初中數(shù)學(xué)：一元二次方程（總結(jié)歸納）

《一元二次方程》是中考的核心考點，涉及到的內(nèi)容、題型繁多，因此對這個知識點將分兩部分內(nèi)容講解：1、一元二次方程的基礎(chǔ)知識、基本考點和基本解題方法的歸納總結(jié)；2、從2018年各地的中考試卷上精選習(xí)題，講練結(jié)合，進一步強化提高.

本篇是第一部分，以《一元二次方程》的雙基知識為主.

【考點1】一元二次方程及其解法

1. 一元二次方程必須具備三個條件：
2. (1)必須是整式方程；

(2)必須只含有1個未知數(shù)；

(3)所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．

2.一般形式：

3. 一元二次方程的解法：

（1）直接開平方法，適用兩種題型

①當(dāng)方程缺少一次項時，即方程ax^2＋c＝0(a≠0，ac<>

②形如(x＋m)^2＝n(n≥0)的方程.

（2）配方法，理論上只要有實數(shù)根的的一元二次方程都可用此法，步驟：

①變形：把二次項系數(shù)化為1；②移項：把常數(shù)項移到方程的右邊；③配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；④用直接開平方法求解.

（3）公式法，適用于所有一元二次方程，求根公式為

注意事項：

①使用求根公式時要先把一元二次方程化為一般形式，方程的右邊一定要化為0；

②將a，b，c代入公式時應(yīng)注意其符號；

③若b^2－4ac<>

（4）因式分解法，適用題型為“左邊能分解因式，右邊為0的一元二次方程”，解題步驟：

①將方程右邊化為0；②將方程左邊進行因式分解；③令每個因式等于0，得兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程得到原方程的根.

歸納：解一元二次方程的核心思想是降次，即將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.解一元二次方程需要根據(jù)方程的特點選用合適的方法，對四種解法要靈活運用.

例1、下列方程是一元二次方程的是________．

① x^2＋2x－8＝0；② x^2＋5＝0；③ (x^2＋3)^2＝0；④ x^2＋1/x＝6；⑤ 5x^2－6y－1＝0.

解析：③中把括號去掉后未知數(shù)x的最高次數(shù)是4，④中1/x屬于分式，⑤中含有兩個未知數(shù)x和y，因此它們都不是一元二次方程.故正確答案是：①②.

例2、若

是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值為( )

A. 3 B. －3 C. ±3 D. 無法確定

解析：∵此方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴ a^2-7=2 解得a=±3，當(dāng)a=3時，方程第一項為0變成了一元一次方程，所以a=3舍去，則a=-3，答案是：B.

點評：判斷方程是否是一元二次方程時，一定要注意不能使二次項的系數(shù)等于0.

例3、（易丟分題）方程x(x－1)＝2(x－1)^2的根為( )

A. 1 B. 2 C. 1和2 D. 1和－2

解：方程兩邊同時除以公因式(x－1)，得：x＝2(x－1)……第一步

移項得：x－2(x－1)＝0……第二步

去括號得：x－2x＋2＝0……第三步

解得：x＝2.……第四步

上述解析過程是從第一步開始出現(xiàn)錯誤的，此題的最終結(jié)果是C．

錯誤剖析：對于左右兩邊含有相同未知數(shù)因式的一元二次方程，應(yīng)將方程化為一般式后再求解(或?qū)⒎匠套優(yōu)榈忍栆贿厼?，另一邊含未知數(shù)的式子，利用因式分解法求解)，切勿直接約去含有相同未知數(shù)的項而丟根．

【考點2】一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系（高頻考點）

1、根的判別式：

一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式為b^2－4ac.

①b^2－4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；

②b^2－4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；

③b^2－4ac＜0?方程沒有實數(shù)根.

2、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

設(shè)一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩實數(shù)根為x1和x2，則有x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a.

注意事項：

（1）在使用根的判別式解決問題時，如果二次項系數(shù)中含有字母，一定要考慮二次項系數(shù)不為0這個限制條件；

（2）利用根與系數(shù)關(guān)系解題時，要注意根的判別式b^2－4ac≥0；

（3）根與系數(shù)的兩個推論：

①如果方程x^2＋px＋q＝0的兩個根是x1和x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q；

②以兩個數(shù)x1和x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)是1）是x^2-（x1+x2）x＋x1·x2＝0.

例1、（易丟分題）若關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x^2＋4x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________．

解：∵關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x^2＋4x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴b^2－4ac＝16－4(k－1)>0，即4－k＋1>0，k<>

錯誤剖析：上述解法錯在忽略了二次項系數(shù)不能為0的情況，此題的正確結(jié)果應(yīng)是k＜5且k≠1．

例2、（2017·湖北咸寧）已知a，b，c為常數(shù)，點P（a，c）在第二象限，則關(guān)于x的方程ax^2+bx+c＝0的根的情況是（ ）

A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.沒有實數(shù)根 D.無法判斷

解析：因為點P（a，c）在第二象限，所以a＜0，c＞0，則可知ac＜0，由此可推出b^2-4ac＞0. 因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選B.

點評：根的判別式的三個作用：①不解方程，直接判斷一元二次方程根的情況；②根據(jù)方程根的情況，確定某個未知系數(shù)的值(或范圍)；③證明一個一元二次方程根的情況．

例3、（2017青海西寧）若x1和x2是一元二次方程x^2＋3x-5＝0的兩個根，則

的值是________．

解析： ∵x1、x2是原一元二次方程的兩個根，∴x1+x2=-3，x1·x2=-5. ∴要求的代數(shù)式可化為 x1·x2（x1+x2）=-5×（-3）=15.

點評：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

①驗根，不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是否是原一元二次方程的兩個根；

②由已知方程的一個根，可以求出另一個根及未知系數(shù)；

③已知方程的兩個根，求這個一元二次方程；

④已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)；

⑤不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1，x2的代數(shù)式的值，此時需要熟練掌握以下重要的變形：

【考點3】一元二次方程的實際應(yīng)用

1、列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、列、解、驗、答六步；

2、常見的應(yīng)用題類型：

（1）平均增長(下降)率問題方法歸納

設(shè)a為原來量，m為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量，則a×（1+m）^n=b；當(dāng)x為平均下降率，n為下降次數(shù)，b為下降后的量時，則a×（1-m）^n=b．

注意事項：增長率問題所列的一元二次方程一般用直接開平方法求解．

（2）利潤問題——“每每模型”方法歸納

題干中已知量為進價a元，原售價b元，銷量m件，銷量隨售價每提高(降低)d元而減少(增加)c件，獲得利潤n元．

①若設(shè)售價x元，則列式為

②若設(shè)提(降)價x元，則列式為

③若題干中已知量為：盈利a元，銷量m件，銷量隨售價每提高(降低)d元而減少(增加)c件，獲得利潤n元．設(shè)提高(降低)x元，列式為(a±x)(m?cx/d)＝n.

（3）面積類問題常見圖形方法歸納

①如下圖，設(shè)空白部分的寬為x，則S陰影＝（a-2x）（b-2x）；

②如下面3個圖，雖然形狀不同，其實列出的方程是一樣的，若設(shè)空白道路的寬為x，則S陰影＝（a-x）（b-x）；

③如下圖，圍欄總長為a，BC的長為b，則S陰影＝（a-b）/2×b.

（4）握手、單循環(huán)賽與送禮物類方法歸納

握手總次數(shù)、單循環(huán)賽的場次＝n(n－1)/2；送禮物總份數(shù)＝n(n－1)．

例1、某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來的125元降到80元，則平均每次降價的百分率為________．

解析：設(shè)每次降價的百分率為x，則由題意可得125（1-x）^2=80 可化為（1-x）^2=16/25，可得1-x=±4/5（-4/5不合題意故舍去）∴1-x=4/5 ∴x=1/5，即每次降價的百分率為20%.

例2、我市為了增強學(xué)生體質(zhì)，開展了乒乓球比賽活動．部分同學(xué)進入了半決賽，賽制為單循環(huán)形式(即每兩個選手之間都賽一場)，半決賽共進行了6場，則共有________人進入半決賽．

解析：設(shè)有x人進入了半決賽，因為半決賽共進行了6場，所以x（x-1）/2=6，解此方程得x1=-3（舍去），x2=4.故答案為4.

例3、（2017·山東菏澤）某玩具廠生產(chǎn)一種玩具，按照控制固定成本降價促銷的原則，使生產(chǎn)的玩具能夠及時售出，據(jù)市場調(diào)查：每個玩具按480元銷售時，每天可銷售160個；若銷售單價每降低1元，每天可多售出2個.已知每個玩具的固定成本為360元，問這種玩具的銷售單價為多少元時，廠家每天可獲利潤20000元？

解析：設(shè)這種玩具的銷售單價為x元時，廠家每天可獲利潤20000元. ∵銷售單價每降低1元，每天可多售出2個，∴ 現(xiàn)在每天銷售[160+2（480-x）]個，可得方程（x-360）×[160+2（480-x）]=20000，整理可得x^2-920x+211600=0，即（x-460）^2=0，解得 x1=x2=460，∴ 這種玩具的銷售單價為460元時，廠家每天可獲利潤20000元.