初中的將軍飲馬，單垂，雙垂輔助線(xiàn)模型什么鬼？就長(zhǎng)這個(gè)鬼樣子

hello，大家好。咱們又見(jiàn)面了，我就是傳播知識(shí)傳播愛(ài)的吳老師。

初中幾何圖形中的輔助線(xiàn)做法可以說(shuō)是中考中的重點(diǎn)，難點(diǎn)和熱點(diǎn)，往往如何添加合適的輔助線(xiàn)孩子們經(jīng)常是一頭霧水，其實(shí)還是本質(zhì)上對(duì)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型不夠熟悉，只有真正的吃透輔助線(xiàn)的做法和一些基本的幾何模型，解題的時(shí)候才能有文思泉涌，如有神助。

初中的幾何變換強(qiáng)調(diào)的是以動(dòng)態(tài)思想去處理靜態(tài)幾何問(wèn)題，初中數(shù)學(xué)幾何變換主要有三大類(lèi)：平移，翻折和旋轉(zhuǎn)。而往往輔助線(xiàn)的添加是建立在這三大類(lèi)幾何變換上，比如我們這次會(huì)講到的將軍飲馬模型，角平分線(xiàn)模型等等。

一：將軍飲（yìn）馬模型（“飲”讀第四聲，讓馬喝水的意思）

歷史典故：據(jù)說(shuō)，在古希臘有一位聰明過(guò)人的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍向他請(qǐng)教了一個(gè)問(wèn)題：從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后再B地，走什么樣的路線(xiàn)最短？如何確定飲馬的地點(diǎn)？提起路線(xiàn)最短的問(wèn)題，大家知道：連結(jié)兩點(diǎn)之間所有線(xiàn)中，最短的是線(xiàn)段。這個(gè)題中馬走的是一條折線(xiàn)。這又該怎么辦呢？

解決辦法：那聰明的海倫是這樣解決的

首先他任意選取A,B兩個(gè)定點(diǎn)中的一個(gè)，假設(shè)選取的為B點(diǎn)。

然后過(guò)B點(diǎn)作動(dòng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'。

最后連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'和A點(diǎn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)。

解決思路：同側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解決問(wèn)題。

推導(dǎo)過(guò)程：通過(guò)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，就相當(dāng)于把之前的折現(xiàn)給它拽直了，轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)問(wèn)題。由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)我們知道，PB=PB'。

∴PA+PB=PA+PB'>=AB',當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等。

例題：大家可以動(dòng)手做一做

以上就是將軍飲馬模型的基本圖形，而關(guān)于將軍飲馬模型的變形圖形實(shí)在是太多了，接下來(lái)我們拓展一種比較常見(jiàn)的變形圖形：

問(wèn)題背景：假設(shè)我現(xiàn)在比較任性，從A點(diǎn)騎著馬兒，先去OM這條河上的c點(diǎn)，讓馬兒喝口水，然后在騎著馬去ON這塊草坪上D點(diǎn)讓馬吃過(guò)口草，最后再回到B點(diǎn)，問(wèn)怎樣走能夠使得路徑最短？

解決思路：分別過(guò)定點(diǎn)A,B做兩條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',B'，然后連接兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，與直線(xiàn)OM和ON的交點(diǎn)C,D就是所求點(diǎn)。

所以我們可以總結(jié)將軍飲馬類(lèi)題型的輔助線(xiàn)做法特點(diǎn)：

做定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)就做幾次對(duì)稱(chēng)。

二：角平分線(xiàn)的輔助線(xiàn)做法

模型一：雙垂模型

輔助線(xiàn)思路：當(dāng)題干中角平分線(xiàn)上有一點(diǎn)向一邊作垂線(xiàn)，可以選擇再做一條垂線(xiàn)，構(gòu)造雙錘模型。

例題賞析：如圖所示，在△ABC中，PB、PC分別是∠ABC的外角的平分線(xiàn)，求證：∠1=∠2

模型2：截取等長(zhǎng)造全等

輔助線(xiàn)思路：在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形。

例題賞析：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．?求證：AB=AC+CD．

模型三：?jiǎn)未鼓Ｐ?/strong>

輔助線(xiàn)思路：當(dāng)角平分線(xiàn)上有垂線(xiàn)，并且垂足在角平分線(xiàn)上，一般延長(zhǎng)垂線(xiàn)構(gòu)造單垂模型。

例題賞析：?如圖4，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，AD⊥BD，垂足為D，求證：∠BAD=∠DAC+∠C.

模型四：角平分線(xiàn)+平行線(xiàn)→等腰三角形

輔助線(xiàn)思路：過(guò)∠AOB平分線(xiàn)OC上的一點(diǎn)P，作PE∥OB，交OA于點(diǎn)E，則EO=EP.

在整個(gè)初中階段，幾何類(lèi)綜合題目當(dāng)題干中給出角平分線(xiàn)的時(shí)候，如果需要添加輔助線(xiàn)，基本上99%都是上面總結(jié)的4種輔助線(xiàn)添加，根據(jù)題目條件靈活選用即可。

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