《計算共形幾何》教程第一章

暑假課程預告

報告人：顧險峰  美國紐約州立大學石溪分校，哈佛大學

時間：  2018年7月8日、15日、22日、29日 每周日  14:30-16:00

地點：  清華大學近春園西樓三層報告廳

題目：  計算共形幾何

直播：  online.conformalgeometry.org  

【最近老顧等人合著的漢語教程《計算共形幾何》已經完成初稿。這里我們將第一章公布，其他章節會在清華暑期課程中講授。希望大家批評指正，不吝賜教。有興趣預定者，請聯系gu@cmsa.fas.harvard.edu?！?/p>

根據克萊因（Felix Klein）的厄爾朗根綱領（Erlangen Programm），不同的幾何研究不同變換群下的不變量。在工程和醫療領域，常用的幾何包括拓撲（Topology）、共形幾何（Conformal Geometry）、黎曼幾何（Riemannian Geometry）和曲面微分幾何（Surface Differential Geometry），其對應的變換群為拓撲變換群、共形變換群、等距變換群和曲面在歐氏空間中的剛體變換群。這些變換群構成了嵌套子群序列， 剛體變換群，等距變換群，共形變換群，拓撲同胚群。不同變換群下的不變量也可視作不同的結構，這些結構彼此構成層次關系。以嵌入在三維歐氏空間中的曲面為例，曲面具有拓撲結構，共形結構，黎曼度量結構和嵌入結構。后面的結構以前面的結構為基礎，內涵逐步豐富。我們課程的核心目的就是介紹這些結構的概念，證明基本定理，給出計算這些結構的實用計算機算法。

拓撲結構 給定兩張曲面間的映射，如果是連續雙射，則被稱為是拓撲同胚，兩張曲面拓撲等價，具有相同的拓撲不變量。直觀上，我們說兩個曲面拓撲等價，如果一個曲面可以連續變形成另外一個曲面，不發生撕破或者粘連。為了研究拓撲結構，數學上的一個通用手法就是為所研究的對象賦予不同的群，通過對群結構的分析來理解刻畫抽象的對象。群的概念雖然抽象，但是群的數據結構和算法卻是精確明晰的，雖然依然曲折，但是在計算機的幫助下，人類是能夠把握的。因此，代數拓撲的基本思想就是將拓撲問題代數化，在拓撲空間上賦予各種代數結構，通過研究這些代數結構來探究空間的拓撲結構。例如，我們在流形上定義同倫群和同調群，希望用這些群的結構來反映流形的拓撲結構。

在將拓撲代數化的過程中，會有信息丟失，比如對于三維流形，同調群反映的信息不完全，同倫群反映的信息更多。更為嚴密的說法是：給定兩個封閉的三維流形，如果它們拓撲同構當且僅當它們的同倫群同構。但是，相應的結論對于同調群不成立。對于不同的問題，需要選取不同的群來進行處理。例如，很多全局拓撲障礙的表述需要用到上同調類。在計算共形幾何中，曲面的de Rham上同調群，調和微分形式的上同調群起到了至關重要的作用。

計算拓撲的算法復雜度很高。同倫群通常是非交換的，其計算歸結為符號計算。計算一個流形的基本群（一維同倫群）是線性時間復雜度的，但是判定兩個群是否同構，通常非常困難。同調群是可交換的，其計算歸結為線性代數問題。但是整系數同調群計算歸結為整數矩陣的Smith標準型，計算復雜度很高。

為了解決拓撲問題，代數拓撲并非唯一的選擇，微分拓撲和幾何拓撲會提供強有力的計算方法。例如，如果一個紐結不剪斷和重新鏈接、可以漸變成另外一個扭結，則我們說這兩個紐結彼此同痕。我們可以用代數拓撲方法來判定紐結同痕：兩個紐結同痕，當且僅當它們在三維歐氏空間中的補集的同倫群同構。我們也可以用幾何拓撲方法：將它們的補空間配上常曲率的黎曼度量，然后判定補空間是否等距。對于這個問題，幾何拓撲的方法更加簡潔直接。

共形結構 給定兩張帶有黎曼度量曲面間的可逆映射，如果映射誘導的拉回度量和初始度量彼此相差一個標量函數，，

,

那么我們說是一個共形雙射，兩張曲面共形等價，具有相同的共形不變量。直觀上，共形映射保持角度，所以又被稱為是保角映射。

圖1. 復平面上的共形映射（雙全純映射）。

圖1顯示了平面到自身的共形變換，換言之雙全純映射。書桌上放置一個相框。將整個辦公室拍攝下來，將照片放入相框。那么，在相框中出現了次級相框，次級相框中出現三級相框。如此迭代，出現無窮級嵌套相框，這些相框的交點為一個孤立的點p。同時，整個相片和相框內的相片之間相差一個相似變換，生成變換群，n取遍所有整數。那么p點是群的不動點。復平面去掉點p，在群作用下的商空間是一個拓撲環帶。共形映射將拓撲環帶映射到自身，得到右幀圖像。封閉的相框被映射成無限的螺旋線。圖像中的局部形狀，例如紙兔子、大衛王頭像、畢加索的“鏡前少女”都被保持，同時面積發生變化。局部上看，共形映射在每一點的切空間上都是相似變換，因此保持局部形狀，這是“共形”的含義。

圖2. 曲面到平面區域的共形映射。

圖2顯示了曲面到平面區域的共形映射。大衛王頭像曲面具有復雜的幾何，映射到平面上之后，曲率變成零，但是眉眼鼻唇的細節，頭發蜷曲的形狀被保持，同時局部面積發生變化。同樣，共形映射在曲面每點的切空間誘導的切映射為相似變換。

圖3. 共形變換的保角性質。

圖3顯示了曲面到平面區域共形映射的保角性。曲面上任意兩條相交曲線被共形變換映射成平面圓盤上兩條相交曲線，曲面曲線的交角等于平面曲線的交角，即交角保持不變。

圖4. 共形變換和擬共形變換的比較。

圖4比較了共形變換和擬共形變換。我們將人臉曲面映射到平面圓盤，在平面圓盤上放置很多彼此相切的小圓，構成圓盤填充（circle packing）的模式，平面小圓被映射拉回到曲面上。上面一行顯示的是共形映射，平面上的無窮小圓被映射拉回到曲面上的無窮小圓；下面一行顯示的是一般的微分同胚，這里是擬共形映射，平面上的無窮小圓被映射拉回到曲面上的無窮小橢圓。由此可以看出共形映射保持無窮小圓。

圖5. 封閉曲面的單值化定理。

圖6. 帶邊曲面的單值化定理。

曲面微分幾何中最為深刻而基本的定理是單值化定理。如圖5所示，所有帶度量的封閉緊曲面都可以共形映射到三種標準空間中的一種：球面，歐氏平面，或者雙曲平面。圖5中左幀顯示了一個虧格為0的封閉曲面被共形映射到單位球面上，女孩雕塑的幾何特征，例如眉眼發髻都被完美保留在球面像上。中幀是一個虧格為1 的小貓曲面，配上和初始度量共形等價的平直度量，得到一個平直環面，平直環面的萬有覆蓋曲面等距地覆蓋整個歐氏平面。右幀是一個虧格為2的曲面，配上和初始度量共形等價的雙曲度量，得到一個雙曲曲面，其萬有覆蓋曲面等距地覆蓋整個雙曲平面。圖6顯示了帶邊界曲面的單值化。左幀是虧格為0的曲面帶有多條邊界，曲面可以被共形地映射到平面圓域，每條邊界被映射為歐氏圓周。中幀是虧格為1的曲面，帶有三條邊界，周期性的映射到歐氏平面，每條邊界被映射為歐氏圓周。右幀是虧格為2的曲面帶有多條邊界，可以被周期性地映射到雙曲平面，每條邊界被映成雙曲圓周。

圖5和圖6顯示了所有可能的緊曲面。單值化定理具有非常重要的理論意義和現實意義，極大地簡化了很多曲面幾何問題的理論證明和算法設計。計算曲面單值化是本書的核心目標之一。

單值化定理也直觀地解釋了曲面共形不變量。圖5左幀，所有虧格為0的封閉曲面都可以共形映射到單位球面上，因此都彼此共形等價。圖6左幀，虧格為0的帶邊界曲面都和平面圓域共形等價，因此其共形不變量由平面圓域所決定，即所有的圓心和半徑。圖5中幀，虧格為1 的封閉曲面都共形等價于歐氏平面模掉一個二維的歐氏平移變換群，這個平移變換群的生成元就是曲面的共形不變量。圖6中幀是虧格為1的曲面帶有邊界，其共形不變量包括平移變換群的生成元，和所有歐氏圓的圓心和半徑。圖5右幀，高虧格曲面都共形等價于雙曲平面模掉一個雙曲剛體變換群，這個雙曲剛體變換群的生成元構成了曲面的共形不變量。圖6右幀，高虧格帶邊界曲面都共形等價于雙曲平面模掉一個雙曲剛體變換群然后挖掉一些雙曲圓盤，曲面的共形不變量包括雙曲剛體變換群的生成元，和這些雙曲圓盤的圓心和半徑。

黎曼幾何  給定兩張帶有黎曼度量曲面間的可逆映射，如果映射誘導的拉回度量等于初始度量，，那么我們說是一個等距雙射，兩張曲面等距。等距變換保持高斯曲率。

任給一個可定向的帶度量曲面，任給一點，都存在p的一個鄰域，在此鄰域上，我們可以選擇特定的局部坐標系，使得黎曼度量具有簡潔的表達形式， 這樣的局部坐標被稱為是等溫坐標。曲面上所有的等溫局部坐標卡組成了曲面的共形圖冊，由此決定了曲面的共形結構。所以我們得到結論：黎曼度量決定了共形結構。

曲面的黎曼度量決定了高斯曲率，高斯曲率在曲面上的積分卻只和曲面的拓撲有關。當我們共形變換黎曼度量時，，高斯曲率的變化滿足Yamabe方程，，這里和分別是和誘導的高斯曲率。令等于常值，通過求解Yamabe方程，我們可以得到單值化度量。

曲面黎奇流是求解Yamabe方程強有力的方法，其關鍵思路是令黎曼度量依隨時間演化，演化速率正比于當前的高斯曲率，，這樣曲率演化遵循擴散-反應方程，在一定曲率條件下，最后收斂到常值。黎奇流是通過曲率構造黎曼度量強有力的工具，也是目前構造黎曼度量最為有效的方法。將光滑曲面黎奇流理論推廣到離散情形，建立離散曲面黎奇流理論，是本書的重點之一。

曲面微分幾何 曲面微分幾何研究曲面在三維歐氏空間剛體變換群下的不變量，主要是第一基本形式和第二基本形式。除了黎曼度量之外，增添了曲面在三維歐氏空間中的嵌入信息。曲率定義更加豐富，除了高斯曲率，還有法曲率、主曲率、平均曲率。

圖7. 光滑曲面離散化逼近。

在計算機中，光滑曲面經常用離散曲面來表示，由此我們需要研究幾何逼近理論：如何在曲面上采樣，如何計算采樣點的三角剖分，才會保證離散曲面在各種范數下收斂到光滑曲面。為此，我們介紹離散法叢理論（normal cycle），這一理論將光滑曲面的曲率測度和離散曲面的曲率測度統一起來。如圖7所示，基于這一理論和單值化定理，我們給出構造方法用離散曲面來逼近光滑曲面，并保證曲率測度收斂，這為整個計算理論奠定了堅實的基礎。

圖8. 曲面上的葉狀結構。

曲面上可以定義實或者復微分形式，微分形式構成曲面的de Rham上同調群，反映了曲面的拓撲性質?；羝娣纸舛ɡ頂嘌悦恳粋€de Rham上同調類中，唯一存在一個調和微分形式。黎曼-羅赫定理給出了一般亞純微分形式空間的維數。曲面上的調和微分形式、全純微分形式在計算共形映射中起到了關鍵性的作用。曲面的全純二次微分形式和曲面上的葉狀結構等價類具有對應關系，葉狀結構奠定了曲面和網格生成的理論基礎。一般的微分同胚可以用擬共形映射來刻畫。固定映射的同倫類，使得共形結構畸變最小者被稱為是極值映射，通常極值映射也是Teichmuller映射，和曲面的全純二維微分具有深刻的聯系。本書會介紹這些理論及其計算方法。

如果我們將曲面視作由橡皮膜制成，曲面間映射的扭曲會誘導彈性形變能量，被表示成調和能量。使得調和能量極小者被稱為是調和映照。調和映照的存在性，唯一性和正則性都強烈依賴于曲面的拓撲和黎曼度量，特別是調和映照的微分同胚性和計算穩定性更是由曲面的曲率所決定。調和映照和共形映射具有密切的關系，在度量變分情況下，調和映照和Teichmuller映射也有密切聯系。我們用幾何偏微分方程理論來加以討論。

這里我們簡要介紹一下計算共形幾何在工程和醫療領域的直接應用，并指出這些應用的理論基礎。

計算機圖形學 在計算機圖形學領域，計算共形幾何應用于曲面參數化（surface parameterization）。如圖9左幀所示，曲面參數化是指用一個拓撲同胚將曲面映射到平面或者球面區域，使得映射的畸變盡量小。如圖9右幀所示，我們在平面區域上設計繪制二維紋理圖像，參數化映射將紋理圖像拉回到曲面上面，得到紋理貼圖。例如，我們將大理石的紋理貼到大衛王的頭像上面，得到大理石雕塑的視覺效果。紋理貼圖技術是動漫動畫的基石，極大地提高了渲染結果的逼真程度。

圖9. 曲面參數化。

但是，曲面參數化不可避免地會帶來幾何畸變。通?；兎殖蓛深?，角度畸變和面積畸變。如圖10左列所示，共形變換可以完全去除角度畸變，但是可能會帶來強烈的面積畸變；如圖10右列所示，最優傳輸映射可以完全去除面積畸變，但是可能會帶來強烈的角度畸變。同時保持角度和面元的映射是等距映射，等距映射保持高斯曲率，因此無法將彎曲的曲面鋪平。在實際應用中，保角參數化和保面積參數化各有獨到的優點，根據實際應用加以選擇。共形幾何的單值化定理和最優傳輸映射構成曲面全局參數化的理論基礎。

圖10. 曲面保角和保面積的參數化。

圖11. 基于相位平移方法的三維掃描得到的人臉曲面。

計算機視覺 在計算機視覺領域，曲面配準具有根本的重要性。依隨三維掃描技術的發展和成熟，獲取三維曲面相對變得容易。圖11顯示了用結構光的相位平移法獲取的人臉曲面。如何處理高精度、高分辨率的幾何數據，成為計算機視覺的一個主要問題。如圖12所示，曲面配準的目的在于建立兩個曲面之間的微分同胚，，滿足一定的條件，例如將特征點映到相應的特征點，同時盡量減小幾何畸變和紋理誤差等。為此，我們首先將曲面共形映射到平面區域，，；然后在平面區域間建立同胚；映射的復合給出了曲面間的同胚，。平面區域間的映射比曲面間的映射相對容易計算，應用擬共形映射的方法，我們可以在所有同胚構成的空間中進行變分，從而得到最優映射。

圖12. 曲面注冊的計算框架。

例如，我們可以找到所有的特征點，然后在保持特征點對應的同胚空間尋找Teichmuller映射，基于擬共形幾何理論，這種映射存在并且唯一，同時使得角度畸變達到最小。這種映射可以通過變換曲面的共形結構，應用迭代法得到。如果我們掃描得到一系列的動態曲面，例如人臉曲面帶有表情變化，應用曲面配準方法我們可以在一系列曲面間建立微分同胚，從而可以追蹤到表情的變化。這種技術在動漫動畫領域，可以用于表情追蹤。圖13顯示了一個動態曲面追蹤的實例。帶有表情變化的人臉曲面由平移相位法獲得，藍色四邊形網格從一幀曲面映射到下一幀曲面，顯示了追蹤的結果。擬共形幾何、Teichmuller理論構成曲面配準的理論基礎。

圖13. 動態曲面追蹤。

幾何建模  在動漫動畫領域，曲面可以表示成分片線性的多面體曲面；在機械制造領域，所有的曲面都必須是至少2階可導的光滑曲面，因為數控機床需要計算道具的力和加速度，這需要用到曲面的2階微分。通常掃描得到的是點云數據，進而轉換成多面體曲面，最終轉換成所謂的樣條曲面（Spline Surface），從而用于機械加工。

對于拓撲復雜的曲面而言，建立全局處處2階可導的樣條曲面非常困難。這是因為傳統的樣條是基于仿射幾何不變量來構造的，如果我們能夠在流形上實現仿射幾何，則我們可以將定義在歐氏空間中的樣條理論直接推廣到流形上面。這需要所謂流形的仿射結構，亦即一族圖冊，所有的坐標變換都是仿射變換。由拓撲障礙理論，通常的流形并不允許這種結構。由此，在流形上定義的樣條不可避免地具有奇異點。如何控制奇異點的個數，和奇異點的位置成為幾何建模領域的核心問題之一。

圖14. 彌勒佛樣條曲面。

如圖14所示，我們在曲面上構造一個平直度量，將所有的曲率集中到預定的奇異點處，這可以由黎奇曲率流實現。平直度量誘導了去掉奇異點的曲面的一個仿射結構，從而可以用傳統方法定義樣條曲面。如此我們就可以控制奇異點的位置和個數。流形上的仿射幾何和拓撲障礙理論構成流形樣條的理論基礎。

圖15. 無線傳感器網絡路由設計。

無線傳感器網絡 如圖15左幀所示，每個無線傳感器帶有一個GPS坐標，可以和某個鄰域內的所有傳感器進行通信，但是沒有任何一個傳感器具有全局信息。傳感器網絡往往采用貪婪算法作為路由協議，每個獲得消息的傳感器選擇鄰域中的另外一個傳感器，其距離終點的距離小于當前傳感器距離終點的距離，然后將消息傳遞過去。每個傳感器都遵循同樣算法，使得當前擁有消息的傳感器到達終點的距離逐步減小。但是，網絡內部有各種各樣的障礙，例如水塘和建筑物，當消息傳至某個角點時，有可能當前傳感器到終點的距離小于所有鄰域中其他的傳感器，因而協議終止，路由失敗。我們可以采用分布式算法，將網絡共形變換成平面圓域，每個邊界都是標準圓，對于任意一個節點，都存在一個鄰居，距離終點更近。整個網絡在虛擬坐標上進行路由，可以保證消息送達。曲面的共形模理論構成無線傳感器網絡幾何路由算法的理論基礎。

圖16. 虛擬腸鏡技術。

醫學圖像 計算共形幾何方法在醫學圖像領域具有很多應用。圖16顯示了虛擬腸鏡技術。直腸癌是發病率較高的一種病癥，預防直腸癌最為有效的手段是腸鏡技術。傳統的光學腸鏡方法對病患具有侵犯性，需要進行全身麻醉，并且容易誘導并發癥。虛擬腸鏡方法用CT掃描獲取腹部斷層圖像，然后用圖像處理方法重建直腸曲面，再用共形映射將直腸曲面鋪平在平面上。這種方法設備和病患沒有接觸，不需要麻醉，不會誘導并發癥。直腸曲面上有很多皺褶，傳統光學腸鏡方法無法看到皺褶內部的腸壁，有一定的漏檢率。虛擬腸鏡方法將所有皺褶攤開，所有的直腸息肉都被暴露出來，漏檢率為0。因此，虛擬腸鏡技術具有很多優勢，日益普及開來。

圖17. 共形腦圖技術。

共形腦圖技術廣泛應用于奧茲海默癥的診斷和預防。首先，通過核磁共振獲取大腦斷層圖像，重建大腦皮層曲面，然后將大腦皮層曲面共形映射到單位球面，再復合上最優傳輸映射，得到大腦皮層到球面的保面積映射。大腦皮層曲面具有非常復雜的幾何，溝回的結構因人而異，并且依隨年齡增長而發生變化。直接建立兩個大腦皮層曲面間的映射相對困難，通過它們球面像之間的映射來尋找微分同胚相對容易。通過比較不同時期掃描的同一個大腦皮層曲面，我們可以監控各個功能區域的萎縮情況，從而做出預測和診斷，采取相應的預防措施。

圖18.規則六面體網格生成。

網格生成  在計算力學中，設計的機械零件需要進行仿真。仿真意味著求解有關力學、熱學和電磁學等方面的偏微分方程。有限元法是最為常見的偏微分方程數值求解方法，這需要將機械零件進行胞腔分解，生成體網格，然后在體網格上用分片多項式來逼近真實解，多項式的系數成為未知變量。通常將偏微分方程轉化成變分問題，通過優化求得未知系數。在這一過程中，關鍵步驟在于體網格生成。

共形幾何為結構化的六面體網格生成奠定了理論基礎。六面體網格在體的表面誘導了四邊形網格，我們將四邊形網格無限細分，得到兩族彼此橫截的有限葉狀結構。曲面上有限葉狀結構都和某個Strebel微分的水平軌跡等價。所有的全純二次微分構成一個線性空間，Strebel微分在此線性空間中稠密。我們可以用計算共形幾何的方法來構造全純二次微分線性空間的基底，從空間中挑選合適的Strebel微分，構造曲面的四邊形網格，然后擴展成六面體網格。這種方法保證奇異線的數目最少，網格整體結構規則，適用于精確的力學計算。流形葉狀結構理論、Strebel微分理論、拓撲障礙理論構成規則六面體網格生成的理論基礎。