攻克壓軸題，突破140分：導(dǎo)數(shù)新型壓軸題——隱零點、雙最值難題

近幾年高考壓軸題向著更深層次方方向命題，從單一題型向復(fù)合題型轉(zhuǎn)換。從考題來看，隱零點導(dǎo)致的函數(shù)極值不確定，再求不定極值值域問題的復(fù)合壓軸題倍受命題者青睞，下面將這一新型導(dǎo)數(shù)壓軸題——隱零點、雙最值難題的破題思路講解如下。

經(jīng)典例題：

已知函數(shù)f(x)=ax^2-ax-xln x,且f(x)≥0.

(1)求a;

(2)證明： f(x)存在唯一的極大值點x0,且e^(-2)<f(x0)<2^(-2).

考點分析：

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求極值點、最值點，零點存在性定理，意在考查考生的運算求解能力、推理論證能力、函數(shù)與方程思想及分類討論思想.

解析：

(1)f(x)的定義域為(0,+∞).

設(shè)g(x)=ax-a-ln x,

(觀察已知函數(shù)，多項式有共同的因式x,且x>0,又f(x)≥0,所以提取公因式x,即f(x)=x(ax-a-ln x),則ax-a-ln x≥0,運用構(gòu)造函數(shù)法轉(zhuǎn)化求解)

則f(x)=xg(x),f(x)≥0等價于g(x)≥0.

因為g(1)=0,g(x)≥0,故g'(1)=0,

而g'(x)=a-,g'(1)=a-1,得a=1.

若a=1,則g'(x)=1-1/x.當0<x<1時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當x>1時，g'(x)>0,

g(x)單調(diào)遞增.所以x=1是g(x)的極小值點，故g(x)≥g(1)=0. 綜上，a=1.

(2)由(1)知f(x)=x^2-x-xln x,f '(x)=2x-2-ln x.

設(shè)h(x)=2x-2-ln x,則h'(x)=2-1/x.

當x∈(0,1/2)時，h'(x)<0;當x∈(1/2,+∞)時，h'(x)>0.所以h(x)在區(qū)間(0,1/2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1/2,+∞)上單調(diào)遞增.

又h(e^(-2))>0,h(1/2)<0,h(1)=0,所以h(x)在區(qū)間(0,1/2)有唯一零點x0, (由零點存在性定理和函數(shù)單調(diào)性得出唯一零點)

在[1/2,+∞)有唯一零點x=1,且當x∈(0,x0)時，h(x)>0;當x∈(x0,1)時，h(x)<0;當x∈(1,+∞)時，h(x)>0.

因為f '(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一極大值點.

由f '(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).

由x0∈(0,1/2)得f(x0)<1/4.

由e^(-1)∈(0,1),f '(e^(-1))≠0得f(x0)>f(e^(-1))=e^(-2).

因為x=x0是f(x)在區(qū)間(0,1)上的最大值點，

e^(-1)∈(0,1),f '(e^(-1))≠0得f(x0)>f(e^(-1))=e^(-2).

因為x=x0是f(x)在區(qū)間(0,1)上的最大值點，

?總結(jié)：證明不等式的答題模板——第一步：根據(jù)不等式合理構(gòu)造函數(shù)；第二步：求函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)最值證明不等式.