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歐拉起初的驚人之舉是給出了平方數(shù)的倒數(shù)和等于π^2/6，與歐拉同時(shí)代的數(shù)學(xué)家都沒能解決這個(gè)問題，所以歐拉在1734年給出這一結(jié)論時(shí)，曾引起轟動。因整個(gè)數(shù)列中沒有圓的蹤跡，結(jié)果卻出現(xiàn)了π，也很讓這個(gè)結(jié)果吸引眼球。  現(xiàn)在就來探討這個(gè)級數(shù)鮮為人知的數(shù)學(xué)魅力。 首先在不知情的情況下探討這個(gè)無窮級數(shù)是否會收斂呢？ 變形：將每個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)乘積形式然后向后移一項(xiàng)，如下藍(lán)色部分  發(fā)現(xiàn)：綠色部分是一樣的，藍(lán)色部分上面比下面的小  綜合得出：紅色部分的級數(shù)要比歐拉級數(shù)的和要大  聰明的你會看出：兩個(gè)數(shù)乘積等于兩個(gè)數(shù)之差   整理：  得到：  所以最終得到無窮級數(shù)的和：  所以歐拉級數(shù)是收斂的：  熱身結(jié)束了，我們怎么來證明歐拉級數(shù)準(zhǔn)確數(shù)值呢 首先sinX=0是個(gè)三角函數(shù)方程，那么X解肯定有無窮多個(gè)，可以寫成：  學(xué)過導(dǎo)數(shù)的話，對sinX求一次導(dǎo)數(shù)，二次導(dǎo)數(shù)： 在X=0時(shí)得到b的值： 以此類推不斷求導(dǎo)，我們就計(jì)算出了sinx方程的所有系數(shù)得到： 所有的函數(shù)都可以這樣來構(gòu)造成級數(shù)的形式，一次方程，二次曲線方程都可以。 歐拉從另外一種思路構(gòu)建sinX的多項(xiàng)式： sinX方程的根是： -π到π之間含有sinX=0 方程的三個(gè)解: 0,π-π,其次用曲線來逼近正弦函數(shù)，所以多了一個(gè)系數(shù)c，最終形式為： 只要逼近曲線在sin函數(shù)所在的0點(diǎn)斜率相同，就能完全吻合：觀察不難得到C值： 整理得到 以此類推得到以根的形式表示sinX的多項(xiàng)式 那么sinX有兩種表達(dá)式的形式，而且是相等的 我們將根的多項(xiàng)式一項(xiàng)一項(xiàng)乘下去發(fā)現(xiàn)： 得到： 這就是歐拉級數(shù)的原理 比較X^5的系數(shù)你就會得到： 繼續(xù)觀察就會得到著名的沃利斯級數(shù)： 沃利斯級數(shù)中：分子是全體偶數(shù)平方的乘積，分母是全體奇數(shù)平方的乘積，所以非常神奇。 這都是歐拉級數(shù)原理中所展現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)魅力。 |
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