高中數(shù)學(xué) | 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

例1、求適合下列條件的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（，0），（3，0）橢圓經(jīng)過點(diǎn)（5，0）

（2）橢圓兩焦點(diǎn)間的距離為16，且橢圓上某一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別等于9和15，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（3）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，求橢圓的方程。

解析：（1）∵ 橢圓的焦點(diǎn)在軸上   ∴ 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

∵ ，  ∴ ，

∴    ∴ 所求橢圓的方程為

（2）由題意：，  ∴ 

又焦點(diǎn)在軸或軸上   ∴ 或

（3）∵ 橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上

∴ 可設(shè)橢圓的方程為

∵ 橢圓過   ∴   ∴ 

∴ 方程為

例2、方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解析：  ∴    ∴ 

例3、方程表示何種曲線？

解析：（1）時(shí)，是平行于軸的兩條平行直線

（2）時(shí)，，方程，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。

（3）時(shí)，表示圓。

（4）時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓

（5）時(shí)，表示平行于軸的兩條平行直線

例4、為兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B（0，6）和C（0，），另兩邊AB、AC的斜率的乘積是，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。

解析：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）   由題意得

∴ 頂點(diǎn)A的軌跡方程為（）

例5、已知橢圓（），短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成一個(gè)正三角形且焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為，求此橢圓的方程。

解析：設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為，其中短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B（）

∵ 為正三角形   ∴   ∴ 

∵ 焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為

∴   

把代入得，   ∴   

∴ 

例6、焦點(diǎn)分別為（0，）和（0，）的橢圓截直線所得橢圓的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此橢圓方程。

解析：設(shè)   且（1）

     ∴ 

∵    ∴    ∴（2）

由（1）（2）：，   ∴ 

例7、P是橢圓上的一點(diǎn)，F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，連結(jié)、

（1）的最小值是多少？

（2）當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍是什么？

解析：（1）

（2）

∴    ∴    ∴ 

∴ 

例8、已知橢圓的焦點(diǎn)是，P為橢圓上一點(diǎn)，且是和的等差中項(xiàng)。

（1）求橢圓的方程

（2）若點(diǎn)P在第三象限，且，求

解析：（1）由題設(shè)  ∴ 

又   ∴    ∴ 

（2）設(shè)，則

由正弦定理得：

∴ （等比定理）

∴    ∴ 

∴     ∴ 

∴