三個反直覺的概率問題

首先，計算概率有下面兩個最簡單的原則：

原則一、計算概率一定要有一個參照系，即「樣本空間」，也就是隨機事件可能出現的所有結果。事件 A 發生的概率 = A 包含的樣本點 / 樣本空間的樣本總數。

原則二、計算概率一定要明白，概率是一個連續的整體，也就是所謂的條件概率，不可以把連續的概率分割開。

上述兩個原則高中就學過，但是我們還是很容易犯錯，而且犯錯的流程也有異曲同工之妙：

先是忽略了原則二，錯誤地計算了樣本空間，然后通過原則一算出了錯誤的答案。

下面介紹幾個簡單卻具有迷惑性的問題，分別是男孩女孩問題、生日悖論、三門問題。當然，三門問題可能是大家最耳熟的，所以就多聊一些有趣的思考。

一、男孩女孩問題

假設有一個家庭，有兩個孩子，現在告訴你其中有一個男孩，請問另一個也是男孩的概率是多少？

很多人，包括我在內，不假思索地回答：1/2 啊，因為另一個孩子要么是男孩，要么是女孩，而且概率相等呀。但是實際上，答案是 1/3。

上述思想為什么錯誤呢？因為沒有正確計算樣本空間，導致原則一計算錯誤。有兩個孩子，那么樣本空間為 4，即哥哥妹妹，哥哥弟弟，姐姐妹妹，姐姐弟弟這四種情況。已知有一個男孩，那么排除姐姐妹妹這種情況，所以樣本空間變成 3。另一個孩子也是男孩的話，只有哥哥弟弟這 1 種情況，所以概率為 1/3。

為什么計算樣本空間會出錯呢？因為我們混淆了下面兩個問題：

這個家庭只有一個孩子，這個孩子是男孩的概率是多少？

這個家庭有兩個孩子，其中一個是男孩，另一個孩子也是男孩的概率是多少？

我們容易想當然地用“生男生女概率相等”的生活常識來分析問題。為了不要被迷惑，最簡單的辦法還是把所有可能結果窮舉出來，老老實實地數。

最后，對于此問題我見過一個很奇葩的質疑：如果這兩個孩子是雙胞胎，不存在年齡上的差異怎么辦？

我竟然覺得有那么一絲道理！但其實，我們只是通過年齡差異來表示兩個孩子的獨立性，也就是說即便兩個孩子年齡相同，也要假設他們一大一小。所以不要用雙胞胎抬杠。

當然，這個問題還有好幾種說法，不過區別僅僅在于對于細節的理解差異，所以這里就不再多討論。有興趣的讀者可以自行搜索。

二、生日悖論

生日悖論是由這樣一個問題引出的：一個屋子里需要有多少人，才能使得存在至少兩個人生日是同一天的概率達到 50%？

答案是 23 個人，也就是說房子里如果有 23 個人，那么就有 50% 的概率會存在兩個人生日相同。

這個結論看起來不可思議，所以被稱為悖論。按照直覺，要得到 50% 的概率，起碼得有 183 個人吧，因為一年有 365 天呀？其實不是的，覺得這個結論不可思議主要有兩個思維誤區：

第一個誤區是誤解「存在」這個詞的含義。

讀者可能認為，如果 23 個人中出現相同生日的概率就能達到 50%，是不是意味著：

假設現在屋子里坐著 22 個人，然后我走進去，那么有 50% 的概率我可以找到一個人和我生日相同？

并不是的，你這種想法是以自我為中心，而題目的概率是在描述整體。也就是說「存在」的含義是指 23 人中的任意兩個人，涉及排列組合，大概率和你這個個體沒啥關系。

如果你非要計算存在和自己生日相同的人的概率是多少，可以這樣計算：

1 - P(22 個人都和我的生日不同) = 1 -(364/365)^22 = 0.06

這樣計算得到的結果是不是看起來合理多了？生日悖論計算的對象不是某一個人，而是一個整體，其中包含了所有人的排列組合，它們的概率之和當然會大得多。

第二個誤區是認為概率是線性變化的。

讀者可能認為，如果 23 個人中出現相同生日的概率就能達到 50%，是不是意味著 46 個人的概率就能達到 100%？

不是的，就像中獎率 50% 的游戲，你玩兩次的中獎率就是 100% 嗎？顯然不是，你玩兩次的中獎率是 75%：

P(兩次能中獎)=P(第一次就中了)+P(第一次沒中但第二次中了)=1/2+1/2?1/2=75%

那么換到生日悖論也是一個道理，概率不是簡單疊加，而要考慮一個連續的過程。所以 23 個人能達到 50% 的概率并沒有什么不合常理之處。

那為什么只要 23 個人出現相同生日的概率就能大于 50% 了呢？我們先計算 23 個人生日都唯一（不重復）的概率。只有 1 個人的時候，生日唯一的概率是 365/365，2 個人時，生日唯一的概率是 365/365×364/365，以此類推，可知 23 人的生日都唯一的概率：

算出來大約是 0.493，所以存在相同生日的概率就是 0.507，差不多就是 50% 了。

實際上，按照這個算法，當人數達到 70 時，存在兩個人生日相同的概率就上升到了 99.9%，基本可以認為是 100% 了。所以從概率上說，一個幾十人的小團體中存在生日相同的人真沒啥稀奇的。

三、三門問題

這個游戲很經典了：游戲參與者面對三扇門，其中兩扇門后面是山羊，一扇門后面是跑車。參與者只要隨便選一扇門，門后面的東西就歸他（跑車的價值當然更大）。但是主持人決定幫一下參與者：在他選擇之后，先不急著打開這扇門，而是由主持人打開剩下兩扇門中的一扇，展示其中的山羊（主持人知道每扇門后面是什么），然后給參與者一次換門的機會，此時參與者應該換門還是不換門呢？

為了防止第一次看到這個問題的讀者迷惑，再通過圖片具體描述一下這個問題：

你是游戲參與者，現在有門 1,2,3，假設你隨機選擇了門 1，然后主持人打開了門 3 告訴你那后面是山羊。現在，你是堅持你最初的選擇門 1，還是選擇換成門 2 呢？

答案是應該換門，換門之后抽到跑車的概率是 2/3，不換的話是 1/3。又一次反直覺，按道理換不換的中獎概率應該都一樣啊，因為最后就剩兩個門，必然一個是羊，一個是跑車，這是事實，所以不管選哪個的概率不都是 1/2 嗎？

類似前面說的男孩女孩問題，最簡單穩妥的方法就是把所有可能結果窮舉出來：

很容易看到選擇換門中跑車的概率是 2/3，不換的話是 1/3。

關于這個問題還有更簡單的思路：主持人開門實際上在「濃縮」概率。一開始你選擇到跑車的概率當然是 1/3，剩下兩個門中包含跑車的概率當然是 2/3，這沒啥可說的。但是主持人幫你排除了一個含有山羊的門，相當于把那 2/3 的概率濃縮到了剩下的這一扇門上。那么，你說你是抱著原來那扇 1/3 的門，還是換成那扇經過「濃縮」的 2/3 概率的門呢？

再直觀一點，假設你三選一，剩下 2 扇門，再給你加入 98 扇裝山羊的門，把這 100 扇門隨機打亂，問你換不換一扇？肯定不換對吧，這明擺著把概率稀釋了，肯定抱著原來的那扇門是最可能中跑車的。

再假設，初始有 100 扇門，你選了一扇，然后主持人在剩下 99 扇門中幫你排除 98 個山羊，問你換不換一扇門？肯定換對吧，你手上那扇門是 1%，另一扇門是 99%，或者也可以這樣理解，不換只是選擇了 1 扇門，換門相當于選擇了 99 扇門，這樣結果很明顯了吧？

以上思想，也許有的讀者都思考過，下面我們思考這樣一個問題：假設你在決定是否換門的時候，小明破門而入，要求幫你做出選擇。他完全不知道之前發生的事，他只知道面前有兩扇門，一扇是跑車一扇是山羊，那么他抽中跑車的概率是多大？

當然是 1/2，這也是很多人做錯三門問題的根本原因：類似生日悖論，人們總是容易以自我為中心，通過這個小明的視角來計算是否換門，這顯然會進入誤區。

就好比有兩個箱子，一號箱子有 4 個黑球 2 個紅球，二號箱子有 2 個黑球 4 個紅球，隨便選一個箱子，隨便摸一個球，問你摸出紅球的概率。

對于不知情的小明，他會隨機選擇一個箱子，隨機摸球，摸到紅球的概率是：1/2 × 2/6 + 1/2 × 4/6 = 1/2

對于知情的你，你知道在二號箱子摸球概率大，所以只在二號箱摸，摸到紅球的概率是：0 × 2/6 + 1 × 4/6 = 2/3

三門問題是有指導意義的。比如你蒙選擇題，先蒙了 A，后來靈機一動排除了 B 和 C，請問你是否要把 A 換成 D？答案是，換！

也許讀者會問，如果只排除了一個答案，比如說 B，那么我是否應該把 A 換成 C 或者 D 呢？答案是，換！

因為按照剛才「濃縮」概率這個思想，只要進行了排除，都是在進行「濃縮」，均攤下來肯定比你一開始蒙的那個答案概率 1/4 高。比如剛才的例子，C 和 D 的正確概率都是 3/8，而你開始蒙的 A 只有 1/4。

當然，運用此策略蒙題的前提是你真的抓瞎，真的隨機亂選答案，這樣概率才能作為最后的殺手锏。