二項分布、泊松分布和正態(tài)分布的關(guān)系

quasiceo 2017-12-31

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1.n重伯努利實驗會產(chǎn)生二項分布（因為分布函數(shù)的每一項都等于二項式的系數(shù)，所以叫做二項分布）；
2.當(dāng)n非常大（大于20），而事件發(fā)生概率很小時，二項分布近似等于泊松分布。顧客到達(dá)商店的概率分布可以看成是多個顧客（n個）以較小的概率P選擇是否光顧商店的n重伯努利實驗，所以是泊松分布；
3.二項分布是離散隨機變量的分布，正態(tài)分布是連續(xù)隨機變量的分布。
不知道理解的對不對。
另外，怎樣理解二項分布和正態(tài)分布的對應(yīng)關(guān)系？正態(tài)分布的每一次實驗并不是取兩個值（0或1，成功或失敗），而是無窮多個值啊？為什么會與二項分布的分布曲線近似呢？
例如，一群人的身高、體重符合正態(tài)分布，那如果將隨機變量取值規(guī)定為離散的，比如規(guī)定身高、體重都必須取正整數(shù)值，這種情況下就是二項分布了嗎？

二項分布與正態(tài)分布的關(guān)系為：正態(tài)分布是二項分布的極限分布。這種關(guān)系實際上由中心極限定理體現(xiàn)。定理如下圖：

看明白公式?jīng)]？舉個例子：投一枚硬幣n次，我們知道n次正面朝上的次數(shù)（記為n1）是符合二項分布的，而當(dāng)n足夠大時，根據(jù)上述定理，n1是近似符合均值為0.5n,方差為0.25n(請根據(jù)公式理解)的正態(tài)分布的。簡單說，當(dāng)重復(fù)次數(shù)足夠多時，伯努利試驗的疊加近似為正態(tài)分布。這也就是為什么正態(tài)分布在自然界廣泛分布的原因——一隨機事件在一次條件發(fā)不發(fā)生可以由伯努利試驗刻畫，是0-1分布，在多次條件下發(fā)生次數(shù)是二項分布，而當(dāng)在次數(shù)非常大時，就是正態(tài)分布。
更數(shù)學(xué)化的討論請樓主參看概率論相關(guān)書籍中有關(guān)大數(shù)定理和中心極限定理的章節(jié)，這是非常優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)論，也是大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)……

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