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三角函數對于各位學數學的同學來說，應該很難吧，網校整理了一些三角函數的推導公式給大家參考，希望對大家有所幫助 ... 三角函數對于各位學數學的同學來說，應該很難吧，網校整理了一些三角函數的推導公式給大家參考，希望對大家有所幫助 ... 三角函數推導公式——萬能公式推導 sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]， (因為cos2(α)+sin2(α)=1) 再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)] 然后用α/2代替α即可。 同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。 三角函數推導公式——三倍角公式推導 tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα] 上下同除以cos3(α)，得： tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)] sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α) =3sinα-4sin3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα =[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α) =2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)] =4cos3(α)-3cosα 即 sin3α=3sinα-4sin3(α) cos3α=4cos3(α)-3cosα 三角函數推導公式——和差化積公式推導 首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb 同理，若把兩式相減，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb 同理，兩式相減我們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 這樣，我們就得到了積化和差的公式： cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 好，有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式 我們把上述四個公式中的a+b設為x，a-b設為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2 把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式: sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] 同角三角函數的基本關系式 倒數關系 tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的關系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方關系 sin2(α)+cos2(α)=1 1+tan2(α)=sec2(α) 1+cot2(α)=csc2(α) 同角三角函數關系六角形記憶法 構造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。 倒數關系 對角線上兩個函數互為倒數; 商數關系 六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積，下面4個也存在這種關系。)由此，可得商數關系式。 平方關系 在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。 三角函數兩角和差公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan2α=2tanα/[1-tan2(α)] tan[(1/2)α]=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α 半角的正弦、余弦和正切公式 sin2(α/2)=(1-cosα)/2 cos2(α/2)=(1+cosα)/2 tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα 三角函數萬能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=[2tan(α/2)]/[1-tan2(α/2)] 三倍角的正弦、余弦和正切公式 三角函數的和差化積公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 三角函數的積化和差公式 sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)] |
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