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一：集合的含義與表示 1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。
把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。 2、集合的中元素的三個特性： (1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。 (2)元素的互異性：一個給定集合中的元素是的，不可重復的。 (3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合 3、集合的表示：{…} (1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列舉法與描述法。 a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……} b、描述法： ①區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} ②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。 4、集合的分類： (1)有限集：含有有限個元素的集合 (2)無限集：含有無限個元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素與集合的關系： (1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A (2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A 注意： 常用數集及其記法： 非負整數集(即自然數集)記作：N 正整數集N*或N 整數集Z 有理數集Q 實數集R 6、集合間的基本關系 (1).“包含”關系(1)—子集 定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。 二、函數的概念 1、函數的定義：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A---B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A. (1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域; (2)與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域. 2、函數的三要素：定義域、值域、對應法則 3、函數的表示方法： (1)解析法：明確函數的定義域 (2)圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。 (3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。 4、函數圖象知識歸納 (1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上. (2)畫法：A、描點法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換，即平移。 (3)函數圖像平移變換的特點： 1)加左減右——————只對x 2)上減下加——————只對y 3)函數y=f(x)關于X軸對稱得函數y=-f(x) 4)函數y=f(x)關于Y軸對稱得函數y=f(-x) 5)函數y=f(x)關于原點對稱得函數y=-f(-x) 6)函數y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動得，函數y=|f(x)| 7)函數y=f(x)先作x≥0的圖像，然后作關于y軸對稱的圖像得函數f(|x|) 三、函數的基本性質 1、函數解析式子的求法 ： (1、函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域. (2、求函數的解析式的主要方法有：1)代入法；2)待定系數法；3)換元法；4)拼湊法； 2.定義域： 概念：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。 求函數的定義域時列不等式組的主要依據是： (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數不小于零; (3)對數式的真數必須大于零; (4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合. (6)指數為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義. 3、相同函數的判斷方法： ①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關)； ②定義域一致(兩點必須同時具備). 4、區間的概念： (1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間 (2)無窮區間 (3)區間的數軸表示 5、值域(先考慮其定義域) (1)觀察法：直接觀察函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域; (2)反表示法：針對分式的類型，把Y關于X的函數關系式化成X關于Y的函數關系式，由X的范圍類似求Y的范圍。 (3)配方法：針對二次函數的類型，根據二次函數圖像的性質來確定函數的值域，注意定義域的范圍。 (4)代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次函數的類型。 6.分段函數 (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。 (2)各部分的自變量的取值情況. (3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集. (4)常用的分段函數有取整函數、符號函數、含絕對值的函數 7.映射 ： 概念：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A---B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應關系)：A(原象)---B(象)” 對于映射f：A→B來說，則應滿足： (1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是的; (2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個; (3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數僅僅是針對數字來說的。所以函數是映射，而映射不一定的函數 8、函數的單調性(局部性質)及最值 (1、增減函數 (1)設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1 (2)如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1 注意：函數的單調性是函數的局部性質;函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種 (2、圖象的特點 ：如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的. (3、函數單調區間與單調性的判定方法 (A)定義法：任取x1，x2∈D，且x1 ，作差f(x1)-f(x2)；變形(通常是因式分解和配方)；定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負)；下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性). (B)圖象法(從圖象上看升降) (C)復合函數的單調性：復合函數：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。 復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減” 注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集. 9、函數的奇偶性(整體性質) (1、偶函數 ：一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數. (2、奇函數：一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數. (3、具有奇偶性的函數的圖象的特征 ：偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱. 利用定義判斷函數奇偶性的步驟： a、首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱;若是不對稱，則是非奇非偶的函數;若對稱，則進行下面判斷; b、確定f(-x)與f(x)的關系; c、作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數; 若f(-x)=-f(x)或f(-x) f(x)=0，則f(x)是奇函數. (4)利用奇偶函數的四則運算以及復合函數的奇偶性 a、在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數; b、復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。 注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件. 首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱， (1)再根據定義判定; (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定. 10、函數最值及性質的應用 (1、函數的最值 a利用二次函數的性質(配方法)求函數的(小)值 b利用圖象求函數的(小)值 c利用函數單調性的判斷函數的(小)值： 如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有值f(b)； 如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b); (2、函數的奇偶性與單調性 奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性; 偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性。 (3、判斷含糊單調性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區別在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。 (4)絕對值函數求最值，先分段，再通過各段的單調性，或圖像求最值。 (5)在判斷函數的奇偶性時候，若已知是奇函數可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數為奇函數。(高一階段可以利用奇函數f(0)=0)。 |
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