給我印象深刻的一些數(shù)學(xué)思想

在研習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，以及在生活中，我們總會碰到“比較數(shù)量”的問題。有時候，我們很容易給出答案，比如這一筐蘋果與哪一簍橘子，哪個數(shù)量多？我們只需要數(shù)一數(shù)就能給出答案。但是還有很多時候，比如上述的3個問題，答案就不是掰著手指頭數(shù)一數(shù)能搞定了。

那么我們在比較數(shù)量的時候，依靠的是什么樣的原則呢？

• 比如問題1，直觀上所有的偶數(shù)都是整數(shù)，但整數(shù)中的1、3、5等奇數(shù)則不是偶數(shù)，所以應(yīng)該整數(shù)多；

• 比如問題2，直觀上所有的自然數(shù)都是整數(shù)，但是0，以及負整數(shù)不是自然數(shù)，所有應(yīng)該整數(shù)多；

• 比如問題3，直觀上（0,1）內(nèi)所有的數(shù)都包含在（0,2）內(nèi)，而（0,2）內(nèi)的1.5、1.6這些數(shù)則不在（0,1）內(nèi)，所以（0,2）內(nèi)的數(shù)多。

以上皆非。我們不能靠直覺判斷問題。以上三個問題的答案，都是一樣多。

為什么？

• 對于問題1，每一個整數(shù)，我們都能找到唯一一個偶數(shù)與之對應(yīng)；每一個偶數(shù)，我們也都能找到唯一一個整數(shù)與之對應(yīng)。即，兩類數(shù)是一一對應(yīng)的，所以一樣多。比如：任意一個整數(shù)n，都有唯一一個偶數(shù)2n與之一一對應(yīng)。反過來，任意一個偶數(shù)m，都有唯一一個整數(shù)m/2與之一一對應(yīng)。

• 對于問題2，每一個整數(shù)n，如果n≥0，那么有唯一一個自然數(shù)2n與之一一對應(yīng)；如果n＜0，那么有唯一一個自然數(shù)-2n-1與之一一對應(yīng)。反之亦然。

• 對于問題3，區(qū)間（0,1）內(nèi)任意一個數(shù)x，都有（0,2）內(nèi)唯一一個數(shù)2x與之一一對應(yīng)。反之亦然。

大家可以看到，從這些比較數(shù)量的問題中，體現(xiàn)的是一個樸素但很容易被我們漠視的數(shù)學(xué)思想，即通過一一對應(yīng)來判斷兩類數(shù)的數(shù)量。如果在這類數(shù)中的每一個都能在另一類數(shù)中找到對應(yīng)的數(shù)，并且這個對應(yīng)關(guān)系是反之亦然的，那么這兩類數(shù)就是相同數(shù)量的。

最后，補充兩點：

1、如果0不算偶數(shù)，那么問題1的答案會變么，用來判斷的對應(yīng)關(guān)系又是什么？

2、問題4：區(qū)間（0,1）內(nèi)的數(shù)與整數(shù)，哪個多？