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數學思想，是數學發展所依賴的核心思想，也是數學教育領域中，學生通過再發現的方式習得數學產生、發展過程中起支撐作用的思想。數學思想是數學課堂教學的核心與精髓，是數學教育之“魂”。讓學生感悟數學思想的力量，領悟數學思想的魅力，理應成為數學教育的訴求。 一、理解思想的內涵 史寧中解讀《數學課程標準（2011年版）》時指出，數學抽象的思想、數學推理的思想和數學建模的思想是數學的基本思想。 抽象是從現實問題到數學問題的發展，其思維特征是抽象能力強。人類通過數學抽象，從客觀世界中得到數學的概念和法則，建立了數學學科及其眾多的分支。可以好不夸張地說，數學學科的任何一個概念、任何一個法則，都是抽象的結果。就小學階段而言，抽象主要體現在數學概念、原理的形成過程以及解決實際問題的過程中。對數學抽象思想的初步體會，不僅有助于培養小學生的數學意識、數學眼光，而且有助于逐步提高他們的抽象水平以及分析和解決問題的能力。數學抽象的思想派生出：分類的思想、集合的思想、數形結合的思想、“變中有不變”的思想、符號表示的思想、對稱的思想、對應的思想、有限與無限的思想等等。 推理是從數學問題到數學對象結論的發展，其思維特征是邏輯能力強。推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷之間的思維過程。如果是從一系列具體事實概括出一般原理的過程，稱之為歸納推理；如果是從普遍性結論或一般性前提出發，推出個別或特殊結論的過程，稱之為演繹推理。人類通過數學推理，進一步得到大量結論，數學學科得以豐富和發展。數學推理是數學的根基，沒有推理就沒有數學學科豐富的結論，就沒有數學學科的發展。數學推理的思想派生出:歸納的思想、演繹的思想、公理化思想、轉換化歸的思想、聯想類比的思想、逐步逼近的思想、代換的思想、特殊與一般的思想等等。 模型是多級多次抽象和推理的結果、對象、結論的呈現形式，其思維特征是應用能力強。人類通過數學模型，把數學應用到客觀世界中，產生了巨大的社會效益，又反過來促進了數學的科學發展。以問題解決為核心展開的數學教學過程，常常就是數學模型思想的應用過程。就小學階段而言，數量之間的關系，主要有兩種模型，一個是：“部分量+部分量=總量”，另一個是：“每份數×份數=總數”。數學模型是溝通數學與現實世界的橋梁，也是現代應用數學賴以解決實際問題的基本思想。數學建模的思想派生出:簡化的思想、量化的思想、函數的思想、方程的思想、優化的思想、隨機的思想、抽樣統計的思想等等。 二、滲透數學思想的意義 數學課堂，不是僅僅以教會數學的概念、公式、計算方法、解題方法為目標，更重要的是在學習數學知識的過程中獲得數學基本思想。數學基本思想是數學課堂教學之“魂”。有“魂”駐扎的數學課堂才能承載起成長載體的作用，正如日本著名數學教育家米山國藏教授所說：“學生在學校所學的數學知識，在進入社會后，幾乎沒有機會應用，因而這種作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年就忘掉，然而不管他們從事什么工作，那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發揮著重要作用，使其終身受益”。 前段時間，因北京、江蘇、上海等多個省市作出減弱高考英語考試分量，引起一些網友在網上吐槽，要求“數學滾出高考”。有網友還發起“數學滾出高考”的調查，支持者竟然多達七成。讓數學“滾出高考”雖然是一種缺乏理性的情緒化的宣泄，但也值得數學教師警醒：“數學滾出高考”的真問題是什么？筆者認為，是數學教育的“魂”丟了。 數學教育的“魂”就是“數學思想”。雖然大多數教師知道數學課堂應重在讓學生提高數學思維能力，感悟數學基本思想，但這些最終要通過考題來顯現，為了考高分，教師把傳統工匠“熟能生巧”的理念遷移到學科教學中，變著花樣做題、背題。如此演練，數學課堂可謂“魂飛魄散”，只是應試考分的行尸走肉，教學丟了“魂”，便失了“趣”，導致學生越學越累，越學越厭。 教學有三重境界：教之以“知”、教之以“法”、悟之以“智”。教之以“知”如授人以“魚”，教之以“法”如 授人以“漁”，教學的最高境界是在教給學生知識與方法的同時，注重數學基本思想的滲透，令學生悟之得“智”。滲透數學思想的意義，在于讓學生悟得數學思想與方法，感受到數學思維的魅力，提高解決問題的能力，真正變得聰慧起來。因為數學思想是具有隱性特征的心智活動方式，這種隱性的心智活動水平外顯后則為問題解決的實際能力，當問題解決時，更能激活思維，讓學生享受智趣快感。 弗里德曼說：“數學的邏輯結構的一個特殊的和最重要的要素就是數學思想，整個數學學科就是建立在這些思想的基礎上，并按照這些思想發展起來的。”滲透數學思想的意義，更在于引領學生觸及數學的靈魂，促進理性精神的養成。 三、滲透數學思想的方法 數學思想的滲透重在讓學生體驗和感悟，這就要求教師要充分理解教材內容，精心設計教學過程，從問題的提出、情景的創設，到教學方法的選擇、課堂教學的總結等整個教學過程，都要精心設計安排，做到有意識、有目的地進行數學思想的滲透。 1.化“隱”為“顯”，提高滲透數學思想的自覺性。 不存在剝離數學知識的數學思想，也不存在缺失數學思想的數學知識。所以，數學教材中呈現的教學內容總是貫穿著兩條主線：一條是明線，即寫進教材的數學概念、公式等數學知識；一條是暗線，即隱含在數學知識體系里的數學思想。也就是說，在“有形”的數學知識中，必定蘊含著“無形”的數學思想。有形的數學概念、公式等知識，容易引起教師的重視，而無形的數學思想卻隱含在數學知識體系里，呈隱蔽形式，很容易被教師所忽視。或許正因為大家對于數學教材中的這條“暗線”忽視得太久了，修訂后的課程標準才重點單列出來，有必要引起大家的重視，切勿心中沒有它應有的位置。 教師要研究教學內容，化“隱”為“顯”，挖掘教材內容中蘊含數學思想的因素，理解知識載體與數學思想之間的內在聯系，有強烈的滲透數學思想的意識，提高滲透數學思想的自覺性，以悟得數學思想為目標，把數學思想顯性化，用數學思想來引領數學課堂教學，讓學生在學習的過程中領悟數學概念、數學公式、解題方法的來龍去脈及用途，從中感悟數學思想及一些數學思想方法。 如蘇教版四年級下冊“三角形邊的關系”，不是把“三角形任意兩邊的和大于第三邊”這一知識結論呈現給學生，而讓學生在圍三角形內的過程中發現現象、研究原因、體會規律。要有效結合教學的進程，適時滲透數學的思想，讓學生將直覺感受上升到理性認識。備課時，要深鉆教材，認真研究教學內容，充分挖掘可進行數學思想滲透的各種素材與活動，要反復思考：創設情境的背后，數學思想的滲透體現在哪里？探究活動的背后，數學思想的滲透體現在哪里？提煉方法的背后，數學思想的滲透體現又在哪里？ 2．變“教”為“悟”，把握滲透數學思想的過程性。 抽象、推理、模型，是數學基本思想，而抽象、推理、建立模型也正是“數學化”必須經歷的過程，所以數學基本思想也就蘊藏在“數學化”的過程之中。因而滲透數學思想，我們不必生搬硬套、牽強附會地闡述，因為學生在探究學習的過程中少不了抽象、推理、建模，只要我們關注學生學習的過程，精心組織學生進行探究，變“教”為“悟”，讓數學思想融入其中，因勢利導、水到渠成地滲透，學生也就能領悟到相關的數學思想。下面以“三角形邊的關系”為例，說說具體的做法。 【教學片段一】探究交流，抽象概括 為每組學生準備長18厘米、12厘米、10厘米和3根6厘米的小棒，先讓學生從中任意選三根小棒圍三角形。 師：什么情況下，三條線段肯定圍不成三角形？ 生：兩條邊的和小于或等于第三條邊，就圍不成三角形。 師：在什么情況下，三條線段可以圍成三角形？ 生：兩條邊的和大于第三邊，就能圍成三角形。 師：在不能圍成的數據中，也能找到兩邊的和大于第三邊，比如12加6大于6，可是它們并不能圍成三角形。這句話該怎么完善？ 生：任意兩邊的和大于第三邊。 師：是這樣嗎？看6、10、12這一組，是不是任意兩邊的和都大于第三邊？用算式表示出來。 生：6+10＞12，10+12＞6，6+12＞10。 師：想一想，后面這兩個算式能否省略？ 生：能！較小的兩個數的和大于最大的數，那最大的一個數與其中一個較小數的和，一定比另一個較小數大。 師：真不錯，透過實驗得出來的數據，我們發現，用三條線段圍三角形，只有當任意兩邊的和都大于第三邊時，它們才能圍成三角形。如果這個三角形的三邊分別用a、b、c表示，能算式表示出三邊之間的關系嗎？怎么表示？ 生：a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a。 學生通過操作、探究，抽象得出“兩邊之和大于第三邊才能圍成三角形”時，學生觀察發現“在不能圍成三角形的數據中，也能找到兩邊之和大于第三邊”，引導學生進一步思考：“到底是什么樣的3條線段才能圍成三角形呢？”進而引導學生抽象出“任意兩邊的和大于第三邊”的結論。再引導學生進一步推理得出：只要較短的兩條邊的和大于第三邊就能圍成三角形。這里有效滲透了數學的抽象思想和推理思想。最后讓學生用字母a、b、c表示出三角形三邊之間的關系，即a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，有效滲透了數學的抽象思想與模型思想。 【教學片段二】綜合運用，有效推理 出示：判斷下面各組小棒能否圍成三角形。（單位：厘米） 學生判斷后，引導學生重點討論不能圍成的第三組。 師：這三根小棒圍不成三角形。為什么圍不成？ 生：2+2＜6。 師：如果把第一根換一下，換成幾厘米就可以圍成三角形了？ 生：5厘米，6厘米，7厘米。 師：換成8厘米可以嗎？為什么？換成9厘米呢？換成4厘米可以嗎？為什么？換成3厘米呢？ 如果第一根的長度是小數,第一根最長可以是多少？ 生：7.9。 師：能再長一點嗎？ 生：7.999…，再怎么長，不能等于8厘米，必須小于8厘米。 師：第一根最短可以是多少呢？ 生：4.00000…01，再怎么短，不能等4厘米，必須大于4厘米。 （教師板書：4＜第一根＜8） 師：觀察一下，8厘米和4厘米與另兩邊有什么關系？ 生：8正好是6與2的和，4正好是6與2的差。 師板書：6-2＜第一根＜6+2 師：根據這個式子，你發現了什么？ 生：第一根比另兩條邊的差要長，比另兩條邊的和要短。 數學是成就完美的學科。第（3）組的小棒不能圍成三角形，怎么辦？讓學生想辦法：把第一根小棒換成幾厘米的，就可以圍成三角形了？換的過程中，有效滲透了數學的極限思想與推理思想。學生逐步推理得出：第一根要小于8厘米，還要長于4厘米。學生驚喜地發現：第一根小棒的長度范圍在另兩根長度的“和”與“差”之間。 數學思想是過程性目標，只能落實在過程之中。只要讓學生有效經歷“數學化”的過程，學生感悟數學思想之主線就不會斷，數學教育之魂也就不會丟。 3．變“點”為“線”，注重滲透數學思想的連續性 真正的思想是無法灌輸、無法復制、無法傳承的，如果教師直白地告訴學生什么什么就是某某數學思想，學生只能似懂非懂，一知半解。因為思想完全是個人化的思維運作，是個人不停使用探究的思維模式，對自己的大腦個性化的開發過程，而且這個過程不是一朝一夕就能一蹴而就的，隨意拔高也毫無效果。 “合抱之木，生于毫末；九層之臺，起于累土；千里之行，始于足下”。滲透數學思想，正如合抱之木、九層之臺與千里之行，不是一節課、兩節課的事情，要靠教師長期主動地、有意識地、有計劃地引導學生去感悟。教師每天滲透一點點，學生每天感悟一點點，時間長了，便能從“朦朦朧朧”到“似有所悟”，再逐步走向“清晰明朗”。教師要立足學生的長遠發展，注重滲透的連續性，變“點”為“線”，讓數學思想每天駐守在數學課堂中，促進學生不斷領悟、內化和積淀，并成螺旋上升之態。如低年級學習“9加幾”后，初步掌握了“湊十法”，就能推想出“8加幾”“7加幾”等計算方法，此時，推理范圍很小，推理思想處于萌芽階段；到了中年級就要由整數加減法法則推出小數加減法法則，由整數乘法法則推出小數乘法法則，推理范圍開始擴大，推理思想處于逐漸發展的階段；進入高年級，由比與除法、分數的關系，從商不變性質、分數基本性質推出比的基本性質，推理思想處于初步形成階段。 波利亞說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”就數學教學而言，“知識誠可貴，思想價更高”。只要數學教師能每天立足兒童的現狀，著眼于兒童的長遠發展，用數學思想引領數學課堂，讓數學思想永駐數學課堂，讓學生積極主動地經歷知識的形成過程，并逐步體驗、感悟到知識背后所承載的方法、所蘊涵的思想，學生的頭腦中就能留下數學思想及數學思想方法的相關印記，日積月累，這印記便能漸漸明晰起來，并受益終身。 |
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