| 什么是微積分？它是一種數學思想，‘無限細分’就是微分，‘無限求和’就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，它是用一種運動的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念如果將整個數學比作一棵大樹，那么初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17世紀開始，隨著社會的進步和生產力的發展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數學也開始研究變化著的量，數學進入了“變量數學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。整個17世紀有數十位科學家為微積分的創立做了開創性的研究，但使微積分成為數學的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。從微積分成為一門學科來說，是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經產生了。公元前3世紀，古希臘的數學家、力學家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎極限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學》一書中，就把曲線看成邊數無限增大的直線形。圓的面積就是無窮多個三角形面積之和，這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數學家卡瓦列利在1635年出版的《連續不可分幾何》，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備。17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展，不但已有的數學成果得到進一步鞏固、充實和擴大，而且由于實踐的需要，開始研究運動著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關系。到了17世紀下半葉，在前人創造性研究的基礎上，英國大數學家、物理學家艾薩克·牛頓（1642－1727）是從物理學的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創立了一種和物理概念直接聯系的數學理論，即牛頓稱之為“流數術”的理論，這實際上就是微積分理論。牛頓的有關“流數術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮極數》。這些概念是力學概念的數學反映。牛頓認為任何運動存在于空間，依賴于時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形——線、角、體，都看作力學位移的結果。因而，一切變量都是流量。牛頓指出，“流數術”基本上包括三類問題。（l）“已知流量之間的關系，求它們的流數的關系”，這相當于微分學。（2）已知表示流數之間的關系的方程，求相應的流量間的關系。這相當于積分學，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數，還包括解微分方程。（3）“流數術”應用范圍包括計算曲線的極大值、極小值、求曲線的切線和曲率，求曲線長度及計算曲邊形面積等。牛頓已完全清楚上述（l）與（2）兩類問題中運算是互逆的運算，于是建立起微分學和積分學之間的聯系。牛頓在1665年5月20目的一份手稿中提到“流數術”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標志。萊布尼茨使微積分更加簡潔和準確而德國數學家萊布尼茨（G．W．Leibniz1646－1716）則是從幾何方面獨立發現了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數十位數學家研究過，他們為微積分的誕生作了開創性貢獻。但是池們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統一性。萊布尼茨創立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則的。牛頓在微積分的應用上地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高一籌，但萊布尼茨的表達形式采用數學符號卻又遠遠優于牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質，強有力地促進了高等數學的發展。萊布尼茨創造的微積分符號，正像印度——阿拉伯數碼促進了算術與代數發展一樣，促進了微積分學的發展，萊布尼茨是數學史上最杰出的符號創造者之一。牛頓當時采用的微分和積分符號現在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。 |
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