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今天我們進入高考數學一輪復習的第二節(jié)內容,命題及其關系,充分條件與必要條件;此節(jié)內容不難,但容易忘記,一是忘記命題間的關系,例如否題,逆命題等,還有充分條件必要條件的判斷及證明,在高考中一般以選擇題或填空題的形式考查,故對基礎內容要重視,才能應對高考數學. 1．命題的概念:用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其關系 一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結論，用-p和-q分別表示p和q的否定，于是四種命題的形式就是 原命題：若p則q(p?q)； 逆命題：若q則p(q?p)； 否命題：若-p則-q(-p?-q)； 逆否命題：若-q則-p(-q?-p)． 學霸數學 題型1,命題的基本關系寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假． (1)實數的平方是非負數； (2)等底等高的兩個三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分線經過圓心，并平分弦所對的弧． 解題導引 給出一個命題，判斷其逆命題、否命題、逆否命題等的真假時，如果直接判斷命題本身的真假比較困難，則可以通過判斷它的等價命題的真假來確定． 解 (1)逆命題：若一個數的平方是非負數，則這個數是實數．真命題． 否命題：若一個數不是實數，則它的平方不是非負數．真命題． 逆否命題：若一個數的平方不是非負數，則這個數不是實數．真命題． (2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高．真命題． 否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等．真命題． 逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高．假命題． (3)逆命題：若一條直線經過圓心，且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線．真命題． 否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的弧．真命題． 逆否命題：若一條直線不經過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線．真命題． 題型2:充要條件的判斷給出下列命題，試分別指出p是q的什么條件． (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等． (3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實根． (4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等． 解 (1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0； 而(x－2)(x－3)＝0 x－2＝0. ∴p是q的充分不必要條件． (2)∵兩個三角形相似兩個三角形全等； 但兩個三角形全等?兩個三角形相似． ∴p是q的必要不充分條件． (3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0無實根； 方程x2－x－m＝0無實根m<－2. ∴p是q的充分不必要條件． (4)∵矩形的對角線相等，∴p?q； 而對角線相等的四邊形不一定是矩形，∴q?p. ∴p是q的充分不必要條件． 題型3充要條件的證明設a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°. 解題導引 有關充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結論，由“條件”?“結論”是證明命題的充分性，由“結論”?“條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性． 證明 (1)必要性：設方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根x0， 則x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0， 兩式相減可得x0＝，將此式代入x＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°， (2)充分性：∵∠A＝90°， ∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.① 將①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 將①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故兩方程有公共根x＝－(a＋c)． 所以方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°. 題型4轉化與化歸思想的應用【突破思維障礙】 本題涉及到參數問題，先用轉化思想將生疏復雜的問題化歸為簡單、熟悉的問題解決，兩方程有實根易想Δ≥0.求出m的范圍，要使兩方程根都為整數可轉化為它們的兩根之和與兩根之積都是整數． 【易錯點剖析】 易忽略一元二次方程這個條件隱含著m≠0，不易把方程的根都是整數轉化為兩根之和與兩根之積都是整數 |
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