初二數學期末總復習3：正方形的判定方法總結大全，題目較難

正方形是特殊的平行四邊形，它既屬于矩形又屬于菱形，所以它具備矩形和菱形所有的性質，這因為如此，在證明正方形時方法靈活多樣，題目變化多端。

一、基本知識

判定一個圖形是正方形有兩種基本思路：

1、先證明圖形是一個矩形在證明圖形是一個菱形

2、先證明圖形是一個菱形再證明圖形是一個矩形。

注意：要證明圖形是正方形，就需要同學們把矩形、菱形以及平行四邊形的性質、判定掌握的非常熟練才能順利解決正方形的證明問題。

二、實戰演練

（一）先證明圖形是矩形再證明圖形是菱形

【分析】（1）根據平行線的性質得到∠AFE＝∠BDE，根據全等三角形的性質得到AF＝BD，可證明四邊形為平行四邊形。

（2）首先證明四邊形ACDF是矩形，再證明CA＝CD，由先證明矩形在證明菱形的方法證明圖形是正方形。

【反思與小結】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定，矩形的判定和性質，正方形的判定，三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．

【分析】首先用三個角是直角的四邊形為矩形來證明四邊形ABFE是矩形，再證明AB＝AE，用先證明矩形在證明菱形的辦法證明為正方形。

【反思與小結】本題考查正方形的判定、矩形的判定和性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

（二）先證明圖形是菱形再證明圖形是矩形

【分析】（1）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．由題意易得△AOE≌△COE，進而利用全等三角形的性質和菱形的判定證明即可；

（2）根據有一個角是90°的菱形是正方形．由題意易得∠ADO＝∠DAE+∠DEA＝15°+30°＝45°，進而根據菱形和正方形的判定證明即可．

【反思與小結】此題主要考查菱形和正方形的判定，要靈活應用判定定理及等腰三角形的性質、外角的性質定理．在證明角的問題的時候，利用外交解決問題有時候帶來很大的方便。

【分析】（1）根據全等三角形的判定得出△ADE≌△ABE，根據全等三角形的性質得出∠AED＝∠AEB，∠DAC＝∠BAC，根據全等三角形的判定得出△ADC≌△ABC，根據全等三角形的性質得出DC＝BC，即可求出AB＝BC＝CD＝AD，根據菱形的判定得出即可；

（2）根據勾股定理的逆定理求出∠DEC＝90°，求出∠DCE＝∠EDC＝45°，求出∠DCB＝90°，根據正方形的判定得出即可

?【反思與小結】本題考查了正方形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質和判定，勾股定理的逆定理等知識點，先證明圖形是一個菱形再證明圖形為矩形，進而證明結論。

（三）有關正方形的開放性問題

【分析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，再根據全等三角形的性質和等量關系即可求解；

（2）由（1）知AF平行等于BD，易證四邊形AFBD是平行四邊形，而AB＝AC，AD是中線，利用等腰三角形三線合一定理，可證AD⊥BC，即∠ADB＝90°，于是得到結論．

【反思與小結】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，是基礎題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關鍵．

【分析】（1）根據全等三角形的角邊角定理判定解答即可；（2）由全等三角形的性質和菱形的判定以及面積解答即可；（3）根據正方形的判定和性質去思考問題，得到所需的條件。

?【反思與小結】：在解決第3小問時，應從要滿足的結論入手，即從四邊形是正方形入手考慮，這是本題的關鍵所在。這種思路既考察正方形的性質又考察正方形的判定方法。

【分析】（Ⅰ）連接CD，利用同角的余角相等，得到∠DCA＝∠CDE，利用平行四邊形的判定和性質得結論；

（Ⅱ）（i）先證明四邊形BECD是平行四邊形，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半說明鄰邊相等，證明該四邊形是菱形；

（ii）由菱形、正方形、平行四邊形的性質可得結論．

【反思與小結】本題考查了平行四邊形、菱形、正方形的性質和判定及直角三角形的性質．學會推理和分析是解決本題的關鍵．這個問題的思考方式與例6 極為相似。

三、積累小結

正方形的判定方法雖然只是兩種，但是是矩形的判定和菱形判定方法中的組合，這就是的組合方式多種多樣，非常具有靈活性。所以，要想學好正方形，矩形、菱形、平行四邊形的性質和判定是基礎，只有把基礎掌握牢固了，才能靈活的解決正方形的問題。

另外，條件開放性問題是幾何中常考題型，它將圖形的性質與判定結合在一起考察學生的分析能力和解決問題的能力，這類問題也是中考的熱門題型。