那些簡單卻意義深遠的數學公式

談及數學，大部分人聯想到的往往是從0到9的阿拉伯數字，是冰冷而枯燥的運算公式，是嚴密而繁復的邏輯推導。數學仿佛天然地與美感、與趣味隔絕了，然而在數學家看來事實卻并非如此。

國際著名數學大師丘成桐先生曾說：“文學最高境界,是美的境界,而數學也具有詩歌和散文的內在氣質,達到一定的境界后,也能體會和享受到數學之美。”

正是有了強大的數學，才能讓我們看到許多簡明優美的科學表達。下面讓我們懷著對自然之美的贊賞之情來欣賞幾個看似簡單卻意義深遠的數學公式吧，

有多少人，在對數學一無所知時，通過“1+1=2”這個簡單的方程式敲開了數學的大門？2004年，英國著名的科學雜志《物理世界》舉行了一場別開生面的評選活動，邀請世界各地的讀者選出自己心目中最偉大、最喜愛的公式、定理或定律。評選結果出爐，排在首位的赫然是這個世界上最簡單的公式之一——“1+1=2”。

中國古代稱直角三角形為勾股形，直角邊中短邊為勾，長邊為股，斜邊為弦。公元前十一世紀，周朝數學家商高提出“勾三、股四、弦五”，意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，并根據該典故稱勾股定理為商高定理。

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公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。勾股定理是歷史上第一個將幾何與代數聯系起來的定理，同時也是歷史上第一個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理，被譽為“幾何學的基石”。

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此猜想直到1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯證明，后被稱為‘費馬大定理’。這個猜想最初出現于費馬的《頁邊筆記》中，他曾表明自己已找到一個精妙的證明但因沒有足夠空間所以沒有寫下。經過數學家們三個多世紀的努力，猜想最終變成了定理。在沖擊這個數論世紀難題的過程中，無論是不完全的還是最后完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式。

數學歷史學家霍華德·伊夫斯曾評價道，“費馬大定理在數學里有一個特殊的現象，即在于它是錯誤證明數量最多的數學題”。有趣的是，提出這個世紀猜想的費馬，原本只是一名業余數學家，他的本職工作是一名律師。因他對解析幾何、現代微積分等數學分支的巨大貢獻，被譽為“業余數學家之王”。

歐拉公式是一個連接了所有數學常數的公式，它將數學中最重要的五個數字e,i,π，0，和1連在了一起。物理學家理查德·費曼稱之為“數學中最神奇的公式”，它的神奇之處在于，它把數學的多個方向統一了起來。

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這一公式的發明者萊昂哈德·歐拉是歷史上最偉大的數學家之一。他一生發表過800多篇論文，除了數學，他在天文學、化學、醫藥、光學、甚至音響學上均發表過相當多的著作。數學史上稱十八世紀為“歐拉時代”。他于31歲右眼失明，59歲最終雙目失明。然而，即使失明之后，歐拉仍發表過400多篇學術論文。數學里最重要的一個常數e就是根據歐拉的名字命名的。

著名數學家高斯曾經說，“一個人看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家”。

德國數學家黎曼于1859年提出黎曼猜想，被克雷數學研究所列為“有待解決的七大千禧問題”，并懸賞100萬美元給第一個提供證明或證偽的人。黎曼猜想之所以重要，主要是因為在現代數學中，有很多深入和重要的數學、物理結果都能在它成立的前提下得到證明。

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數學家們在研究黎曼猜想的過程中所取得的早期成果之一，是直接導致了素數定理的證明。《悠揚的素數》作者，牛津大學數學教授馬庫斯·杜·索托伊曾說“素數就像數字的原子，解開素數的奧秘等于解開了所有密碼的奧秘”。黎曼猜想雖迄今仍未被證明，但它所引申出的成果卻是不論在理論或現實層面都有深遠意義的。對于黎曼猜想的眾多評價中，其中一條說到“一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯，這在數學中可以說是絕無僅有的”。