，前蘇聯宇宙學家亞歷山大·弗里德曼根據廣義相對論，從理論上推導出描述均勻且各向同性空間的弗里德曼方程，沒有用到宇宙常數，得到的解卻不會因為互相吸引而塌縮，給出的是一個不斷膨脹的宇宙模型。沒過幾年，哈勃的天文觀測數據證實了這個膨脹的宇宙模型。 哈勃的觀測事實，令愛因斯坦懊惱遺憾不已。 愛德溫·哈勃是美國著名的天文學家，他的觀測資料證實了銀河系外其他星系的存在，并發現了大多數星系都存在紅移的現象。重要的是，哈勃發現來自遙遠星系光線的紅移與距離成正比，即著名的哈勃定律：v=H0D，其中v是星系的運動速度，D是星系離我們的距離。 從多普勒效應（圖25a）知道，如果光源以速度v運動，觀察者接受到的光波波長與光源實際發出的光波波長有一個等于v/c的偏移。哈勃觀測到來自這些星系的光譜產生紅移，說明這些星系正在遠離我們而去（圖25b）。假如光源遠離的速度3000公里/秒，即光速的百分之一，觀測到的波長將向低頻方向（紅色）移動百分之一。
圖25：多普勒效應和哈勃定律 哈勃定律說明，離我們越遠的星系，遠離而去的速度越快。仔細一想，這種描述正是一幅宇宙不斷擴展膨脹的圖景。其中的比例因子H0當時被認為是一個常數，稱哈勃常數，后來被認為隨時間而變化，叫做哈勃參數。根據2013年3月21日普朗克衛星觀測獲得的數據，哈勃參數大約為67.80±0.77 千米每秒每Mpc。 所以，根據弗里德曼的預測和哈勃的實驗證實，宇宙并不是穩態的，而是在膨脹。弗里德曼的結論本來就是從沒有包含宇宙常數的愛因斯坦方程式推導而來的，得到哈勃觀測結果的驗證，這令愛因斯坦懊惱遺憾不已。他撤回了他的“宇宙常數”，對此表示遺憾，認為這是自己“一生所犯下的最大錯誤”。 宇宙的確在不斷地膨脹，但膨脹的速度是否變化，是加速膨脹還是減速膨脹，這關系到宇宙的歷史和未來。1998年，兩個天文學研究小組對遙遠星系中爆炸的超新星進行觀測，發現它們的亮度比預期的要暗，即它們遠離地球的速度比預期的快。有趣的是，新的觀測結果需要將愛因斯坦引入又摒棄了的宇宙常數“Λ”請了回來。 “Λ”的起死回生與愛因斯坦當初的對或錯無關，而是與宇宙中暗能量存在的事實有關的。暗能量在引力場中起的作用，正好與愛因斯坦原來引進的Λ一項類似，因而才又把Λ一項加進了方程。暗能量的來源，則是量子場論所預測的真空漲落。而量子論是愛因斯坦一生中始終懷疑也從未接受的理論。 15.大爆炸宇宙模型 1959年，有人對美國科學家作過一次調查，其中有一道題目是“你對宇宙的年齡有何想法”。回答這個問題有三分之二的人認為宇宙是永恒不變、始終如一的，沒有開始也沒有結束，談不上“年齡”。5年之后，美國新澤西貝爾實驗室的兩位科學家的意外發現改變了大多數科學家對這個問題的看法。 1964年，新澤西貝爾實驗室的阿諾·彭齊亞斯和羅伯特·威爾遜負責有關射電天文和衛星通信實驗的項目。為了有效接受衛星返回的信號，他們在實驗室附近的克勞福德山架設了一臺新型的喇叭天線。在將天線對準天空方向檢測噪音性能時，發現在波長為183.75px的位置一直有一個類似“噪聲”的信號存在。這個額外信號因喇叭天線造成的噪聲比原來預期的數值增加了100倍。于是，他們徹底檢查天線，清洗了上面的鴿子窩鳥糞等贓物。然而噪聲信號依然存在（圖26）。奇怪的是，這種噪聲與天氣、季節、時間都無關，也與天線的方向無關，好像是某種充滿天空的、頑固存在的神秘之光。
圖26：微波背景輻射 兩位科學家對接受到的神秘信號感到困惑，猜測輻射可能來自于銀河系之外的其它什么星系。當時，普林斯頓大學天體物理學家迪克、皮伯斯、勞爾和威爾金森正在研究“大爆炸”的一種宇宙演化模型，他們認為在現在的宇宙中應該充滿著某種波長（幾個厘米）的微波輻射。這種輻射無孔不入、無處不在，很有可能被無線電探測儀器接受到，如果接受到了就是“大爆炸”理論的一個有力證據。彭齊亞斯和威爾遜收到的“不明噪聲”的頻率大約4080兆赫，正好符合普林斯頓科學家們所期望能探測到的微波輻射。 普林斯頓大學的天文學家們得知情況后，來貝爾實驗室考察喇叭天線觀察接受到的“噪聲”數據，經過一段時間的討論、研究、分析，得到的結論是：這些信號的確是宇宙學家們所預言的“微波背景輻射”，不是普通的噪音，而是大爆炸的余音。于是，兩個科研小組的兩篇文章同時發表在《天體物理學報》的同一期上，向人們宣布宇宙微波背景輻射（CMB）的發現。 大爆炸學說的理論模型，最早是比利時宇宙學家喬治·勒梅特提出來的，他居然還是一位天主教神父。勒梅特在當神父的同時，也熱衷于研究愛因斯坦的廣義相對論及哈勃的觀測數據。1931年，他從宇宙膨脹的結論出發，對廣義相對論進行時間反演，認為膨脹的宇宙反演到過去應該是坍縮、再塌縮，一直到不能坍縮為止。那時宇宙中的所有質量都應該集中到一個幾何尺寸很小的“原生原子”上，當今的時間和空間結構就是從這個“原生原子”產生的。 宇宙起源于大約138億年前“奇點”的一次大爆炸，這聽起來實在匪夷所思。如果宇宙有開始，那么在之前又是什么？可能誰也無法回答這個問題。于是有人認為大爆炸之前可能是無數次的塌縮和膨脹的往復循環。各種猜測都有，但僅僅限于猜測。可以說沒有什么比宇宙起源問題更能吸引人，又更困擾人！事實上，無論科學家給出什么樣的宇宙演化圖景，都一定會使大眾產生出沒完沒了也答復不了的更多問題。人類對宇宙知之甚少，在博大浩瀚的宇宙面前，人類顯得渺小和幼稚，科學家們也不過是盡其所能來理解和解釋這個世界而已。 當初，大爆炸不過是基于愛因斯坦的引力場方程，在弗里德曼假設均勻各向同性條件下，簡化倒推到時間的原點而得到的假說。哈勃定律證實了宇宙膨脹的事實后，有兩種互相對立的解釋。與勒梅特相對立的英國天文學家弗雷德·霍伊爾等人提出了一種穩態理論。有趣的是，霍伊爾在1949年3月的一期BBC廣播節目中，將勒梅特的理論稱作“大爆炸的觀點”，沒想到這個當時頗帶諷刺攻擊意味的名詞，之后竟成了勒梅特理論的標簽。大爆炸理論并不完善，但它是迄今為止能夠解釋更多的天文現象而被主流所接受，大多數物理學家都相信，大爆炸是能描述宇宙起源和演化的最好理論。 對科學界來說，更具有實際意義的是研究大爆炸之后的宇宙是如何演化到現在這個狀況。 根據現有的宇宙理論，大爆炸之后的宇宙演化主要有3個階段：極早期宇宙、早期宇宙、結構形成。伽莫夫當時提出的太初核合成過程，發生在大爆炸之后“早期宇宙”時段中的3分鐘到20分鐘之間（圖27a）。1940年代，伽莫夫與他的學生提出了熱大爆炸宇宙學模型。伽莫夫讓阿爾菲研究了大爆炸中元素合成的機制，在阿爾菲1948年提交的博士論文中，伽莫夫說服朋友漢斯·貝特在論文上署了名，自己的名字署在最后。三個人的名字（阿爾菲、貝特、伽莫夫）諧音恰好組成前三個希臘字母α、β、γ。這份標志宇宙大爆炸模型的論文在1948年4月1日發表，稱為αβγ理論。
圖27：宇宙大爆炸模型 按照熱大爆炸宇宙模型，極早期的宇宙，所有物質都高度密集在一個很小的范圍內，溫度極高，超過幾十億度。在大爆炸開始的最初3分鐘內發生了什么，物質處于何種狀態等，也不乏物理模型，但大多數屬于猜測，很難用實驗或觀測來驗證。 大爆炸后的“極早期宇宙”階段，對我們來說是難以想象的短，大約只是最開始的10-12秒。而在如此“轉瞬即逝”的一剎那，物理學家們仍然大有文章可做，將這個階段分成了許多更小的時間間隔。比如說，在最開始的10-40秒，被稱為量子引力階段，因為那時候的“世界”應該表現出顯著的量子效應和巨大的引力。接著，宇宙進入暴漲時期：空間急劇變化、時空迅速拉伸、量子漲落也被極快速地放大，并產生出強度巨大的原初引力波。 2014年3月17日，哈佛史密松天體物理中心的天文學家約翰·科瓦克博士等宣布，他們利用設置在南極的BICEP2探測器研究宇宙微波背景輻射時，直接觀測到了原初引力波的“印記”。 10-12秒很短，但對于光和引力波信號來說，也能走過300微米左右的距離。電子的經典半徑是10-15米數量級，這段300微米的短短距離中已經足以容得下1000億個電子，更何況那時連電子都還未能形成。所以，當我們算出了這些數據之后，多少也能對物理學家為什么要研究這“極早期宇宙”有了一點點理解。因為這段時間雖然極短，卻包含了大量可研究內容的。 大爆炸模型中的時間尺度很有趣。在極早期宇宙階段，討論的尺度是如此之小，而在談及宇宙的年齡（137億年）時，又是如此之大，大到連誤差都是以億年計算！這個領域將物理學中極大（大宇宙），和極小（基本粒子）的理論問題奇妙地融合在一起。 有很多方法來估計宇宙的年齡，圖27b中簡略介紹了使用哈勃定律計算宇宙年齡的過程。天文學中對宇宙年齡的計算涉及到許多方面，從理論模型到觀測資料的準確度，都會影響計算結果。從理論角度看，宇宙年齡和哈勃參數基本是成反比的。但是，哈勃參數如何隨時間變化，就由所采用的理論模型來決定。某個時候的哈勃參數，又與觀測技術的水平有關。此外，宇宙年齡計算還與星系、恒星以及地球等星體年齡的計算結果有關。所以，這不是一個簡單的問題。 在“極早期宇宙”，以及稱為“早期宇宙”的第二階段，都是量子物理大顯身手的地方。在極早期宇宙時代，量子和引力這兩個不怎么相容的理論碰到了一起。對那個階段的研究，類似于對黑洞的研究，為量子引力研究開辟了一片天地。 遺憾的是，我們很難得到“極早期宇宙”傳來的信息，因為大爆炸極早期的光波無法穿越稍后“混沌一團”的宇宙屏障。引力波倒是能穿過，這也就是為什么剛才所說的2014年春天哈佛科學家宣布收到“原生引力波”時科學界激動不已的原因。 所謂“早期宇宙”的時間段，就比“極早期宇宙”要長多了，在40萬年左右，它包括了“微波背景輻射”時期。40萬大約是宇宙現在年齡（137億年）的3萬分之一，只算是宇宙的“孩童時代”。這段時期從兩個方面影響了我們對宇宙早期歷史的探索： 其一，在這段時間之前，物質以高溫高密的等離子體形式存在，天地混沌一片，星體尚未形成。光子、電子及其它粒子一起，充滿整個宇宙，是一片晦暗的迷霧狀態。由于光子被粒子頻繁散射，平均自由程很短，形成了一道厚實的屏障，宇宙顯得不透明，使得更早時期（即大爆炸開始到30萬年之間）的光無法穿透這段時空，因而使得人類對“微波背景輻射”之前諸如暴漲過程的研究造成了困難。 其二，隨著宇宙的膨脹，其溫度不斷降低。當宇宙年齡大到38萬年時，溫度降至3000K左右，等離子體中的自由電子逐漸被俘獲，進入復合階段。光子的平均自由程也逐漸增加，宇宙變得透明起來。光子被電子等粒子散射，形成了一種至今彌漫于宇宙中的背景電磁波，即現在稱之為“3K微波背景”的電磁輻射。這種可以被觀察研究的大爆炸的余暉即“遺留輻射”，已經成為我們研究早期宇宙，發展宇宙論的基礎。 也就是說，宇宙發育40萬年左右的那一段時間，正從“孩童轉型成人”。它既給我們提供了“微波背景輻射”，讓我們從中得以探索到那時候宇宙的種種形態，又以它不透明的特性，阻擋掩蓋了更早期的宇宙，不讓人們能看到它更早期“胚胎形成”的過程和模樣。 再后來，隨著宇宙膨脹，溫度逐漸下降，進入到“結構形成”階段。從1.5億年至10億年，是再電離期，宇宙的大部份由等離子體組成。再后來，逐漸形成了恒星、行星、星系等天體，一直到我們現在可見的宇宙。 16.暗物質和暗能量 曾幾何時，宇宙中所有物質組成成分被列在元素周期表上，或者是基本粒子表中。然而，天文觀測的最新結果與此并不相符合。根據普朗克衛星2013年公布的資料，宇宙中只有一小部分（4.9%）是常見的、熟悉的普通物質，而大約四分之一（26.8%）是一種看不見摸不著、至今尚未弄清楚的暗物質。更不可思議的是其余的68.3%，連物質都談不上，是某種無孔不入無處不在的所謂“暗能量”。 暗物質說法并非現在才有，早在1932年，荷蘭天文學家揚·奧爾特就認為宇宙中除了普通物質之外還存在一種看不見的物質。之所以稱為“暗物質”，是因為它不像普通物質那樣能夠對光波或者電磁波有所反應。我們所見的普通物質，被燈光一照便現出原形，還有紫外線、紅外線、x射線、伽馬射線和各種頻率的無線電波，都是可以通過探測手段發現的物質。但是，暗物質似乎對光或電磁波不屑一顧，完全無動于衷。 暗物質之所以被認為存在，是因為它們仍然具有“引力”作用，仍然符合廣義相對論的預言，造成了時空的彎曲。最有力證據是天文學家觀測星系時發現的“星系自轉速度問題”。恒星或氣體圍繞星系的核心轉動，對星系本身而言叫做“星系自轉”。根據引力理論（無論是牛頓引力或是廣義相對論），都可以預期到，在足夠遠的距離上，環繞星系中心天體的平均軌道速度應該與軌道至星系中心距離的平方根成反比（圖28）。但觀測結果并非如此。 美國女天文學家薇拉·魯賓是研究星系自轉速度曲線，繼而發現暗物質存在證據的先驅。從薇拉得到的“觀測結果”曲線看（圖28b），遠處恒星具有的速度要比理論預期值大很多。恒星的速度越大，拉住它所需的引力就越大，這更大的引力從何而來，只能認為這份額外的引力來自于暗物質。
圖28：薇拉·魯賓觀察到星系自轉問題 支持暗物質存在的另一個有力證據來自引力透鏡現象。透鏡原理是光線穿過玻璃產生折射而偏離直線的路徑彎曲。根據廣義相對論，光線在引力場附近也會發生偏轉。由此可見，在某種情況下，引力場能夠起到和光學透鏡類似的作用，即產生“引力透鏡”效應（圖29）。
圖29：引力透鏡 1936年，愛因斯坦就提出用恒星作為引力透鏡的想法，但他同時又認為成像的角度太小而無法觀測到這種效應。然而，在1979年，英國天文學家得到了引力透鏡成像。引力透鏡可以看成“望遠鏡”來使用，能夠觀測到非常遙遠的星系，它是當今新型的天文觀測手段。 觀測更遙遠的星系等于是觀測更早期的宇宙圖景。比如說，我們接受到的距離為100億光年遠的星系的光，相當是大爆炸之后37億年左右發出來的，那時星系處在逐漸形成的階段。這些早年的光通過引力透鏡的放大作用被捕獲到，能夠幫助我們了解早期星系的形成和演化的過程。2012年初，芝加哥大學天文學家團隊借助哈勃太空望遠鏡拍攝了一個近100億光年遠的星系團的引力透鏡影像（圖30），其中包括一條90°左右的透鏡弧。有了引力透鏡，“一眼”看過去就是上億光年。
圖30：RCS2 032727-132623星系團的引力透鏡影像 引力透鏡是研究暗物質的重要方法。圖29（右圖）中所示的愛因斯坦環便是一例，那張圖中的圓環圖像很清楚。大多數情形下，只能判斷出一小段圓弧，或者是表現為“愛因斯坦十字”等特殊景象（圖31）。
圖31：引力透鏡和暗物質 暗物質到底是些什么，科學家們列舉了很多可能組成暗物質的“候選者”。實際上，暗物質中可能有一部分不發光也不吸收光，僅僅是產生引力效應的普通物質。分析研究顯示，質子、中子和電子這些只能占其中的一小部分（20%左右），其余暗物質可能存在于棕矮星、白矮星、中子星、黑洞等。 暗物質的其它可能性，包括各種可能的中微子，以及由粒子對稱理論所預言的可能存在的其它粒子，或者是我們認知之外的東西。 暗能量的證據主要來自于宇宙加速膨脹的事實。2011年諾貝爾物理獎頒發給了美國天文學家珀爾馬特、施密特與亞當里斯，以表彰他們“透過觀測遙遠超新星而發現了宇宙加速膨脹”。 如何解釋宇宙加速膨脹，人們提出了各種假設，其中宇宙常數是比較流行的一種。愛因斯坦原來將宇宙常數一項放在場方程等號左邊，如果把它移到等號右邊，場方程變為：
這樣等號右邊的能量動量張量加上了宇宙常數一項，如果宇宙常數為正值，它的作用應該與原來的能量動量張量的作用相反。能動張量的作用是產生與萬有引力等效的時空彎曲，而宇宙常數一項是負值，其效果便與普通物質產生的吸引力相反，在長距離時相當于某種排斥力的作用。因而，宇宙常數有時被稱為“反引力”或“負壓強”。 現在解釋“加速度”膨脹有多種理論模型，暗能量的存在是其中之一。但是，要解釋為什么存在如此大比例的暗能量時，又想起了被愛因斯坦丟棄的宇宙常數。真是在造化弄人，這垃圾箱里撿回來的?似乎還挺好用，能夠解釋不少觀測結果。
圖32：a.宇宙常數L的數值對宇宙模型的影響；b.真空漲落 圖32a的數條曲線描述了宇宙常數L的數值對宇宙模型的影響。當宇宙常數L=0時，對應于那條紫色曲線；當時間從現在增大的時候，這條曲線增長越來越慢，表示宇宙的膨脹速度將減小；當L﹥0時，宇宙有可能加速膨脹。 根據質能關系E=mc2，質量和能量可以看作是物質同一屬性的兩個方面。但是，它們在宇宙構造成分中的具體表現大不相同。也就是說，暗物質和暗能量這兩個概念在本質上有所區別。暗能量和暗物質的共同點是既不發光也不吸收光，兩者可能都是只對引力起作用。然而，暗物質是引力自吸引式的，這與普通物質類似；暗能量的作用卻類似于長距離的自相排斥和空間擴展。從這個意義上看，它們的作用是互相制約而無法交互替代。另外，暗物質能夠像普通物質一樣聚集分布，似乎是形成星系時的支撐框架；暗能量在宇宙中卻基本是均勻分布、無處不在、無孔不入的。暗能量到底是怎樣的一種能量，是如何產生的？這種“排斥力”的本質是什么？它是否屬于四種作用力之中，還是另一種新的基本力？目前對這些問題尚無法作出明確回答。有人猜測暗能量是量子場論中所描述的真空漲落，但計算的結果并不完全支持這種解釋，因為計算兩者的數量相差甚遠，真空漲落要比暗能量大10120數量級。 |
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圖2：空間曲線的撓率
