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芝諾是古希臘數學家，提出了一系列悖論以反駁時間和空間的連續性和變化問題，比較有名的有追烏龜和飛矢不動兩個。 古希臘傳說中有一位跑的最快的英雄阿基里斯，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。在阿基里斯出生后，忒提斯捏著他的腳踝將他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀槍不入，惟有腳踝被忒提斯手握著，沒有浸到冥河水，是他唯一的弱點。在特洛伊戰爭中被敵人射中腳踝而死。 有一天，阿基里斯遇到了一只烏龜。烏龜對阿基里斯說：別看你跑得快，你永遠也追不上我。阿基里斯問為什么呢？烏龜說，你看： 如果阿基里斯在A處，烏龜在B處，同時出發。阿基里斯要追上烏龜，首先要追上烏龜先跑的一段AB，但是在這段時間烏龜也在向前跑，當阿基里斯到達B處時，烏龜已經跑到了C處，還沒有追上。雖然此時BC的距離小于AB的距離。 阿基里斯會繼續跑BC這一段，但是這段時間烏龜也沒閑著，跑到了D處，雖然CD小于BC，但是阿基里斯還是沒有追上烏龜。 以此類推，阿基里斯和烏龜之間的距離只能不斷縮小，但是永遠都不會變為零。綜上所述，阿基里斯永遠追不上烏龜。 這個悖論的詭辯之處在于：芝諾將一個追及過程分割成無限多份，但是這無限多份的時間和距離之和是有限長。 為了解釋這個問題，我們把追及過程畫在一個數軸上，并且假設AB之間距離為L，方便起見，設阿基里斯的速度等于兩倍烏龜速度。 這樣一來，相同時間內阿基里斯運動的距離就是烏龜的兩倍。所以阿基里斯走過AB時，烏龜走過的BC段距離為L/2，阿基里斯走過BC時，烏龜走過的CD段長度為L/4... 如果阿基里斯要追上烏龜，需要追及無線多段，將這無限多段加和 我們會發現，隨著段數的增加，這個距離約來越接近2L。如果只有兩項，那么與2L相差L/2；如果有3項，與2L相差L/4，如果有4項，與2L相差L/8...如果有無窮多項，阿基里斯走過的總距離就等于2L。 同樣的，設阿基里斯走過AB段的時間為t，則總時間T等于 芝諾把一段有限的時間和距離分割成了無限多份，是不能得出追不上的結論的。 實際上芝諾的這種做法類似于微積分，將一個過程無限分割，再進行累加，這恰好是微積分的基本思想。分割無限多份后越往后的小段時間和空間越小，稱之為無窮小。牛頓和萊布尼茨提出微積分后，人們發現了微積分的重要應用，解決了許多數學和物理的問題。 |
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