數學壓軸題

?二次函數相關動點問題，典型例題分析1：

探究試一試，超越自我。

如圖，已知二次函數y=-x²+mx+4m的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點（B點在A點的右邊），與y軸的正半軸交于點C，且（x₁+x₂）-x₁x₂=10．

（1）求此二次函數的解析式．

（2）寫出B，C兩點的坐標及拋物線頂點M的坐標；

（3）連接BM，動點P在線段BM上運動（不含端點B，M），過點P作x軸的垂線，垂足為H，設OH的長度為t，四邊形PCOH的面積為S．請探究：四邊形PCOH的面積S有無最大值？如果有，請求出這個最大值；如果沒有，請說明理由．

考點分析：

二次函數綜合題；證明題．

題干分析：

（1）由根與系數的關系，得到x₁和x₂的關系式進而求出m的值，所以可求此二次函數的解析式；

（2）令y=0解一元二次方程，可求出B，C兩點的坐標；把二次函數的解析式為y=-x²+2x+8配方化為頂點式可求出頂點M的坐標；

（3）過M作MN⊥x軸于N，則ON=1，MN=9，OB=4，BN=3，再由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4-t），所以S=- 3t²/2+10t=-3（t-10/3）²/2+50/3可求出四邊形PCOH的面積S最大值．

解題反思：

本題考查了二次函數的綜合應用，將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數相關圖象與xin性質。

二次函數相關動點問題，典型例題分析2：

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=3x/4－3/2與拋物線y=－x²/4+bx+c交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為﹣8．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方　 　的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．

①設△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關于x的函數關系式，并求出l的最大值；

②連接PA，以PA為邊作圖示一側的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的坐標．

考點分析：

二次函數綜合題

題干分析：

（1）利用待定系數法求出b，c即可；

（2）①根據△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=y_P﹣y_D求出二函數最值即可；

②當點G落在y軸上時，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即根據方程，解得x的值，所以求得此時P的兩個坐標，當點F落在y軸上時，同法可得P的另兩個坐標（舍去）．

解題反思：

此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定以及待定系數法求二次函數解析式，利用數形結合進行分析以及靈活應用相似三角形的判定是解決問題的關鍵．