飽和水汽壓的計(jì)算

人們平時(shí)所說(shuō)的“空氣”，實(shí)際上是含有水蒸汽的濕空氣；雖然水蒸汽在“空氣”中的含量極少，但其對(duì)空氣環(huán)境的干燥與潮濕程度產(chǎn)生重要影響，使得濕空氣的物理性質(zhì)發(fā)生改變。在一定溫度下，只有當(dāng)水蒸汽壓力恰好處于某一定值時(shí)，水與水汽之間、或冰與水汽之間的蒸發(fā)與凝結(jié)過(guò)程，才能夠保持動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。當(dāng)空氣中存在著這樣的水汽壓平衡體系時(shí)，稱之為“飽和”，此時(shí)空氣中的水蒸汽壓力稱為飽和水蒸汽分壓。飽和水蒸汽分壓力是計(jì)算濕空氣的密度、露點(diǎn)等性質(zhì)的基礎(chǔ)。

飽和水蒸汽分壓力是絕對(duì)溫度T的函數(shù)，其計(jì)算公式繁多，舉例如：Goff-Gratch（戈夫、格雷奇）公式、Magnus（馬格努斯）公式、Hyland-Wexler（海蘭、韋克斯勒）公式、Tetens（泰登）公式、Buck（巴克）公式、Marti-Mauersberger（馬蒂、毛厄斯貝格爾）公式等。其中，Goff-Gratch公式是聯(lián)合國(guó)世界氣象組織（World Meteorological Organization，WMO）1966年建議采用的飽和水蒸氣分壓計(jì)算公式，是權(quán)威計(jì)算公式。在熱力學(xué)中，可使一種物質(zhì)的三相（氣相、液相、固相）共存時(shí)的溫度及壓強(qiáng)的數(shù)值，稱為這種物質(zhì)的三相點(diǎn)。水的三相點(diǎn)為0.01℃（273.15+0.01 = 273.16K）、611.657Pa。

1.  世界氣象組織推薦的Goff-Gratch公式如下。

在純水、平面表面的飽和水汽壓E_w（單位：hPa。1hPa = 100Pa，h是hecto的縮寫）的常用對(duì)數(shù)方程為：

lgE_w = C₁ × (1-T₁/T) + C₂ × lg(T/T₁) + C₃ × [ 1-10^C6×(T/T1-1) ] + C₄ × [ 10^C7×(1-T1/T) - 1 ] + C₅

在這個(gè)方程中，C₁ = 0.107 957 4 × 10²、C₂ = - 0.502 8 × 10、C₃ = 0.150 475 × 10^-3、C₄ = 0.428 73 × 10^-3、C₅ = 0.786 14、C₆ = - 0.829 69 × 10、C₇ = 0.476 955 × 10 ; T₁ = 273.16K（水的三相點(diǎn)溫度），T = 273.15+t (K)。

2.  Goff-Gratch公式的改良版見下。

ⅰ. 當(dāng)t<0℃（T<273.15K）時(shí)，在純冰、平面表面的飽和水汽壓E_i（單位：hPa）的常用對(duì)數(shù)方程為：

lgE_i = C₁ × (T₁/T -1) + C₂ × lg(T₁/T) + C₃ × (1-T/T₁) + lg(C₄)

在這個(gè)方程中，C₁ = - 0.909 718 × 10、C₂ = - 0.356 654 × 10、C₃ = 0.876 793、C₄ = 0.610 710 × 10；T₁ = 273.16K（水的三相點(diǎn)溫度），T = 273.15+t (K)。

ⅱ. 當(dāng)t>0℃（T>273.15K）時(shí)，在純水、平面表面的飽和水汽壓E_w（單位：hPa）的常用對(duì)數(shù)方程為：

lgE_w = C₅ × (T₂/T -1) + C₆ × lg(T₂/T) + C₇ × [ 10^C9×(1-T/T2) - 1 ] + C₈ ×[ 10^{C10×(T2/T-1)} - 1 ] + lg(C₁₁)

在這個(gè)方程中，C₅ = - 0.790 298 × 10、C₆ = + 0.502 808 × 10、C₇ = - 0.138 160 × 10^-6、C₈ = + 0.813 280 × 10^-2、C₉ = + 0.113 440 × 10²、C₁₀ = - 0.349 149 × 10、C₁₁ = + 101.3246 × 10；T₂ = 373.16K，T = 273.15+t (K)。

3.  Hyland-Wexler公式見下。

ⅰ. 當(dāng)t = (-100～0)℃時(shí)，在純冰、平面表面的飽和水汽壓E_i（單位：Pa）的自然對(duì)數(shù)方程為：

lnE_i = C₁/T + C₂ + C₃T + C₄T² + C₅T³ + C₆T⁴ + C₇ln(T)  

在這個(gè)方程中，C₁ = - 0.567 453 59 × 10⁴、C₂ = 0.639 252 47 × 10、C₃ = - 0.967 784 30 × 10^-2、C₄ = 0.622 157 01 × 10^-6、C₅ = 0.207 478 25 × 10^-8、C₆ = - 0.948 402 40 × 10^-12、C₇ = 0.416 350 19 × 10；T = 273.15+t (K)。

ⅱ. 當(dāng)t = (0～200)℃時(shí)，在純冰、平面表面的飽和水汽壓E_w（單位：Pa）的自然對(duì)數(shù)方程為：

lnE_w = C₈/T + C₉ + C₁₀T + C₁₁T² + C₁₂T³ + C₁₃ln(T)  

在這個(gè)方程中，C₈ = - 0.580 022 06 × 10⁴、C₉ = 0.139 149 93 × 10、C₁₀ = - 0.486 402 39 × 10^-1、C₁₁ = 0.417 647 68 × 10^-4、C₁₂ = - 0.144 520 93 × 10^-7、C₁₃ = 0.654 596 73 × 10；T = 273.15+t (K)。

1.2 飽和水汽壓的Matlab計(jì)算

1.2.1 世界氣象組織推薦Goff-Gratch公式的Matlab語(yǔ)言函數(shù)

1.  飽和水汽壓E_i、E_w（單位：hPa）的常用對(duì)數(shù)lgE的計(jì)算。

function lgE = Goff_Gratch_WMO (t)

% 輸入量t：空氣溫度，℃。請(qǐng)記為一個(gè)行向量。

% 輸出量lgE：飽和水汽壓E_w（單位：hPa。1hPa = 100Pa，h是hecto的縮寫）的常用對(duì)數(shù).

%%%%%% 常量、常數(shù) %%%%%%

t1 = 273.15 + 0.01 ;      

%%%%%% 因子 %%%%%%

c1 = + 0.1079574 * 10^2 ;     

c2 = - 0.502800 * 10 ;     

c3 = + 0.150475 * 10^(-3) ;

c4 = + 0.42873 * 10^(-3) ; 

c5 = + 0.78614 ;   

c6 = - 0.82969 * 10 ;   

c7 = + 0.476955 * 10 ;    

%%%%%% 絕度溫度 %%%%%%

tk = t + 273.15 ;           % 將實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的攝氏溫度值轉(zhuǎn)換為絕對(duì)溫度值

%%%%%% 主體計(jì)算 %%%%%%

[row, column] = size(t) ;  

for i = 1:column

    lgE(i) = c1 * ( 1 - t1/tk(i) )                ...

+ c2 * log10( tk(i)/t1 )              ...

+ c3 * ( 1 - 10^ ( c6 * (tk(i)/t1-1 ) ) )   ...

+ c4 * ( 10^ ( c7 * ( 1- t1/tk(i) ) ) -1 )   ...

+ c5 ;  %（單位：hPa）

end

2.  飽和水汽壓E_i、E_w（單位：kPa）的計(jì)算。

function E = E_GoffGratch_WMO (t)

% 輸入量t：空氣溫度，℃。請(qǐng)記為一個(gè)行向量。

% 輸出量E：飽和水汽壓Ew（單位：kPa）

%%%%%% 常量、常數(shù) %%%%%%

lgE = Goff_Gratch_WMO (t) ;  % 此處，飽和水汽壓E（E_w）的單位是hPa（100Pa）

E_hPa = 10 .^ lgE ;           % E_hPa單位仍然是hPa

E = E_hPa / 10 ;             % E單位是是kPa

1.2.2 Goff-Gratch公式改良版的Matlab語(yǔ)言函數(shù)

1.  飽和水汽壓E_i、E_w（單位：hPa）的常用對(duì)數(shù)lgE的計(jì)算。

function lgE = Goff_Gratch (t)

% 輸入量t：空氣溫度，℃。請(qǐng)記為一個(gè)行向量。

% 輸出量lgE：飽和水汽壓E_i、E_w（單位：hPa。1hPa = 100Pa，h是hecto的縮寫）的常用對(duì)數(shù).

%%%%%% 常量、常數(shù) %%%%%%

t1 = 273.15 + 0.01 ;        % 使用于當(dāng)t < 0℃的時(shí)候

t2 = t1 + 100 ;            % 使用于當(dāng)t > 0℃的時(shí)候

%%%%%% 因子 %%%%%%

c1 = - 0.909718 * 10 ;      % 使用于當(dāng)t < 0℃的時(shí)候

c2 = - 0.356654 * 10 ;      % 使用于當(dāng)t < 0℃的時(shí)候

c3 = + 0.876793 ;         % 使用于當(dāng)t < 0℃的時(shí)候

c4 = + 0.610710 * 10 ;      % 使用于當(dāng)t < 0℃的時(shí)候

c5 = - 0.790298 * 10 ;      % 使用于當(dāng)t > 0℃的時(shí)候

c6 = + 0.502808 * 10 ;     % 使用于當(dāng)t > 0℃的時(shí)候

c7 = - 0.138160 * 10^(-6) ;  % 使用于當(dāng)t > 0℃的時(shí)候

c8 = + 0.813280 * 10^(-2) ;  % 使用于當(dāng)t > 0℃的時(shí)候

c9 = + 0.113440 * 10^2 ;    % 使用于當(dāng)t > 0℃的時(shí)候

c10 = - 0.349149 * 10 ;     % 使用于當(dāng)t > 0℃的時(shí)候

c11 = + 101.3246 * 10 ;     % 使用于當(dāng)t > 0℃的時(shí)候

%%%%%% 絕度溫度 %%%%%%

tk = t + 273.15 ;           % 將實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的攝氏溫度值轉(zhuǎn)換為絕對(duì)溫度值

%%%%%% 主體計(jì)算 %%%%%%

[row, column] = size(t) ;  

for i = 1:column

    if t(i) < 0

        lgE(i) = c1 * ( t1/tk(i) - 1 )     ...

+ c2 * log10( t1/tk(i) )   ...

+ c3 * ( 1 - tk(i)/t1 )     ...

+ log10 (c4) ;  %（單位：hPa）

    else

        lgE(i) = c5 * ( t2/tk(i) - 1 )      ...

+ c6 * log10( t2/tk(i) )    ...

+ c7 * ( 10^ ( c9 * ( 1 - tk(i)/t2 ) ) -1 )   ...

+ c8 * ( 10^ ( c10 * ( t2/tk(i) -1 ) ) -1 )  ...

+ log10 (c11) ;  %（單位：hPa）

    end

end

2.  飽和水汽壓E_i、E_w（單位：kPa）的計(jì)算。

function E = E_GoffGratch (t)

% 輸入量t：空氣溫度，℃。請(qǐng)記為一個(gè)行向量。

% 輸出量E：飽和水汽壓Ei、Ew（單位：kPa）

%%%%%% 常量、常數(shù) %%%%%%

lgE = Goff_Gratch (t) ;  % 此處，飽和水汽壓E（E_i或E_w）的單位是hPa（100Pa）

E_hPa = 10 .^ lgE ;     % E_hPa單位仍然是hPa

E = E_hPa / 10 ;       % E單位是是kPa

1.2.3 Hyland-Wexler公式的Matlab語(yǔ)言函數(shù)

1.  飽和水汽壓E_i、E_w（單位：Pa）的自然對(duì)數(shù)lnE的計(jì)算。

function lnE = Hyland_Wexler (t)

% 輸入量t：空氣溫度，℃。請(qǐng)記為一個(gè)行向量。

% 輸出量lgE：飽和水汽壓E_i、E_w（單位：Pa）的自然對(duì)數(shù).

%%%%%% 因子 %%%%%%

c1 = - 0.56745359 * 10^4 ;        % 使用于t = (-100～0)℃的時(shí)候

c2 = + 0.63925247 * 10 ;         % 使用于t = (-100～0)℃的時(shí)候

c3 = - 0.96778430 * 10^(-2) ;      % 使用于t = (-100～0)℃的時(shí)候

c4 = + 0.62215701 * 10^(-6) ;     % 使用于t = (-100～0)℃的時(shí)候

c5 = + 0.20747825 * 10^(-8) ;     % 使用于t = (-100～0)℃的時(shí)候

c6 = - 0.94840240 * 10^(-12) ;     % 使用于t = (-100～0)℃的時(shí)候

c7 = + 0.41635019 * 10 ;         % 使用于t = (-100～0)℃的時(shí)候

c8 = - 0.58002206 * 10^4 ;        % 使用于t = (0～200)℃的時(shí)候

c9 = + 0.13914993 * 10 ;         % 使用于t = (0～200)℃的時(shí)候

c10 = - 0.48640239 * 10^(-1) ;    % 使用于t = (0～200)℃的時(shí)候

c11 = + 0.41764768 * 10^(-4) ;    % 使用于t = (0～200)℃的時(shí)候

c12 = - 0.14452093 * 10^(-7) ;     % 使用于t = (0～200)℃的時(shí)候

c13 = + 0.65459673 * 10 ;        % 使用于t = (0～200)℃的時(shí)候

%%%%%% 絕度溫度 %%%%%%

tk = t + 273.15 ;                 % 將實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的攝氏溫度值轉(zhuǎn)換為絕對(duì)溫度值

%%%%%% 主體計(jì)算 %%%%%%

[row, column] = size(t) ;  

for i = 1:column

    if  ( t(i) >= -100 ) && ( t(i) < 0 )

        lnE(i) = c1/tk(i) + c2 + c3*tk(i) + c4*(tk(i)^2) + c5*(tk(i)^3) + c6*(tk(i)^4) + c7*log(tk(i)) ; %（單位：Pa）

    elseif  ( t(i) >= 0 ) && ( t(i) <= 200 )

        lnE(i) = c8/tk(i) + c9 + c10*tk(i) + c11*(tk(i)^2) + c12*(tk(i)^3) + c13*log(tk(i)) ;  %（單位：Pa）

    end

end

2.  飽和水汽壓E_i、E_w（單位：kPa）的計(jì)算。

function E = E_HylandWexler (t)

% 輸入量t：空氣溫度，℃。請(qǐng)記為一個(gè)行向量。

% 輸出量E：飽和水汽壓Ei、Ew（單位：kPa）

%%%%%% 常量、常數(shù) %%%%%%

lnE = Hyland_Wexler (t) ;  % 此處，飽和水汽壓E（E_i或E_w）的單位是Pa

E_Pa = exp(lnE) ;        % E_Pa單位仍然是Pa

E = E_Pa / 1000 ;        % E單位是kPa

1.3 “M-函數(shù)”的計(jì)算誤差

1.  在Matlab 7.0中的程序代碼

t = [ -100, -10, 0, 1, 10, 100] ;

E1 = E_GoffGratch_WMO (t)

E2 = E_GoffGratch (t)

E3 = E_HylandWexler (t)

2.  在Matlab 7.0中的執(zhí)行結(jié)果

E1 =  0.0000  0.2862  0.6107  0.6565  1.2271  101.3251

E2 =  0.0000  0.2595  0.6103  0.6561  1.2264  101.2884

E3 =  0.0000  0.2599  0.6112  0.6571  1.2280  101.4187

3.  偏差