數(shù)學(xué)中有哪些經(jīng)典的反直覺結(jié)論？

數(shù)學(xué)中反直覺的結(jié)論大多與無窮有關(guān)，19世紀德國數(shù)學(xué)家康托(Cantor，1845-1918)創(chuàng)立集合論，引入了集合的勢(Cardinality)這個概念，為分析無窮提供了強有力的數(shù)學(xué)工具，并由此得出了一系列與直覺極不相符的結(jié)論。例如：

1、奇數(shù)的個數(shù)和自然數(shù)的個數(shù)一樣多。（可數(shù)集的勢）

2、自然數(shù)的個數(shù)和有理數(shù)的個數(shù)一樣多。

3、一個有限線段上包含的點的個數(shù)與整個直線包含點的個數(shù)一樣多。

4、一條直線上點的個數(shù)和整個平面上點的個數(shù)一樣多。

5、一個平面上包含的點的個數(shù)和整個空間中包含的點的個數(shù)一樣多。

Cantor三分集

上述結(jié)論和我們的直覺大相徑庭，但是都可以利用集合等勢的方法來證明，即在兩個集合之間尋找一個一一映射，如果能夠找到，則說明兩個集合包含的元素是一樣多的，利用這種方法，數(shù)學(xué)家們成功的證明了上述結(jié)論。

康托(Cantor, 1845-1918)

也正因上述結(jié)論是如此地違反直覺，因此在理論剛被提出的時候遭到了大家的一致反對，甚至康托自己的老師克羅內(nèi)克(Kroneker, 1823-1891)也帶頭對他進行了毫不留情的攻擊，最終竟使得康托精神失常，住進了精神病院。不可否認克羅內(nèi)克是19世紀德國非常偉大的數(shù)學(xué)家，在代數(shù)數(shù)論領(lǐng)域貢獻頗豐，并且是近代直覺主義的先驅(qū)，但這件事情卻淪為數(shù)學(xué)史上的一樁丑聞。當然，這也從側(cè)面反映出這一理論是多么的“反直覺”。

這個問題很有趣。比這個問題本身更有趣的是，找到這個問題的答案的方法。

有一個論壇，叫做“民科吧”。顧名思義，“民間科學(xué)家”吧。

為什么要提到民科呢？很簡單：民科為什么是民科？因為民科們“搞研究”憑的是直覺，而不是邏輯和實驗。那么，如果有一個結(jié)論是反直覺的，民科看到了呢？這不對啊！這跟俺的直覺是反著的啊！這肯定是錯的啊！然后就是各種，全世界的數(shù)學(xué)家都是傻X，眾人皆醉我獨醒，待我出山，幫中國拿一個諾貝爾數(shù)學(xué)獎~

“

”

上述文字摘自民科吧。

對于沒有經(jīng)歷過高等數(shù)學(xué)教育的人來說，微積分是十分反直覺的。其中最關(guān)鍵的部分在于，微積分中的“無窮小”，有時候被當做一個0，有時候又不被當做一個0。然而這個問題早在百年前，微積分公理化的時候就已經(jīng)解決了，民科們不好好學(xué)習(xí)，也沒辦法。

“

”

以上摘自民科吧

調(diào)和級數(shù)發(fā)散，可以說是一個著名的反直覺結(jié)論了。1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... + 1/n,當n = 無窮大 的時候，這個和是多少？如果不作思考，直覺上往往會覺得，我們加上去的數(shù)越來越小了啊，而且小到后面都小得不行了，那肯定是收斂的啊，不可能發(fā)散。但是歐拉已經(jīng)證明了，這個級數(shù)是發(fā)散的，意思就是說，級數(shù)的和是無窮大。越加越小，結(jié)果加到頭，居然無窮大！證明也很簡單：

這其實已經(jīng)是十分簡潔明了的證明了，但是遺憾的是，有數(shù)位民科堅定表示，這個反直覺，所以肯定是錯的，然后搞出來一大堆亂七八糟漏洞百出的所謂“證明”。

如果你有興趣，可以去民科吧逛一逛，看看有多少人反對各種結(jié)論。一個理論被民科反對，那八成是“反直覺”的。相對論和量子力學(xué)反直覺，被民科批評的最多。不過如果你理科知識不夠扎實，逛的時候還請記住一句話，“這里人說的話我一個標點都不能信”

然而有什么用呢？幸而人類文明不仰仗這幫不學(xué)無術(shù)之輩。

答：費馬大定理、分球定理、超窮數(shù)理論、哥德爾不完備定理、各維度的點可以一一對應(yīng)、地圖定理、圓周率的BBP公式和虛數(shù)等等，都是數(shù)學(xué)中比較反直覺的結(jié)論。

以下，意義作解釋。

一：費馬大定理

我們知道勾股數(shù)有無限個，勾三股四弦五，就是最簡單的勾股數(shù)。由此我們猜想：當次數(shù)n大于2時會怎么樣？

費馬大定理指出：

這樣的形式，當指數(shù)n大于2時，不存在整數(shù)解。

這簡直就是反直覺啊，憑什么n=2時有無數(shù)個，大于2卻一個都沒有！事實是這樣的，該定理歷經(jīng)358年才被證明。

利用費馬大定理，可以得到一些有趣的證明，比如證明3次根號2為無理數(shù)：

這個證明簡直就是大炮打蚊子，但卻很美妙。

二：分球定理

數(shù)學(xué)中，有一條極其基本的公理，叫做選擇公理，許多數(shù)學(xué)內(nèi)容都要基于這條定理才得以成立。

在1924年，數(shù)學(xué)家斯特·巴拿赫和阿爾弗萊德·塔斯基根據(jù)選擇公理，得到一個奇怪的推論——分球定理。

該定理指出，一個三維實心球分成有限份，然后可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移，組成和原來完全相同的兩個實心球。沒錯，每一個和原來的一模一樣。

分球定理太違反直覺，但它就是選擇公理的嚴格推論，而且不容置疑的，除非你拋棄選擇公理，但數(shù)學(xué)家會為此付出更大的代價。

三：無窮大也有等級大小

在二十世紀以前，數(shù)學(xué)家們遇到無窮大都避而讓之，認為要么哪里出了問題，要么結(jié)果是沒有意義的。

直到1895年，康托爾建立超窮數(shù)理論，人們才得知無窮大也是有等級的，比如實數(shù)個數(shù)的無窮，就比整數(shù)個數(shù)的無窮的等級高。

這也太違反直覺了，我們從來不把無窮大當作數(shù)，但是無窮大在超窮數(shù)理論中，卻存在不同的等級。

四：“可證”和“真”不是等價的

1931年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾，提出一條震驚學(xué)術(shù)界的定理——哥德爾不完備定理。

該定理指出，我們目前的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，必定存在不能被證明也不能被證偽的定理。該定理一出，就粉碎了數(shù)學(xué)家?guī)浊甑膲粝搿唇⑼晟频臄?shù)學(xué)系統(tǒng)，從一些基本的公理出發(fā)，推導(dǎo)出一切數(shù)學(xué)的定理和公式。

可哥德爾不完備定理指出：該系統(tǒng)不存在，因為其中一定存在，我們不能證明也不能證偽的“東西”，也就是數(shù)學(xué)系統(tǒng)不可能是完備的，至少它的完備性和相容性不能同時得到滿足。

五：一維可以和二維甚至更高維度一一對應(yīng)

按照我們的常識，二維比一維等級高，三維比四維等級高，比如線是一維的，所以線不能一一對應(yīng)于面積。

但事實并非如此，康托爾證明了一維是可以一一對應(yīng)高維的，也就是說一條線上的點，可以和一塊面積甚至體積的點一一對應(yīng)，或者說他們包含的點一樣多。

說到一一對應(yīng)，就離不開函數(shù)，那么這樣從低維到高維的函數(shù)存在嗎？

答案是肯定的！

在1890年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾，就發(fā)明了一個函數(shù)，使得函數(shù)在實軸[0,1]上的取值，可以一一對應(yīng)于單位正方形上的所有點，這條曲線叫做皮亞諾曲線。

這個性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，暗示著人類對維度的主觀認識，很可能是存在缺陷的。

六：地圖定理

該定理是這樣的，比如我們在國內(nèi)，拿著中國地圖，那么在該地圖上，一定存在一個點，使得圖上的點，和該點所在的真實地理位置精確一致，這么一個點我們絕對能找到。

該定理還可以擴展，說地球上一定存在一個對稱的點，在任何時刻，它們的溫度和氣壓一定精確相等，注意，這里說的"一定"并不是概率上的"一定"，而是定理保證的絕對性。

當然，有人會說這個定理無法用于實際。

但利用這個定理，我們知道在一個公園的任意地方，標示一張地圖的話，我們一定能在圖上找到"當前所在位置"。

七：獨立計算圓周率的任何一位

我們計算圓周率的公式有很多，很長一段時間里，我們都認為要計算圓周的1000位，必須把前面999位計算出來。

可是在1995年，數(shù)學(xué)家就發(fā)現(xiàn)了一個神奇的公式，該公式可計算圓周率的任何一位數(shù)字，而不需要知道前面的數(shù)字。

比如計算第10億位的數(shù)字，我們不需要知道10億位之前的任何一位，該公式可以直接給出第10億位的數(shù)。該公式簡稱BBP公式。

八：負數(shù)可以開根號

小時候老師告訴我們"負負得正"，可是到了高中，老師又突然把虛數(shù)單位“i”扔給我們，告訴我們“i^2=-1”，這簡直就是反直覺啊！為何這個數(shù)的平方會是負數(shù)。

對于虛數(shù)“i”也是存在幾何意義的。

數(shù)學(xué)中，反直覺的定理非常多，到底是我們的數(shù)學(xué)，本來就是違背真實世界的呢？還是我們的常識，本來就存在認知缺陷？不同的人有不同的答案。

不過，我們可以確信的一點是，數(shù)學(xué)是追求相容的，一套數(shù)學(xué)系統(tǒng)，只要它在定義范圍內(nèi)相容或者完備，那么這套數(shù)學(xué)系統(tǒng)，就有它存在的意義，不管是否和我們常識相悖。