線性代數3——向量2（點積）

什么是點積

　　如果A和B都是n維向量，這樣定義點積：

　　點積結果是標量。

　　點積的幾何意義是A和B的模乘以二者的夾角正余玄：

　　在幾何意義中，點積同時包含了向量的長度和夾角信息。

　　代數表達和幾何表達是等價的。

用余玄定理解釋幾何意義

　　余玄定理是這樣說的：已知三角形的兩邊和夾角，可以知道第三邊的長度。根據該定理：

　　如果用向量和點積表達：

　　聯合兩種表達：

點積的作用

計算向量的角度

　　可以利用點積計算向量之間的夾角，如下圖所示：

測量向量的方向

　　根據點積的定義可以看出，點積可能小于0。實際上，只有當夾角小于90°時，點積才是正的。

if θ < 90° then         A·B > 0

if θ > 90° then         A·B < 0

if θ = 90° then         A·B = 0

　　所以說，當兩個向量的點積大于0，即夾角小于90°時，我們認為這兩個向量的方向大致相同；如果點積小于0，即夾角小于90°是，這兩個向量的方向相反；如果點積等于0，二者垂直。這也是另一種理解點積意義的方法——它是測量兩個變量相對方向的數字。

判斷正交性

　　所謂正交性就是看兩樣東西是否互相垂直。

　　這里有個例子：

x + 2y + 3z = 0

　　高中的知識告訴我們，這是一個平面表達式，現在嘗試用點積去解釋。

　　根據點積的定義，令A = <x, y, z>，B = <1, 2, 3>，則：x + 2y + 3z = A·B = 0，因此，A⊥B，即A<x, y, z>的集合垂直于向量B<1, 2, 3>。B是有方向的線段，垂直于B的向量有無數個，它們共同組成了一個平面，就是方程的結果集。

求向量的分量

　　已知向量A，可以求得A沿某單位向量u方向的分量，如下圖所示：

　　由上圖可知，向量在某一方向的分量就是向量在該方向的投影。設A的分量為P，則：

|P| = |A|cosθ = |A||u|cosθ= A·u

　　即向量在某一方向上的分量等于該向量與這一方向上的單位向量的點積。

計算面積

　　能否用向量計算五邊形的面積呢？

　　由于不知道五邊形的面積公式，所有首先需要將問題轉換，將五邊形切割成三個三角形：

　　這樣問題就轉換成用向量求解平面上三角形的面積。

　　已知向量A和向量B，三角形如下所示：

　　和點積的公式A· B = |A||B|cosθ十分很相似，可以根據sin²θ + cos²θ = 1求得sinθ，這將是個漫長的過程。

　　根據點積的公式，計算cosθ比sinθ簡單的多，現在的目標就是如何根據cos計算面積。

　　如果將A逆時針旋轉90°得到向量A’和夾角θ’，如下圖所示：

　　問題最終轉換成了求A’，也就是A旋轉90°后的向量：

　　上圖中的兩個三角形全等，如果A = <a₁, a₂>，則A’ = A = <-a₂, a₁>，對于任意象限，該結論都適用。由此：

　　面積應當是正的，但我們應當注意到上式可能出現負值，所以對結果取絕對值更為恰當。當然，并不影響對問題的描述，當得到負值時自然會想到取絕對值。

　　理解了三角形的面積，自然也就知道兩個向量所在的平行四邊形的面積：

行列式

　　在利用點積計算平行四邊形面積時，如果用行列式表達：

　　這比原來的方式更加直觀。上面行列式的幾何意義就是以兩個向量為邊的平行四邊形的面積。 

綜合示例

示例1

　　i, j, k是不同的向量，求向量i + j + 2k， 2i – j + k間的夾角。

　　可以將i, j , k看成三個不同方向的三維向量，每個向量的模都是1。根據點積定義：

示例2

　　已知P = (a, 1, -1), Q = (0, 1, 1), R = (a, -1, 3)，當∠PQR 是直角時，a = ?

　　當∠PQR是直角時，向量QP和QR的點積為0，

示例3

　　i, j, k是不同的向量，求向量2i - 2j + k在向量i + j + k上的分量。

　　可以將i, j , k看成三個不同方向的三維向量，每個向量的模都是1，|i + j + k|² = 3

　　設u是與i + j + k同方向的單位向量，則|u| = 1，容易得出u = <3^-1/2, 3^-1/2, 3^-1/2>

　　最終，分量是：(2i - 2j + k)·u = <2, -2, 1>×<3^-1/2, 3^-1/2, 3^-1/2> = 3^-1/2

示例4

　　求下圖平行四邊形的面積。

　　似乎是很簡單的點積計算，需要注意的是，點積只對向量有意義，對普通的點則沒有任何意義，所以需要把其中的兩邊轉換成向量：