貝塞爾曲線的繪制方法

         兩年前調試全向輪底盤的時候，曾經用到過貝塞爾曲線做路徑規劃。今天同學突然問起這個東西，回查了一下當時的代碼，覺得有必要寫個博客備忘一下。

         在數學的數值分析領域中，貝塞爾曲線是計算機圖形學中相當重要的參數曲線。更高維度的廣泛化貝濟埃曲線就稱作貝濟埃曲面，其中貝濟埃三角是一種特殊的實例。

         貝塞爾曲線于1962年，由法國工程師皮埃爾·貝濟埃（Pierre Bézier）所廣泛發表，他運用貝塞爾曲線來為汽車的主體進行設計。貝塞爾曲線最初由Paul de Casteljau于1959年運用de Casteljau算法開發，以穩定數值的方法求出貝塞爾曲線。

        接下來簡單介紹貝塞爾曲線的繪制方法。如下圖，假設給定了控制點P0，P1，P2。這里我們需要做輔助點Q0和Q1，使得：

P0Q0：P0P1=P1Q1：P1P2=t，這里0≤t≤1。現在，我們可以簡單理解為三個控制點P0，P1，P2  “降維”  成了兩個控制點Q0，Q1。按照同樣的方法，再取輔助點B使得Q0B：Q0Q1=t，這里的 t 和上次 "降維"時的 t 是相等的。現在，我們已經降維成了只有一個點，那么這個點B就是該貝塞爾曲線中的一點。

        推廣一下，我們考慮多個控制點的情景。對于4、5、6。。。n個控制點，首先選定一個比例 t ，以此按比例降維直到只有一個點，這個點就是比例 t 時貝塞爾曲線上的點。當把 t 從0到1按照一定比例依次選取時，就能繪制出一個貝塞爾曲線。

          六個控制點的情形：

根據之前的描述，繪制貝塞爾曲線的過程可以用如下公式表述：

式中，j是降了多少次維，i是第i個控制點。由于每降維一次，控制點就減少一個，所以i的取值范圍是（0，n-j）。

C#程序如下：

        //==========================根據t獲取貝塞爾曲線上一個點===========================
        const int ControlPointNum = 10 ; //控制點數目
        Point[] ControlPoint = new Point[ControlPointNum]; //控制點
        Point[] WorkPoint = new Point[ControlPointNum];  //一塊用于存放臨時數據的空間
        /// <summary>
        /// 獲取本輪計算終點坐標
        /// </summary>
        /// <param name="t">貝塞爾曲線生成過程中的百分比</param>
        /// <param name="n">本層迭代控制點數目</param>
        /// <returns></returns>
        Point GetFinalPoint(double t, int n)
        {
            if (n == 1)
            {
                return WorkPoint[0];
            }
            else
            {
                //計算下一階的貝塞爾控制點
                for (int i = 0; i < n - 1; i++)
                {
                    WorkPoint[i].X = (int)(WorkPoint[i].X * (1 - t) + WorkPoint[i + 1].X * t);
                    WorkPoint[i].Y = (int)(WorkPoint[i].Y * (1 - t) + WorkPoint[i + 1].Y * t);
                }
                //進入下一層
                return GetFinalPoint(t, n - 1);
            }
        }
 //==========================根據t繪制曲線======================================
            for(int i=0;i<256;i++)
            {
                for (int j = 0; j < ControlPointNum; j++)//賦值控制點坐標至臨時工作空間
                {
                    WorkPoint[j] = ControlPoint[j];
                }
                double t = (double)i/255.0;
                Point FinalPoint = GetFinalPoint(t,ControlPointNum);
                DrawPoint(FinalPoint);                  //調用繪圖函數
            }

效果：