懸賞百萬美元的數學難題：龐加萊猜想究竟是什么？｜數學萬花筒

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龐加萊猜想

到19世紀末，數學家終于成功發現了曲面所有可能的“拓撲類型”。 如果一個曲面可以通過連續變換變成另一個曲面，就說這兩個曲面在拓撲上等價，屬于同一種拓撲類型。不妨把曲面想像成是由可變形的面團做成的。你可以拉伸它，擠壓它，扭曲它，但不能扯破它或者將不同部分拼湊在一起。

為了簡單起見，我將假定曲面沒有邊界、可定向（不同于莫比烏斯帶，它有兩個面）且具有有限大小。19世紀的數學家證明了，每個這樣的曲面拓撲等價于球面、環面、有兩個洞的環面、有三個洞的環面，如此等等。

這里的“曲面”真的只是指面。拓撲學中的球面像氣球，但是由無限薄的橡皮薄片做成的。環面的形狀則像輪胎的內胎（如果你知道輪胎的內胎是什么的話）。所以我剛才提到的“面團”其實是非常薄的薄片， 而不是實心的面塊。拓撲學家稱實心的球面為“球”。

為了對所有曲面分類，拓撲學家需要“從內在”刻畫它們，而不參照任何周圍空間。設想在曲面上生活著一只螞蟻，它沒有任何周圍空間可供參照。那么這只螞蟻如何知道它生活在哪種曲面上？到1900年，人們已經想到了一種好辦法：考慮在曲面上的一些閉環路，并觀察這些環路如何收縮。例如，在一個球面上，任何閉環路都可以連續地收縮至一點。與赤道平行的圓可以逐漸向南極移動，變得越來越小，直到它與極點重合：

相反地，任何與球面拓撲不等價的曲面，上面都存在一些不能收縮至一點的閉環路。這樣的環路“經過了一個洞”，而這個洞阻礙了它們收縮至一點。所以球面可以被刻畫為唯一其上的任何閉環路都能收縮至一點的曲面。

但要注意到，我們在一幅圖上看到的“洞”實際上并不是曲面的一部分。根據定義，它是一處不是曲面的地方。如果我們只從內在判斷， 單靠通常的視覺化方法，我們無法以有意義的方式討論這些洞。就像生活在曲面上且不知道其他世界的螞蟻無從知道自己所在的環面上有一個巨大的洞，又像我們無法超出三維去看四維。因此，盡管我在這里用“洞” 來解釋為什么閉環路不能收縮至一點，但對此的拓撲學證明要借助其他不同的方法。

1900年，亨利·龐加萊更進一步，試圖理解流形（曲面概念在三維上的推廣），并一度假設通過閉環路來刻畫球面的方法在三維情況下也成立。（球面在三維上的自然類比稱為三維球面。就像球面是實心球的表面， 三維球面是四維空間中的“球”的表面。）

一開始，龐加萊以為對三維球面的這種刻畫應當是顯而易見，或至少很容易證明的。但在1904年，他注意到這個論斷的一個看上去合理的版本其實是錯誤的，而另一個與之密切聯系的版本雖然看上去難以證明但可能是正確的。由此他提出了一個表面看上去簡單的問題：如果一個（沒有邊界、可定向、具有有限大小的）三維流形具有如下性質，即其上的任何閉環路都能收縮至一點，則這個流形必定拓撲等價于三維球面嗎？ 很多人試圖回答這個問題，但都無功而返，盡管通過全世界拓撲學家的不懈努力，任何高于三維的類似問題的答案已被證明都是肯定的。人們相信三維的情況也是如此，這被稱為龐加萊猜想，是著名的八個千年獎問題之一。

2002年，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼在預印本網站arXiv.org 上提交的幾篇論文吸引了全世界的注意。他的論文表面上是在討論“里奇流”的性質，但明眼人能看出，如果論文是正確的，則它們暗示了龐 加萊猜想也是正確的。里奇流的概念最早由理查德·漢密爾頓在1981年 引入，他受到了阿爾伯特·愛因斯坦在廣義相對論中所用數學的啟發。在愛因斯坦看來，時空可以被認為是一個曲面，而引力可由其曲率描述。曲率由所謂“曲率張量”來度量，與之類似的一個概念是所謂“里奇曲率張量”，以其提出者格雷戈里奧·里奇-庫爾巴斯特羅的名字命名。

根據廣義相對論，隨著時間的推移，引力場會改變宇宙的拓撲（愛因斯坦引力場方程指出，能動張量與曲率張量成比例）。事實上，隨著時間的推移，彎曲的引力場試圖使自己變得平滑，而愛因斯坦引力場方程以量化形式描述了這一思想。

在微分幾何中，里奇曲率張量也會出現類似的情況：隨著時間的推移，一個由里奇流方程描述的曲面會自然地趨于簡化自己的形狀，讓自己的曲率變平滑。漢密爾頓表明了，龐加萊猜想的二維版本，也就是人們更為熟悉的對球面的刻畫，可以借助里奇流加以證明。簡單來說，一個其上的所有閉環路都能收縮至一點的曲面，會順著里奇流不斷簡化自己，使得自己最終變為一個完美的球面。漢密爾頓提出可以將這個方法推廣到三維，但他遇到了一些難以克服的困難。

推廣到三維時的主要障礙是可能會遇到“奇點”，使得里奇流的演化中斷。漢密爾頓提出可以將奇點附近的曲面切割成一些連通的片，從而將奇點除去，使得里奇流能夠繼續演化。如果三維流形在經過有限次這樣的手術后能夠完全簡化自己，那么這不僅證明了作為特殊情況的龐加萊猜想是正確的，也證明了對于一般情況的瑟斯頓幾何化猜想也是正確的，而后者給出了三維流形的所有可能類型。

佩雷爾曼則將漢密爾頓的設想變成了現實。但故事現在還有一個有趣的轉折。人們普遍認為佩雷爾曼的工作是正確的，盡管他的論文還存在許多需要填充的細節（而事實證明這個過程并不容易）。但佩雷爾曼出于自己的理由并不希望獲得什么獎（事實上，除了這個解答本身之外的任何獎），并決定不擴展自己的論文，使之成為某種適合出版的模樣。不過如果被問及，他一般也樂于向人解釋該如何填充各種細節。所以該領域的專家們只好自己發展佩雷爾曼的思想。

2006年，在馬德里召開的國際數學家大會決定授予佩雷爾曼菲爾茲獎，這是數學界的最高獎項。當然，他也拒絕了這個獎。(完)

佩雷爾曼是如何證明龐加萊猜想的？推薦下面這本書《龐加萊猜想：追尋宇宙的形狀》