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中國目前初中數學教育大綱基于以下這個情況，即絕大多數人現實生活中只會用到三年級以下的數學，因此難度下降很大，屬于普遍教育。而高中數學的難度并沒有下降，因此初高中之間的銜接存在著很大的困難。 我曾經遇到過本地區最好的公辦初中的一個學生，她在初中排在年級前20名（年級總共500多學生），但是進入高中后感覺非常吃力，跟不上進度。和她交流后我一句話概括，現在的初中數學要求太低，難度太低。 本系列專題講座的習題和例題都來自各年中考題以及重點高中的自招題，難度高于中考的平均程度，差不多是重點高中的自招難度。 系列里面許多解題方法和擴展的知識對進入高中后的數學學習是極其必要的補充。 系列的習題和例題都在不斷豐富和更新中。 頭條上的圖文顯示不太好，的可以加Q好友（8627437），進群下載。 第四講 一元二次方程的解法 一、知識框圖 二、重點難點分析 1. 形如x2==p(p0)或(mx+n)2=p(p0)的方程一般用直接開平方法,將方程轉化為x=或mx+n=,以達到降次的目的。 2.配方法的理論依據是完全平方式,一般地,任何一個一元二次方程都可以轉化成(x+m)2=n的形式,再利用直接開平方法解。 3.公式法解一元二次方程需要先把方程轉化為一般式,確定a,b,c的值,再代入求根公式求解。 4.因式分解法是最常用的一元二次方程的解法,通過因式分解將方程轉化為A·B=0的形式,則有A=0或B=0,從而將方程轉化為一次方程。 難點分析: 1.解一元二次方程的方法有四種,其中公式法和配方法都是從直接開方法推導而來。解題時要選擇適當的方法,一般按照先特殊后一般的順序,根據方程特征選擇,如若方程左邊為完全平方式,右邊為常數,則選擇用直接開平方法;若方程右邊為零,且左邊可以因式分解,則用因式分解法,若方程為一般式可考慮用公式法或配方法。 2.對于含有字母系數的一元二次方程同樣可以有不同的解法,但要分清已知數和未知數。 3.對于含絕對值的方程、高次方程等可以轉化為用一元二次方程求解的方程,解題的關鍵是根據轉化思想利用換元法、分類討論、整體思想等數學思想方法將其轉化為一元二次方程或一元一次方程求解。 三、例題精選 例1按要求解方程； （1）x2-16=0(直接開方法)； （2）x2-4x-12=0(配方法)； （3）3(x-1)+2(x2-1)=0(因式分解法)； （4）2x2-4x-1=0（公式法）； （5）x2+3=2x（任選）； 解答：本例訓練四種基本方法，熟能生巧。 （1）移項，開方，得x=； （2）配方法是整體換元思想的體現，雖然配方的途徑很多，但是解方程的時候，我們希望最后把未知數全部用一個括號括起來，括號外為一個常數。 原方程化為：(x-2)2-22-12=0;移項開方后得，x-2=x1=6,x2=-2; 我特意把減去22這步寫出來，就是防止產出計算錯誤。欲速則不達！ （3）3(x-1)+2(x2-1)=(x-1)(3+2x+2)=(x-1)(2x+5); 因此原方程可以改寫為：(x-1)(2x+5)=0，解得x1=1，x2=-2.5 （4）由題意：a=2，b=-4，c=-1； 因此==1。 易錯點:b的正負號。 （5）最簡單的就是配方法，因為這個題目是個完全平方式。 多練習是必要的，既要腳踏實地，也有抬頭看天。 x1,2= 例2 已知關于x的方程(a2-4a+5)x2+2ax+4=0 （1）當a=2時，解該方程。 （2）試證明，無論a取任意實數，該方程都是一元二次方程。 解答： （1）當a=2時，原方程化為x2+4x+4=0，其解為x1,2=-2； （2）命題等價于方程的二次項系數不等于0.那么可以用解方程的方法，也可以用配方法來證明。 方法一、解方程的思路，只要證明a2-4a+5=0無解即可。 (a-2)2+1=0,因為對于任意實數a，(a-2)2+1，因此方程無解。下一講的判別式法，=b2-4ac=-4，無解。 方法二、配方法直接證明：a2-4a+5=(a-2)2+1，所以二次項系數不可能等于0，命題得證。 兩種方法思想不同，但是解答過程幾乎相同。 方法一的思想，對于含代數式系數的方程，可以分析出什么時候是一元二次方程，什么時候是一元一次方程。 例3、請閱讀下面解方程（x2+1）2-2（x2+1）-3=0的過程． 解：設x2+1=y，則原方程可變形為y2-2y-3=0． 解得y1=3，y2=-1． 當y=3時，x2+1=3，∴x=±． 當y=-1時，x2+1=-1，x2=-2此方程無實數解． ∴原方程的解為x1=，x2=-． 我們將上述解方程的方法叫做換元法． 請用換元法解方程：（）2-2（）-15=0. 解答：新材料的題型。 令y=，則原方程化簡為y2-2y-15=0; 解得y1=-3，y2=5； 當y=-3時，，x=-1.5； 當y=5時，x=1.25； 經檢驗x=-1.5或1.25都是原方程的根。 例4. 閱讀下面例題的解答過程，體會、理解其方法，并借鑒該例題的解法解方程。 例：解方程x2-|x-1|-1=0 解：（1）當x-1≥0即x≥1時，|x-1|=x-1， 原方程化為x2-（x-1）-1=0，即x2-x=0， 解得x1=0，x2=1， ∵x≥1，故x=0舍去，x=1是原方程的解； （2）當x-1<0即x<1時，|x-1|=-（x-1）， 原方程化為x2+（x-1）-1=0，即x2+x-2=0， 解得x1=1，x2=-2， ∵x<1，故x=1舍去，x=-2是原方程的解， 綜上所述，原方程的解為x1=1，x2=-2。 解方程：x2+2|x+2|-4=0。 解答：材料采用的是零點分段法，進行分類討論 當x，原方程化為x2+2x=0，解得x=0或-2； 當x原方程化為x2-2x-8=0，解得x=-2或4，都舍去。 綜上，原方程解為：x=0或-2。 分段討論時，不在分段范圍內的解要舍去。 例5、下面的四個結論，回答問題． ①x2-3x+2=0的兩根為x1=1，x2=2； ②（x-1）（x-2）=0的兩根為x1=1，x2=2； ③（x-1）（x-2）=x2-3x+2； ④二次三項式x2-3x+2可分解為（x-1）（x-2）． 猜測:若關于x的方程x2+px+q=0的兩根為x1=3，x2=-4，則二次三項式x2+px+q可分解為______． 應用:在實數范圍內分解因式： （1）2x2-4x+2 （2）x2-x-1 （3）x2-2x-2 解答：這個題目反映了因式分解和解方程之間的關系： （1）通過因式分解，我們可以把高次方程逐步降次為多個一元一次方程或一元二次方程，然后求解； （2）反過來，我們可以通過解方程的方法求出解a或b，那么x-a或x-b就是原多項式的因式。 （3）解高次方程的過程中，我們就可以通過（2）中試根法，逐步降次，解高次方程。這兩個步驟是相互相成的。 【猜測】x2+px+q=(x-3)(x+4) 【應用】 （1）令2x2-4x+2=0，則x1,2=1；原式=K（x-1）2,令x=2，解得k=2，原式=2（x-1）2；注意這個系數k，下面直接出結果。 x2-x-1=0，則x1=-1,x2=3,因此，原式=（x+1）（x-3） （3）令x2-2x-2=0，則用公式法：x=1，原式=（x-1-）(x-1+). 例6、已知關于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整數根，且關于y的一元二次方程（k-1）y2-3y+m=0（2）有兩個實數根y1和y2 （1）當k為整數時，確定k的值； （2）在（1）的條件下，若m＞-2，用關于m的代數式表示y12+y22 解答： （1）全部整數解的題型相對簡單，可以通過求出解進行分析。這個是慣用思路。 若k=0，則x=-1，滿足條件； 若k通過因式分解法（x+1）(kx+k-1)=0或公式法，可以得x1=-1,x2=-1+1/k； -1+1/k是整數，那么k就只能是； 又因為（2）式是一元二次方程，所以k只能為0或-1. （2）當k=0時； 關于y的方程：y2+3y-m=0,方程的判別式要求大于0，有兩個實根。 y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=(-3)2-2(-m)=9+2m; 此時△=9+4m≥0，即m≥- 所以m＞-2。 當k=-1時，關于y的方程2y2+3y-m=0，方程的判別式大于0，有兩個實根 y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=(-3/2)2-2(-m/2)=; 此時△=9+8m，即m≥-. 四、練一練 1、解方程。 （1）(2x-1)2=9; （2）(x+4)2=5(x+4); （3）6x2-13x+6=0; （4）(x+7)(x+3)+(x-1)(x+5)=11. 2、已知關于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k-4=0的一個根是0，求k的值。 3、已知(x2+y2-5)2=49,求x2+y2。 4、解方程：x2-x-1=(x+1)0。 5、已知實數m，n滿足m-n2=1，求m2+2n2+4m-1的最小值。 6、先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：求代數式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代數式m2+m+4的最小值；（2）求代數式4-x2+2x的最大值；（3）某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上建一個長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成．如圖，設AB=x（m），請問：當x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？  7、如圖，同一段鐵絲分成相等的四段可圍成正方形，若分成相等的五段，則可圍成正五邊形，其中正方形的邊長為（a2_ab+b2）m．正五邊形的邊長為（2b-5）m，則這段鐵絲的總長是 m． 8、解方程x2-2|x+4|-27=0. 9、若二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個整數根，求自然數a。 10、已知關于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0至少有一個整數根，求正整數a的值。 11、已知關于x的方程(4-k)(8-k)x2-(80-12k)x+32=0的解都是整數，求k。 |
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