一元二次方程在求值中的代換功能

與一元二次方程有關的代數式求值問題歷來是各地中考和數學競賽命題的熱點，求解的關鍵是要善于根據題目的特征，靈活地利用一元二次方程的變形進行代換．本文就常見的幾種代換功能介紹如下．

一、零值代換功能

即直接用一元二次方程ax^²+bx+c=0的右邊零代換左邊的二次三項式．

例1　當x=(1+√2009)/2時，多項式

x^³-2x^²-503x+1517的值等于 ．

分析與解：直接把x的值代入計算顯然很繁.由x的值可知：

2x-1=√2009，

兩邊平方，得4x^²-4x+1=2009，

整理，得x^²-x-502=0，

故x^³-2x^²-503x+1517

=(x^³-x^²-502x)+(x^²-x-502)+2019

=x(x^²-x-502)+(x^²-x-502)+2019

=x·0+0+2019=2019.

點評：本題巧在將已知的值轉化為一元二次方程

x^²-x-502=0，

再用“零值”0去替換代數式

x^²-x-502.

這里也可以采用帶余除法，直接將

x^³-2x^²-503x+1517

化為(x+1)(x^²-x-502)+2019，

再用0代換x^²-x-502。

二、常數代換功能

即把方程變形為ax^²+bx=-c，再用右邊的常數c代換左邊的未知項ax^²+bx．

例2已知a是方程x^²+3x-2=0的根，

則a^⁴+3a^³-a^²+3a的值等于 ．

分析與解：由根的定義，得a^²+3a-2=0，

所以a^²+3a=2，

所以，a^⁴+3a^³-a^²+3a

=a^²(a^²+3a)-a^²+3a

=2a^²-a^²+3a

=a^²+3a =2.

點評：本題巧在構造出a^²+3a =2后，多次地用2去替換a^²+3a.

三、降次代換功能

即把一元二次方程ax^²+bx+c=0變形為ax^²=-(bx+c)，然后用右邊的一次式代換左邊的二次式．

例3　設x₁，x₂是方程x^²+x-3=0的兩個實數根，

那么x₁^³-4x₂^²+20的值是 ．

分析與解：求值式關于兩根x₁，x₂不對稱，難于運用根和系數的關系進行代換求解，因此，運用一元二次方程的降次功能分別將x₁，x₂的次數都降至一次.

由根的定義，得

x₁^²+x₁-3=0，x₂^²+x₂-3=0，

所以，x₁^²=3-x₁，x₂^²=3-x₂，

所以x₁^³-4x₂^²+20

= x₁x₁^²-4(3-x₂)+20

=x₁(3-x₁)-12+4x₂+20

=3x₁-x₁^²+4x₂+8

=3x₁-(3-x₁)+4x₂+8

=3x₁-3+x₁+4x₂+8

=4(x₁+x₂)+5，

又x₁+x₂=-1，

所以4(x₁+x₂)=-4，

故x₁^³-4x₂^²+20

=-4+5=1.

點評：本題利用的是一元二次方程的降次功能，通過降次將非對稱的兩根代數式變為對稱，為根和系數關系的運用創造了條件.

四、升冪代換功能

即把方程變形為c+bx=ax^²，再用右邊的高次項代換左邊的低次項．

例4已知x=(√5+1)/2，則(x^³+x+1)/x^⁴的值等于 ．

分析：先將已知變形，構造一元二次方程，再考慮對策.

由已知得2x-1=√5，兩邊平方，得

x^²-x-1=0，從而x+1=x^²，

故(x^³+x+1)/x^⁴

=(x^³+x^²)/x^⁴

=x^²(x+1)/x^⁴

=x^²·x^²/x^⁴

=1.

點評：本題巧在運用一元二次方程的升冪功能將求值式的分子逐步升冪，與分母約分、化簡，避開了直接代入計算的繁雜性.

五、倒數代換功能

即當a=c時，把方程變形為x+1/x=m，再用右邊的m代換左邊的x+1/x．

例5　設x/(x^²-√2x+1) =1，則

x^²/(x^⁴-2√2x^²+1)的值是＿＿＿＿．

分析：已知化為x^²-(√2+1)x+1=0，

因為x≠0，兩邊除以x，得

x+1/x=√2+1，

將求值式的分子、分母同時除以x^²，得

x^²/(x^⁴-2√2x^²+1)

=1/(x^²-2√2+1/x^²)

=1/[(x+1/x)^²-2-2√2]

=1/[(√2+1)^²-2-2√2]

=1/(3+2√2-2-2√2)

=1．

六、系數代換功能

利用韋達定理，用方程的系數去代換兩根和與兩根積．

例6設實數a、b分別滿足a^²=4a+3，b^²=4b+3，

則a/b+b/a的值為- ．

分析與解：當a、b不相等時，由根的定義，知a、b是方程

x^²=4x+3(即x^²-4x-3=0)的兩根，

故由根和系數的關系，得a+b=4，ab=-3，

從而a/b+b/a

=(a^²+b^²)/(ab)

=[(a+b)^²-2ab]/(ab)

=(16+6)/(-3)

=-22/3；

當a=b時，a/b+b/a=1+1=2.

故，a/b+b/a的值為-22/3或2.

點評：如果兩個實數同時滿足某個一元二次方程，雖然這兩個實數都是該方程的根，但不一定恰好是它的“兩根”.