精要復習上節課我們講了導數與微分。 導數的“導”，可以理解為“方向”之意。 方向決定了函數的運行，所以“導數”是函數的原因，函數是“導數”的結果。 數學即哲學，世界是存在因果關系的，因果關系即為導數與原函數的關系。 導數的MATLAB求解，很簡單： y=diff(fun,x) y=diff(fun,x,n) 最后介紹了導數的親兄弟——微分。 微分是增量的線性主部。 先思考一個問題計算器或計算機怎么計算“正弦函數”？ 總不能查表吧？即使有表，那請問表又是怎么得到的呢？ 這個問題的本質是，sin函數是人為定義的一個三角函數，它表面上并由“可直接計算”的函數組成，sin這個表示是一個堅硬的外殼，那怎么辦？ 泰勒展開公式的誕生，完美解決了這個問題，它把這一類函數的堅硬外殼徹底擊碎，讓所有看起來無從下手的函數，全都變成了——多項式。 泰勒展開公式初探先看看泰勒公式長什么樣吧：  形式很多，這種容易記憶和理解 觀察公式形式我們發現：
如果是第一次學，看不太懂很正常，先不急理解上面的結論，先看下面這個實際的例子吧—— 泰勒展開公式就是“多項式仿真”還是上面的問題，怎么把sin(x)化成一個多項式的形式？ 咱們在x0=0的位置按泰勒展開分解，可以自己動筆算算，結果為：  計算機就是這樣計算正弦函數的 為什么沒有n=2 4 6這些項？動筆的同學肯定知道，因為這些項的導數為0，消去了。 硬殼已擊碎，下面咱們利用MATLAB畫畫，直觀感受一下。 先只取第一項，先比較一下 sin(x) 與 x：  發現其實在0點附近，兩個函數還是很像的，由其兩者在0點的斜率幾乎相同。 這也是為什么老師教我們，當x很小時，sin(x)可以用x的值去代替。 繼續再加一項：  哎呀，重疊的區域更大了。其實，當項數越來越多，兩個函數就越來越像！ 再加一項：  再加一項：  越多項，越像！ 文章最后會附上MATLAB源碼，感興趣可以自己試一試。 所以說，泰勒展開公式，是對展開點附近的函數，進行的一個“多項式仿真”。 仿真，就一定有誤差，泰勒公式的仿真誤差怎么樣呢？ 可控的多項式仿真誤差泰勒公式有無窮多項，但我們不可能計算出無窮多項，所以泰勒公式的另一種表達：  我們把從n+1往后所有的項給打包了，稱為R，課本上叫它“佩亞諾型余項”，說實話時間一長我也記不住這個外國名，所以我一直習慣叫它“誤差項”，還易于理解含義。 意思就是說，如果我只計算到n階導數項，那么誤差就是Rn了。 更絕的是，這個Rn被證明是x^n的高階無窮小，關于高階無窮小的概念我們以后會講，這里理解為Rn起到的作用，一定比前面那些項的作用小，即可。 要接受誤差，因為它無處不在 所以，我們要仿真一個“帶硬殼”的函數，只要使用泰勒展開取有限幾項，并保證誤差在可接受的范圍內，不就行了么？ 所以說，泰勒展開公式是一個誤差可控的多項式仿真。 直觀理解泰勒展開首先，我們先嘗試理解最基本的2項多項式：  幾何表達：  即，x 處的函數值，約等于 x0 處的函數值，再加上由導數引起的變化量。 上節課我們理解了，導數即原因，所以我們可以這樣理解上式：  對未來的仿真計算 結果=現狀+原因x時間。 由于原因（導數）是當前的原因，所以仿真預測的結果肯定不完全準確，不過，只要時間足夠短，仿真結果就足夠準確啦。 這也印象了我們上節的理解，“導數”是函數的原因，函數是“導數”的結果。 直觀理解多項泰勒展開還不止如此哦，泰勒展開還有好多項呢！ |
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