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求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補(bǔ)、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法． 在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7)，求△ABC的面積． 
【分析】顯然對(duì)于這樣一個(gè)位置的三角形，面積公式并不太好用，割補(bǔ)倒是可以一試，比如這樣：
構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個(gè)三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補(bǔ)”，
此處AE+AF即為A、B兩點(diǎn)之間的水平距離．
根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線AB解析式為：由點(diǎn)C坐標(biāo)（4,7）可得D點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，
將4代入直線AB解析式得D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2），CD=5,（1）水平寬：A、B兩點(diǎn)之間的水平距離；（2）鉛垂高：過點(diǎn)C作x軸的垂線與AB交點(diǎn)為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．
（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；（2）過點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A(-5,0)、B(-4,-3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值．
（2）取BC兩點(diǎn)之間的水平距離為水平寬，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，則PQ即為鉛垂高．
根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得AC=4，根據(jù)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線BC解析式：y=x+1，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2+6m+5），【小結(jié)】選兩個(gè)定點(diǎn)作水平寬，設(shè)另外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)來表示鉛垂高．【思考】如果第3個(gè)點(diǎn)的位置不像上圖一般在兩定點(diǎn)之間，如何求面積？鉛垂法其實(shí)就是在割補(bǔ)，重點(diǎn)不在三個(gè)點(diǎn)位置，而是取兩個(gè)點(diǎn)作水平寬之后，能求出其對(duì)應(yīng)的鉛垂高！因此，動(dòng)點(diǎn)若不在兩定點(diǎn)之間，方法類似： （1）取AB作水平寬，過點(diǎn)C作鉛垂高CD．（2）取AC作水平寬，過點(diǎn)B作BD⊥x軸交直線AC于點(diǎn)D，BD即對(duì)應(yīng)的鉛垂高，（3）取BC作水平寬，過點(diǎn)A作鉛垂高AD．甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高．（4）取BC作水平寬，過點(diǎn)A作鉛垂高AD．（5）取AC作水平寬，過點(diǎn)B作鉛垂高BD．（6）取AB作水平寬，過點(diǎn)C作鉛垂高CD．說這么多做法也不是要記住的，基本上從(3)開始往后都是用不上的，在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2（a>0）的圖像向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），OA=1，經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5．（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖像下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）顯然，當(dāng)△ACE面積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，0.5m2-m-1.5），過點(diǎn)E作EF⊥x軸交直線AD于F點(diǎn)，代入一次函數(shù)解析式得F（m，0.5m+0.5），既然都是固定的算法，那就可以總結(jié)一點(diǎn)小小的結(jié)論了，對(duì)坐標(biāo)系中已知三點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，如果做題不怕被扣過程分的話，比如我就不怕，因?yàn)槲也豢荚嚕蔷筒环粒苯佑脋來源：有一點(diǎn)數(shù)學(xué)（ID：gh_41d61a2081f7） |
