高中數(shù)學(xué)：反函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

性質(zhì)1：原函數(shù)的定義域、值域分別是反函數(shù)的值域、定義域

在求原函數(shù)的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域、值域的有關(guān)問題時(shí)，如能充分利用這條性質(zhì)，將對(duì)解題有很大幫助。

例1.函數(shù)的反函數(shù)是（   ）

A.

B.

C.

D.

解析：這是一個(gè)分段函數(shù)，對(duì)分段函數(shù)求反函數(shù)要注意分段求解。由函數(shù)解析式可知當(dāng)時(shí)，；時(shí)。由性質(zhì)1，可知原函數(shù)的反函數(shù)在時(shí)，，則根式前面要有負(fù)號(hào)，故可排除A、B兩項(xiàng)，再比較C、D，易得答案為C。

例2.若函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，則的值域?yàn)開_______。

解析：常規(guī)方法是先求出的反函數(shù)，再求得的值域?yàn)?sub>。如利用性質(zhì)1，的值域即的定義域，可得的值域?yàn)?sub>。

性質(zhì)2：若是函數(shù)的反函數(shù)，則有。

從整個(gè)函數(shù)圖象來考慮，是指與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；從圖象上的點(diǎn)來說，是指若原函數(shù)過點(diǎn)，則其反函數(shù)必過點(diǎn)。反函數(shù)中的這條性質(zhì)，別看貌不驚人，在解題中卻有著廣泛的應(yīng)用。

例3.函數(shù)的反函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)P（0，2），如下圖所示，則方程在[1，4]上的根是（   ）

A.4

B.3

C.2

D.1

解析：利用互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象與軸交于點(diǎn)P（0，2），可得原函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)（2，0），即，所以的根為，應(yīng)選C。

例4.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，且存在反函數(shù)，=0，則=_________。

解析：由=0，可知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（4，0），而點(diǎn)（4，0）關(guān)于點(diǎn)（1，2）的對(duì)稱點(diǎn)為（，4）。由題意知點(diǎn)（，4）也在函數(shù)的圖象上，即有，根據(jù)性質(zhì)2，可得。

性質(zhì)3：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性一致。

在定義域上的單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但在定義域上非單調(diào)函數(shù)未必沒有反函數(shù)，或者說有反函數(shù)的原函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)。如函數(shù)有反函數(shù)，但其在定義域上不是單調(diào)函數(shù)。

例5.函數(shù)=在區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是（   ）

A.

B.

C.

D.

解析：因?yàn)槎魏瘮?shù)不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的子區(qū)間或上是單調(diào)函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上存在反函數(shù)，所以或者，即或，應(yīng)選C。

例6.已知是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且有，試證明。

證明：（反證法）假設(shè)存在，使得。

∵是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

∴由性質(zhì)3知，也是R上的單調(diào)遞增函數(shù)。

若，則，即，矛盾。同理，當(dāng)時(shí)，也可推出矛盾，故假設(shè)不成立，則。

性質(zhì)4：若是的反函數(shù)，則的反函數(shù)為，的反函數(shù)為。

證明：假設(shè)的反函數(shù)為，若，則，即，得。

也就是說原函數(shù)向左平移a個(gè)單位，則反函數(shù)向下平移a個(gè)單位，其他情況可同理證明。

例7.設(shè)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求的值。

解析：∵函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。

∴與互為反函數(shù)。

根據(jù)性質(zhì)4，的反函數(shù)為。

∴，得。

例8.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)、都有反函數(shù)，并且函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，求的值。

解析：由已知條件可知與互為反函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)4，的反函數(shù)為，可得。

∴。