布洛赫波和布里淵區(qū)

1928年，當愛因斯坦、波爾等人，正在為如何詮釋量子力學而爭論不休的時候，量子理論創(chuàng)始人之一維爾納·海森堡的學生，另一個姓'布’的青年人，卻另辟蹊徑，獨自遨游在固體的晶格中。

他就是瑞士物理學家、1952年諾貝爾物理獎得主費利克斯·布洛赫（FelixBloch，1905年－1983年）。那年他23歲，企圖用量子力學，來解釋電子是如何“偷偷地潛行”于金屬中的所有離子之間的。電子在晶體中的運動，可以看成是自由電子在原子周期勢場中的運動。既然勢場是一個周期函數(shù)，布洛赫很自然地想到使用處理周期函數(shù)最強大的工具：傅立葉分析。布洛赫將此方法用于薛定諤方程，再進行一些近似和簡化之后，高興地發(fā)現(xiàn)自己得到了一個很好的結果，他把它用來解釋金屬的能帶，并寫進了他的博士論文“論晶格中的量子力學”中^【5】。

電子在晶格中的運動本是一個多體問題，非常復雜，但布洛赫作了一些近似和簡化后，得出的結論直觀而簡明。他研究了最簡單的一維晶格的情形，然后再推廣到三維。

首先，如果不考慮晶格原子對電子的庫侖作用的話，電子的表現(xiàn)應該如同真空中的自由電子，薛定諤方程有平面波解，電子能量的本征值與波矢k的平方成正比，如圖8a所示。

圖8

然后，再將晶格原子的作用作為一種平均的周期勢場的微擾引入到薛定諤方程中，這時得到的解只是在原來平面波的基礎上，在振幅部分加上了一個與晶格周期相同的調制。也就是說，在周期勢場中，薛定諤方程的解是一個平面波e^ikr和一個周期函數(shù)u(r)的乘積：

 y(r) = u(r)e^ikr             （7.2）

公式（7.2）中，平面波部分體現(xiàn)了電子的公有化，即電子'自由’的程度；周期函數(shù)則表現(xiàn)了固體中晶格上的離子對電子運動的影響，即電子'被束縛’的程度。固體物理中將這種波動形式稱為布洛赫波，因為它于1928年由布洛赫導出。然而實際上，這種解答形式及其數(shù)學基礎早在布洛赫波導出的四十多年之前就已經(jīng)被法國數(shù)學家加斯東·弗洛凱（GastonFloquet，1847年-1920年）研究過，因此，這在常微分方程中被人們稱為弗洛凱理論。

晶體中的周期勢場不是時間的函數(shù)，所以，公式（7.2）是不含時間的定態(tài)薛定諤方程的解。求解定態(tài)薛定諤方程，實質上是求解能量本征值的問題，波函數(shù)則是與這些能量本征值相對應的本征函數(shù)。

對固體中的電子，因為周期函數(shù)u(r)具有與晶格相同的周期d，當r平移d的時候，波函數(shù)將只是相差一個相位因子。波函數(shù)的平方則表示共有電子在晶格中出現(xiàn)的概率，這個概率是平移不變的。而與波函數(shù)相對應的能量本征值，則在波矢空間中具有平移不變性。

圖8a所示的自由電子能量波矢曲線，是在勢場為0的情形下得到的拋物線。當然，零勢場同樣也可看作是周期勢場，為了使自由電子的能量本征值也符合平移不變性的要求，可將圖8a中的拋物線，沿著最小的倒格子原胞邊界（圖中的p/d和-p/d軸）反復折疊，最后得到圖8b所示的曲線。

雖然一眼看去，圖8b比圖8a要復雜多了，但仔細研究，則不難發(fā)現(xiàn)圖b中曲線的平移對稱性。也就是說，圖b中的曲線是沿橫坐標軸重復的。因而，我們不需要整個曲線，就只需要留下它的不重復部分就足夠了！這就有了圖8c，它是簡約后的圖8b。

對照一下圖8a，其中的橫坐標k可以取從負無窮到正無窮的任何數(shù)值，而在圖8c中，k值可取的范圍只從-p/d到p/d。變量取值范圍從無限變成有限付出了代價，這時的能量變成了波矢的多值函數(shù)，這個多值函數(shù)包含了圖8a中那條拋物線的所有信息。

剛才的敘述中我們還說過，簡約圖中k值可取的范圍是叫做'最小的倒格子原胞’。這個最小原胞，常常被稱為'第一布里淵區(qū)’^【6】，是為了紀念我們這兒要介紹的最后一位'布’先生-布里淵。

法國物理學家萊昂.布里淵（Léon Brillouin，1889–1969），不僅定義了倒易空間中的布里淵區(qū)，對量子力學和固體物理的其它方面、以及信息論，都有所貢獻。他早期在法國做物理研究，四十年代來到美國，曾經(jīng)任職于哥倫比亞大學、IBM等，1969年在紐約去世。

圖9 布里淵區(qū)

如上所述，在數(shù)學和固體物理學中，第一布里淵區(qū)（Brillouin zone）是動量空間中晶體倒易點陣的原胞。一維的第一布里淵區(qū)很簡單，只是一段k值可取的范圍（-p/d到p/d）。即使擴大到第二布里淵區(qū)，也只不過是將取值范圍分別向兩邊擴展而得到兩個新的線段：（-2p/d, -p/d）和（p/d, 2p/d）；第三布里淵區(qū)也是用類似的擴展而得到。如果是2維或3維的情況，就要復雜多了，從圖9中的兩個例子可以看出這點。圖9a中，中間的白色方塊是二維正方晶格的第一布里淵區(qū)，其余的顏色從中間向外擴展，分別對應著第二、三、四布里淵區(qū)。圖9b則只是畫出了面心立方晶體的第一布里淵區(qū)。通常用到的也只有第一布里淵區(qū)。

第一布里淵區(qū)的重要性在于：晶體中的布洛赫波能具有的所有能量值，可以在這個區(qū)域中完全確定。圖8中的1維自由電子的能帶圖，從圖8b，簡約后得到圖8c，便是基于這個道理。

再回頭看圖8中的（d）和（e），它們顯示的是周期勢場不為0的情況。因為離子周期勢場的影響，原來圖8a中的拋物線形狀遭到了破壞，如圖8d所示。這個'破壞’主要是發(fā)生在布里淵區(qū)的邊界上，也就是那些滿足布拉格衍射方程的那些k值。為什么發(fā)生這種情形呢？因為在遠離這些邊界值處，電子仍然可以近似地視為自由電子，符合平方（拋物線）規(guī)律，而在這些k值附近，周期勢場傅立葉展開后的分量值比較大，勢場值對電子運動的束縛作用加強，在布里淵區(qū)邊界處破壞了原來曲線的連續(xù)性。也正是這種'破壞’，使得簡并的能級發(fā)生分離，從而產(chǎn)生了禁帶。從物理角度來解說，則是因為晶格對這些波矢量的平面波強烈反射，反射波與原來的波疊加相干，從而形成駐波，不再具有原來那種攜帶能量到處傳播的平面波形態(tài)。換言之，共有電子原來可以具有的某些能量值不復存在，這些能量值的范圍形成了禁帶。圖8d和圖8e中的橙色區(qū)域便是禁帶。圖8e中，類似于圖8c中自由電子的情形，我們只顯示了在第一布里淵區(qū)的簡約能帶圖。