數學史上的三次危機（二）無窮小量的謎蹤：追隨牛頓的幽靈

微積分，無疑是人類歷史上最偉大的思維成果之一。

牛頓與萊布尼茨（圖片來源：百度圖片）

它由牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）于17世紀創立。然而，伴隨著它的誕生，一個全新的概念——無窮小量即如影隨形。它在微積分的規則里，時而顯露參與運算，時而隱形全身而去。沒有人知道它確切的行蹤，但在一行行嚴密的數學證明中，它的身影卻如幽靈般始終揮之不去。無窮小量，成了牛頓終身的夢魘，也成為后人詬病微積分最大的缺陷。直到19世紀，分析的嚴格化開始展露曙光，無窮小量的迷思終于在困擾世人一個半世紀之后得到澄清。

古希臘哲學家芝諾（圖片來源：百度圖片）

事實上，早在公元前500年，古希臘就已經萌發了微積分的核心思想——極限逼近。著名的哲學家芝諾（Zeno）曾經提出四個芝諾悖論，它們可以看做是極限思想最早的萌芽。在第一個悖論中，芝諾認為“運動不可能”。比如一個物體要從A點運動到B點，則首先需要運動到A和B的中間點C；而如果物體要運動到C點，則需要首先運動到A和C點之間的中點D。以此類推，這個二分法可以無限進行下去。這樣的中點有無窮多個，所以物體永遠也到達不了B點。因此，物體根本不可能運動，因為它被道路的無限細分所阻隔。

基于同樣的道理，芝諾遂提出更多的悖論，諸如“落后的兔子永遠追不上烏龜”、“飛矢不動悖論”、“運動場悖論”等等。現實生活中，人們顯然可以把物體從A點移動到B點，落后的兔子也會很快追上烏龜。所有這些，都指向了芝諾悖論的謬誤。然而，芝諾悖論里所體現出對空間、時間、無限、連續和運動的看法，給古希臘造成了深深的困惑。這樣的困惑，一直延伸到了微積分的誕生。

不僅如此，古希臘科學家阿基米德（Archimedes）使用“窮竭法”來計算圓的周長和面積，其核心方法已經非常接近17世紀微積分的思想。除了古希臘，古代中國的科學家也在探索微積分的道路上取得了驚人的進展。魏晉時期最偉大的數學家劉徽發明了割圓術來計算圓周的精確數值。隨后，割圓術被南北朝時期的數學家祖沖之發揮到了極致。他計算出圓周率介于3.1415926至3.1415927之間這一驚人的成就。這一成果甚至領先外國1000多年。

阿基米德與歐幾里得（圖片來源：百度圖片）

古希臘的數學在歷史上留下了無數絢麗的瑰寶，但隨著希臘文明的衰落，也一起進入了長達千年的沉寂期。歐洲數學從此停滯不前，只有歐幾里得（Elucid）的《幾何原本》和阿基米德（Archimedes）的思想隨著數學中心的轉移來到了阿拉伯世界。從公元9世紀到16世紀，阿拉伯的數學進入了鼎盛時期。阿拉伯的數學家不僅繼承了源自希臘的幾何思想，還獨自創立了代數學科。直到歐洲文藝復興過后，東西方的交流通道再度打開。曾經失傳的古希臘先賢們的思想結合阿拉伯數學家600多年的數學結晶再次回到了它的故鄉-歐洲。

開普勒與伽利略（圖片來源：百度圖片）

14世紀后，歐洲各國皇室出于航海歷的需要，開始出錢資助科學家研究天地星辰的規律。德國天文學家開普勒（Kepler）通過幾十年的觀星數據，最終發現太陽系的行星沿橢圓軌道運行；意大利科學家伽利略（Galileo）也發現投擲物體會沿著拋物線運動。對天文和力學的研究成果，進一步激發了人們對曲線研究的熱情，代數學在這一階段得到了極大發展。通過代數方法尋求幾何問題的解決方案，成為研究曲線運動新的途徑。這一切，都為解析幾何的發現奠定了基礎。

笛卡爾（圖片來源：百度圖片）

17世紀中葉，法國數學家笛卡爾（Descartes）創立了解析幾何。解析幾何的橫空出世邁出了從常量數學到變量數學的第一步，把自古希臘時代就被割裂的代數與幾何、數與形都重新粘合在一起。有了極限思想的啟發，結合解析幾何的變量思維，微積分作為一門初生的全新學科，呼之欲出。它的誕生需要有人站在更高的角度，聚合無數前人的成就。而讓這一理論成真、并煥發無窮生命力的人，就是17世紀的科學巨匠--牛頓（Issac Newton）。

微積分的出現很快在生產和實踐上發揮了巨大的作用。通過微積分的預測，人們在草紙上的演算意外地發現了海王星的蹤跡，海王星的存在也在后來通過天文望遠鏡的實測觀察予以證實。這件曠古爍今的科學成就讓微積分成為無可非議的杰作，更是賦予牛頓前人無可比擬的榮譽和地位。和牛頓同時代的德國數學家萊布尼茨也獨立發明了微積分。萊布尼茨還為微積分引入了現代的符號系統，并一直延續至今。后世為了紀念兩位科學天才的杰出貢獻，遂將微積分的基本公式命名為牛頓-萊布尼茨公式。

牛頓-萊布尼茨公式（圖片來源：百度圖片）

不過，在微積分創立之初，牛頓和萊布尼茨的工作還遠遠不夠完善。牛頓為了計算微積分所引入的流數法因為模糊不清的表述而遭遇了最廣泛的批評。1734年，英國哲學家、大主教貝克萊（Berkeley）直接提出尖銳的問題，將矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題。

他指出，牛頓為了求出多項式x的n次方的導數，首先假定無窮小量dx的存在，應用二項式(x+dx)的n次方，然后減去x的n次方，得到的增量再除以dx，最后又讓dx消失為0。這個假設的關鍵在于最初無窮小量dx不為零，最后卻又讓它等于零。這種隨心所欲的操作，讓dx召之即來、揮之即去，成為幽靈般的存在。這個dx遂被稱為“逝去量的靈魂”，成為牛頓一生的夢魘。牛頓無法回答這個問題，只好避而不談。無窮小量的迷蹤不定，從而引起了數學界長達一個半世紀的爭論，并最終導致了數學史上的第二次危機。 　　　　

微積分在最初的發展階段，更多的強調形式的計算結果而忽視了其原理的可靠性。由于無窮小量的概念沒有得到澄清，與此相關的導數、微分、積分，并由此衍生的發散級數的求和等等都成了棘手的問題。

達朗貝爾與拉格朗日（圖片來源：百度圖片）

18世紀中葉，法國數學家達朗貝爾（D’Alembert）提出把極限理論作為分析嚴格化的基礎。他獨辟蹊徑地把微分看做是函數的極限，特別指出了一個量是另一個量的極限定義。但他沒有逃脫傳統的幾何方法的影響，沒能把極限用嚴格的形式表述出來。

幾乎同時代，另一位法國數學家拉格朗日（Lagrange）則試圖擺脫無窮小量和極限的概念，將任何函數展開為無窮的級數之和來定義各階導數。這類泰勒（Taylor）級數雖然取得了一定的成效，但是同時也有很強的局限性。不僅在應用上無比繁瑣，而且因為能表達為泰勒級數的函數自身需要很強的約束條件，這極大地限制了可微分函數的范圍。拉格朗日的努力也在一定程度上宣告失敗。

（圖片來源：百度圖片）

直到19世紀20年代，數學家們才開始普遍關注微積分的嚴格化問題。一系列閃亮的名字即將登場，他們開啟了一場持續近半個世紀的接力賽，終于在19世紀末期為數學分析奠定了嚴格的基礎，也將微積分置于前所未有的堅固基石之上，從而順利結束了第二次數學危機。

挪威數學家阿貝爾（Abel）最早開始積極倡導和推動分析的嚴格化。作為對阿貝爾呼吁的回應，捷克的數學家波爾查諾（Bolzano）在1816年清楚地提出了級數收斂的概念，并給出了導數等概念的合適定義。事情的偉大轉折則要歸功于法國的數學家柯西（Cauchy）。