空間向量在立體幾何中的應用(理)

利用空間向量處理空間平行關系

空間線線、線面、面面平行關系問題是高考考查的重點內容，考查形式靈活多樣，常與探索性問題、垂直問題、空間角問題結合，可以是小題，也可以是解答題．題目的難度一般不大，是高考中的得分點之一．

【點評】用共面向量定理，證明直線的方向向量能用平面內兩條相交直線的方向向量表示出來，即這三個向量共面，根據共面向量概念和直線在平面外，可得線面平行．

【點評】對于容易建立坐標系的線面平行問題的向量解法，求出平面的法向量，然后證明法向量與直線的方向向量垂直即可．對于探究性問題，通常先假設結論成立，設出相關點的坐標，利用相關知識，列出關于坐標的方程，若方程有解，則存在，否則不存在．設點的坐標時，利用點在某線段上，設出點分線段所成的比，用比表示坐標可以減少未知量，簡化計算．同時要注意點的坐標的范圍．

【點評】面面平行問題的向量解法有兩種思路：(1)利用向量證明一個面內兩條相交直線分別與另一個平面平行，根據面面判定定理即得；(2)求出兩個平面的法向量，證明這兩個法向量平行，則這兩個面就平行．

利用空間向量證明空間垂直問題

利用空間向量證明空間線線、線面、面面垂直問題是高考考查的重點內容，考查形式靈活多樣，常與探索性問題、平行問題、空間角問題結合，考查形式可以是小題，也可以是解答題的一部分，或解答題的某個環節，難度不大，是高考中的重要得分點．

【點評】對坐標系易建立的空間線線垂直判定(證明)問題，常用向量法，即通過證明所證直線的方向向量的數量積為0來證明兩直線垂直．

【點評】本題用幾何法證明非常的復雜，并且很難尋找思路，而空間直角坐標系比較容易建立，故空間線面垂直問題可用向量法，先求出平面的法向量和直線的方向向量，證明平面法向量與直線的方向向量平行或者直接用向量法證明直線與平面內兩條相交直線垂直，再用線面垂直判定定理即可．

【點評】對于易建立空間坐標系的面面垂直問題，常用向量法，先建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，通過證明這兩個平面的法向量垂直，證明面面垂直．

利用空間向量處理異面直線夾角、

線面角、二面角等空間角問題

異面直線夾角、線面角、二面角等空間角問題是高考考查的熱點和難點，常與探究性問題、平行問題、垂直等問題結合，重點考查綜合利用空間向量、空間平行與垂直的有關定理、空間角的相關概念解決空間角問題的能力，是立體幾何中的難點，難度中檔．

【點評】線面角的正弦值等于線的方向向量和平面法向量所成角的余弦值的絕對值．這一點上經常有同學出錯，只有搞清原理，才能避免出錯．

距離問題

【點評】利用向量求點到平面的距離中，最重要的是能表示此點與平面一點組成的向量及其平面的法向量．

總結

以上介紹了用空間向量處理立體幾何問題的常見類型及常用方法，空間向量能有效解決空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系和夾角問題，在一定程度上把需要有良好空間想象能力的幾何問題轉化為“計算題”．同學們還需做一定數量的題目，總結規律，提煉方法，掌握使用技巧．只要掌握了空間的運算法則和解題規律，就能在立體幾何中取得好成績．

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