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科學(xué)需要實(shí)驗(yàn)．但實(shí)驗(yàn)不能絕對(duì)精確．如有數(shù)學(xué)理論，則全靠推論，就完全正確了。這是科學(xué)不能離開(kāi)數(shù)學(xué)的原因，許多科學(xué)的基本觀念，往往需要數(shù)學(xué)觀念來(lái)表示。——陳省身 希臘人所建立的幾門科學(xué)是從柏拉圖時(shí)代起才發(fā)展出相當(dāng)內(nèi)容和定出方向的。 一、數(shù)理天文學(xué) 球面幾何是為天文學(xué)而發(fā)展的。幾何實(shí)際是宇宙學(xué)中的一部分。希臘人認(rèn)為幾何原理四體現(xiàn)在宇宙的整個(gè)結(jié)構(gòu)中的，而空間是宇宙的主要組成部分。因此研究空間本身以及空間中的圖形對(duì)于了解宇宙這個(gè)較大的目標(biāo)極為重要。換言之，幾何本身就是一門科學(xué)，關(guān)于物理空間的科學(xué)。 1.歐多克索斯 柏拉圖強(qiáng)調(diào)指出對(duì)于行星的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)缺乏內(nèi)在的或統(tǒng)一的理論或解釋。歐多克索斯著手解決柏拉圖所提出的“整理外觀”的問(wèn)題，建立了第一個(gè)比較完整的天文學(xué)說(shuō)。他寫過(guò)四本天文書(shū)——《鏡Mirror》、《現(xiàn)象Phenomena》、《八年周期Eight-Year Period》和《論速率On Speeds》，但如今只知道其內(nèi)容的片斷。 從地上看到的日月的運(yùn)動(dòng)可以粗略地描述成勻速圓周運(yùn)動(dòng)。但它們偏離圓軌道的程度大到足以被人觀測(cè)出來(lái)因而需要加以解釋。至于從地上所看到的行星運(yùn)動(dòng)就更復(fù)雜，因在它們運(yùn)動(dòng)的任意一圈的過(guò)程中，會(huì)在短期內(nèi)倒過(guò)來(lái)走一段回頭路之后再往前走，而且它們?cè)谶@些路上的速率也是變化著的。 為了用幾何來(lái)說(shuō)明這些不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，歐多克索斯提出了如下的方案：任一天體都有三四個(gè)以地球?yàn)橹行牡耐那颍鱾€(gè)球都繞一軸轉(zhuǎn)動(dòng)。最里面的一個(gè)球是帶著那個(gè)天體的，而天體則沿著球的所謂赤道運(yùn)動(dòng)，就是說(shuō)轉(zhuǎn)軸垂直于運(yùn)動(dòng)天體的圓形路徑。不過(guò)這最里面的球在繞軸運(yùn)轉(zhuǎn)之時(shí)被下一個(gè)同心球這樣帶動(dòng)：設(shè)想第一球的兩軸延長(zhǎng)而兩端固定在第二個(gè)球上，則第二球在繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)就帶動(dòng)第一球的軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)。歐多克索斯發(fā)現(xiàn)用三個(gè)球就足以復(fù)制出從地上看到的日、月的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于每個(gè)行星就要用第四個(gè)球，而這第四個(gè)球是帶著第三個(gè)球的軸一起旋轉(zhuǎn)的。每個(gè)組合的最外面的球，每24小時(shí)內(nèi)繞一根通過(guò)天極的軸旋轉(zhuǎn)一次。歐多克索斯總共用了27個(gè)球。 歐多克索斯的方案在數(shù)學(xué)上很優(yōu)美并在許多方面很了不起。用球的組合這個(gè)想法本身就很巧妙，而選取球軸、半徑和轉(zhuǎn)速，使天體的合成運(yùn)動(dòng)符合實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的工作，則需要在處理曲面和空間曲線（即行星運(yùn)動(dòng)路徑）方面有極大的數(shù)學(xué)技巧。 特別值得指出的是，他的理論是純數(shù)學(xué)的。他所說(shuō)的一些球，除了恒星所在的那個(gè)天“球”之外，都不是實(shí)際觀察到的球，而只是數(shù)學(xué)的構(gòu)想。他說(shuō)有一些力使這些球轉(zhuǎn)動(dòng)，但沒(méi)有設(shè)法講明那是些什么力。他的理論是徹底符合現(xiàn)代精神的，因?yàn)槿缃窨茖W(xué)的目標(biāo)是作出數(shù)學(xué)描述，而不是尋求物理的解釋。 歐多克索斯系統(tǒng)有嚴(yán)重的缺點(diǎn)，不能說(shuō)明太陽(yáng)速度的變化，并對(duì)其實(shí)際路線的描述也稍有錯(cuò)誤。他的理論同火星的實(shí)際運(yùn)動(dòng)根本不相符，同金星運(yùn)動(dòng)的符合程度也不能令人滿意。歐多克索斯之所以容忍這樣的缺點(diǎn)，可能是由于他手頭沒(méi)有足夠的觀測(cè)數(shù)據(jù)。 2.亞里士多德 亞里士多德并不欣賞純數(shù)學(xué)的方案。他為設(shè)計(jì)出讓一球推動(dòng)另一球旋轉(zhuǎn)的實(shí)際機(jī)構(gòu)，又在歐多克索斯的球之間增加了29個(gè)球，使一球的轉(zhuǎn)動(dòng)能通過(guò)實(shí)際接觸推動(dòng)另一球，而使所有球的動(dòng)力來(lái)自最外面的那個(gè)球。他的56個(gè)球把這系統(tǒng)搞得如此復(fù)雜，使科學(xué)家不能置信，雖然它在中世紀(jì)有教養(yǎng)的世俗人士中間還是很風(fēng)行的。 在奧托呂科斯（Autolycus）的著作《論運(yùn)動(dòng)的球On the MovingSphere》和《論升和落On Risings and Settings》以及歐幾里得的《現(xiàn)象》之后，下一批天文學(xué)巨著是亞歷山大時(shí)期學(xué)者寫的。 3.阿利斯塔克 亞歷山大時(shí)期的第一個(gè)大天文學(xué)家是阿利斯塔克，他所著《論日月的體積和距離》是第一個(gè)測(cè)量日月到地球距離和這些天體相對(duì)大小的重大嘗試。他沒(méi)有三角知識(shí)也沒(méi)有π值，但把歐幾里得的幾何用得很得法。 他知道月光是反射光。當(dāng)恰好半個(gè)月球被照亮?xí)r，在地球上的觀察者可測(cè)出該處的角，阿里斯塔克測(cè)出的角是87度（準(zhǔn)確值是89°52′），因此他估出太陽(yáng)離地球與月球離地球的距離之比在18到20之間（正確值是346）。 求得了相對(duì)距離之后，阿利斯塔克就通過(guò)從地上看到的日輪和月輪的大小測(cè)定它們的相對(duì)大小。他得出的結(jié)論是太陽(yáng)比月球大7千倍（正確值是6千4百萬(wàn)倍）。他又求得太陽(yáng)直徑和地球直徑之比在19/3與43/6之間（正確值約為109）。 阿利斯塔克第一個(gè)提出日心說(shuō)，恒星是固定的，它們看上去好像在轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)際上那是地球自轉(zhuǎn)的結(jié)果。月球是繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的。 但日心說(shuō)不被當(dāng)時(shí)的人接受，原因：其一，照亞里士多德的說(shuō)法，重物趨向宇宙中心。只要你承認(rèn)地球是宇宙的中心，這一原理就可用來(lái)說(shuō)明物體落向地面的運(yùn)動(dòng)。但若地球也在運(yùn)動(dòng)，那么落體就會(huì)掉在后面。托勒玫曾用這個(gè)論點(diǎn)來(lái)反對(duì)阿利斯塔克，后人也拿它來(lái)反對(duì)哥白尼。托勒玫還說(shuō)運(yùn)動(dòng)的地球會(huì)把天上的云拋在后頭。其次，亞里士多德的力學(xué)需要有一種力來(lái)使地球上的東西保持運(yùn)動(dòng)，而又看不出有什么力。但我們不知道阿利斯塔克是怎樣回答這些論點(diǎn)的。 另一個(gè)反對(duì)阿利斯塔克的論點(diǎn)是：如果地球在動(dòng)，那它同恒星的距離就會(huì)變，而看起來(lái)卻沒(méi)有變。對(duì)此阿利斯塔克給予了正確的反駁：恒星天球的半徑是如此之大，以至地球軌道相形之下小得微不足道。 阿利斯塔克的日心說(shuō)之所以被許多人擯棄，是因?yàn)樗训厣系男辔锱c天體的不朽之物視為等同，而且行星也不是繞日作圓周運(yùn)動(dòng)。日后哥白尼改進(jìn)了阿利斯塔克的思想，但當(dāng)時(shí)日心說(shuō)對(duì)希臘人來(lái)說(shuō)太激進(jìn)了。 4.阿波羅尼奧斯 定量的數(shù)理天文學(xué)的奠基人是阿波羅尼奧斯。人們稱他為厄潑色隆（希臘字母ε的讀音），因ε這個(gè)記號(hào)常被用來(lái)表示月球，而阿波羅尼奧斯的大部分天文學(xué)是研究月球運(yùn)動(dòng)的。 希臘人在歐多克索斯和阿波羅尼奧斯所處時(shí)代之間搞出一套基本的天文方案，即本輪（epicycle）和均輪（deferent）的方案。一行星P在中心為S的一個(gè)圓周上作勻速運(yùn)動(dòng)，而S本身則在以地球E為中心的一個(gè)圓周上作勻速運(yùn)動(dòng)。S所沿著運(yùn)動(dòng)的圓叫均輪，P所沿著運(yùn)動(dòng)的圓叫本輪。對(duì)某些行星來(lái)說(shuō)，點(diǎn)S就是太陽(yáng)，但在其他情形下則只不過(guò)是數(shù)學(xué)上假設(shè)的一個(gè)點(diǎn)。P與S的運(yùn)動(dòng)方向可能相符，也可能相反。太陽(yáng)和月球的情況就屬于后一種。托勒玫把行星在軌道上停下來(lái)并開(kāi)始逆行的點(diǎn)的確定特別歸功于阿波羅尼奧斯。 5、希帕恰斯和托勒密 希臘天文學(xué)的頂點(diǎn)是希帕恰斯和托勒密的工作。希帕恰斯沿襲了均輪和本輪的這一套方案，并將其應(yīng)用于當(dāng)時(shí)所知的五大行星以及日月和恒星的運(yùn)動(dòng)。希帕恰斯在羅得斯觀象臺(tái)工作35年之后，并應(yīng)用巴比倫人的觀測(cè)數(shù)據(jù)，搞出了本輪運(yùn)動(dòng)理論的細(xì)節(jié)。他通過(guò)適當(dāng)選取本輪和均輪的半徑以及天體在本輪上的和本輪圓心在均輪上的運(yùn)動(dòng)速度，使他能把運(yùn)動(dòng)的描述加以改進(jìn)。對(duì)太陽(yáng)和月球的運(yùn)動(dòng)的描述他處理得很成功，但對(duì)行星的運(yùn)動(dòng)只能獲得部分成功。自希帕恰斯時(shí)代之后，月蝕的時(shí)間能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)到一兩個(gè)小時(shí)之內(nèi)，但對(duì)日蝕的預(yù)報(bào)卻不那么準(zhǔn)。這一理論也可用以說(shuō)明四季的來(lái)歷。 希帕恰斯的獨(dú)特貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了歲差（precession of the equinoxes）。為說(shuō)明這一現(xiàn)象，設(shè)地球的旋轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)及恒星天球。它與恒星天球的交點(diǎn)每隔26000年轉(zhuǎn)動(dòng)一圈。換言之，地軸相對(duì)于恒星的方向是不斷變化的，而且這一變化是周期性的。它在任一時(shí)候所指向的那個(gè)星叫北極星。上述那個(gè)圓圈的直徑在地球上的張角是45度。 希帕恰斯還在天文學(xué)上作出了其他許多貢獻(xiàn)，如觀測(cè)儀器的制作、黃道角的測(cè)定、月球運(yùn)動(dòng)不規(guī)則性的測(cè)量、太陽(yáng)年日數(shù)的改進(jìn)（他測(cè)到365天5小時(shí)55分12秒——比近代數(shù)字約長(zhǎng)6.5分）以及大約一千個(gè)恒星星表的編制等。他求得月地距離與地球半徑之比為67.74，而現(xiàn)代的數(shù)值是60.3。他算出月球半徑是地球半徑的1/3，而現(xiàn)代的數(shù)字是27/100。 托勒密推廣希帕恰斯的工作。他在《至大論》里論述的那個(gè)推廣了的理論，把周轉(zhuǎn)圓和均輪這一套地心說(shuō)理論作了完整闡釋，故后人稱之為托勒密理論。 為使這套幾何說(shuō)法符合觀察數(shù)據(jù)，托勒密對(duì)周轉(zhuǎn)圓上的運(yùn)動(dòng)加上一種變動(dòng)，叫做均勻平化運(yùn)動(dòng)（uniform equant motion）。行星繞中心為Q的一周轉(zhuǎn)圓運(yùn)動(dòng)，而Q沿以C為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，不過(guò)這里的C不是地球而是稍偏離一點(diǎn)。為確定Q的速度，他引入一點(diǎn)R使EC=CR，并使∠QRT勻速增大。這樣Q就以勻角速度運(yùn)動(dòng)，但不是以勻線速度運(yùn)動(dòng)。 希臘天文學(xué)家所采取的方法和所獲得的理解是有徹底現(xiàn)代精神的。希帕恰斯和托勒密都親自作觀測(cè)。事實(shí)上希帕恰斯并不信賴古代埃及人和（巴比倫）加爾迪亞人的觀測(cè)數(shù)據(jù)而重新進(jìn)行觀測(cè)。古典時(shí)代和亞歷山大時(shí)代的天文學(xué)家不僅提出理論，并且也充分認(rèn)識(shí)到這些理論并非真正的設(shè)計(jì)方案，而只不過(guò)是能符合觀測(cè)數(shù)據(jù)的一種描述。托勒密在《至大論》第八篇第2章末段說(shuō)，天文學(xué)應(yīng)力求使數(shù)學(xué)模型最為簡(jiǎn)單。他們并不尋求關(guān)于運(yùn)動(dòng)的物理解釋。托勒密在《至大論》第九篇中說(shuō)：“總之，一般說(shuō)來(lái)第一性原理的終因若不是無(wú)關(guān)緊要便是很難說(shuō)明其本質(zhì)的。”不過(guò)他自己的數(shù)學(xué)模型以后卻被基督教人士視為只字不可改的真理。 托勒密的理論提供了第一個(gè)相當(dāng)完整的證據(jù)，說(shuō)明自然是一致的而且具有不變的規(guī)律。在整個(gè)希臘時(shí)期沒(méi)有任何一部著作能像《至大論》那樣對(duì)宇宙的看法有如此深遠(yuǎn)的影響，并且除了歐幾里得的《原本》之外，沒(méi)有任何別的著作能獲得這一毋庸置疑的威信。 幾乎每一位希臘數(shù)學(xué)家，包括阿基米德在內(nèi)，都研究過(guò)天文學(xué)。希臘天文學(xué)是高明而又廣博的，并且應(yīng)用了大量的數(shù)學(xué)。 二、地理學(xué) 地理學(xué)也是奠基于古希臘。雖然有少數(shù)幾個(gè)古典時(shí)代的希臘人如阿那克西曼德和米利都的赫卡托伊斯（Hecataeus，死于公元前約475年）曾繪制了當(dāng)時(shí)所知地面的地圖，但到了亞歷山大時(shí)期地理學(xué)才有了大的進(jìn)展。由于希臘世界的范圍擴(kuò)大了，更促使希臘人去研究地理。 亞歷山大時(shí)代的第一個(gè)大地理學(xué)家是埃拉托斯特尼。此人是亞歷山大圖書(shū)館館長(zhǎng)、數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、詩(shī)人、歷史學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家、年表學(xué)家，并以古代最有學(xué)問(wèn)的人聞名于后世。他曾在雅典柏拉圖的學(xué)校里求過(guò)學(xué)，后被托勒密三世延請(qǐng)到亞歷山大。 埃拉托斯特尼最出名的工作是計(jì)算了地球（大圓）的周長(zhǎng)。在賽伊尼（Syene）即如今叫阿斯旺的那個(gè)地方，夏至那天中午的太陽(yáng)幾乎正在天頂，這是從日光直射進(jìn)該處一井內(nèi)而得到證明的。 亞歷山大在賽伊尼之北而幾乎（1度之內(nèi)）在同一子午線上，其天頂方向（圖中的OB）與太陽(yáng)方向（圖中的AD）的夾角測(cè)得為360度的1/50。這說(shuō)明SA弧是地球周長(zhǎng)的1/50。據(jù)此埃拉托斯特尼計(jì)算地球周長(zhǎng)為24662英里。這個(gè)結(jié)果比以前一切估算的結(jié)果精確得多。 埃拉托斯特尼寫過(guò)《地理學(xué)Geography》一書(shū)，其中載入了他所作測(cè)量和計(jì)算的方法和結(jié)果。他還在書(shū)中說(shuō)明了地表變化的性質(zhì)和原因。他還繪制過(guò)世界地圖。 科學(xué)方法繪制地圖成為當(dāng)時(shí)地理工作的一部分。希帕恰斯發(fā)明了正交投射法，用無(wú)窮遠(yuǎn)處射來(lái)的“光線”把地球投射到一個(gè)平面上。我們看到的月球?qū)嶋H上就是它的正交投射圖。他用這個(gè)方法就可把一部分地面畫(huà)在一個(gè)平面上。 托勒密在他的《平球法Planisphaerium》中用了球極平面投影法，從O作一直線通過(guò)地球上一點(diǎn)P延長(zhǎng)到赤道平面或另一極處的切平面。這樣就把球面上的點(diǎn)映射到一個(gè)平面上。子午線和緯線是垂直的。球面上的圓在圖面上還是圓，但面積變了。托勒密自己又發(fā)明了一種錐面投影法，就是把地面上一塊區(qū)域從地心投射到一個(gè)相切的錐面上。 托勒密在包含八篇的《地理學(xué)》（Geographia）中講述了繪制地圖的方法，可說(shuō)是第一本地圖集和地名辭典。它給出了地球上8000處地方的經(jīng)緯度，在好幾百年間是一本標(biāo)準(zhǔn)的參考書(shū)。 三、力學(xué) 希臘人開(kāi)創(chuàng)了力學(xué)。 1.亞里士多德 亞里士多德在他的《物理學(xué)Physics》中編輯了一套運(yùn)動(dòng)的理論，成為希臘力學(xué)的最高成就。他的力學(xué)是從一些理性的似乎是不言自明的原理出發(fā)講述的，但這些原理僅僅得自觀察或略經(jīng)實(shí)驗(yàn)核證。 按亞里士多德的說(shuō)法，運(yùn)動(dòng)有兩類，一類是天然的，另一類是激發(fā)的或人為的。天體只有天然運(yùn)動(dòng)——圓周運(yùn)動(dòng)。而地上的東西能有天然運(yùn)動(dòng)是因?yàn)槊糠N物體在宇宙中有其平衡于其它物體或獲得靜止的自然位置。重物以宇宙中心即地心為自然位置。輕物（如氣體）的自然位置在天上。當(dāng)物體趨向它的自然位置時(shí)就引起天然運(yùn)動(dòng)。激發(fā)運(yùn)動(dòng)則是由圓周運(yùn)動(dòng)和直線運(yùn)動(dòng)組成。 運(yùn)動(dòng)中的任一物體都受到力和阻力。在天然運(yùn)動(dòng)情況下，力就是物的重量，阻力則來(lái)自物運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的媒質(zhì)。在激發(fā)運(yùn)動(dòng)情況下，力來(lái)自人的手或某種機(jī)構(gòu)，阻力則來(lái)自物的重量。沒(méi)有力就沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有阻力運(yùn)動(dòng)就會(huì)一下子完成。任何運(yùn)動(dòng)速度取決于力和阻力。
由于天然運(yùn)動(dòng)中的阻力來(lái)自媒質(zhì)，在真空中的速度將為無(wú)窮大，因此真空是不可能有的。物體之所以隨著其接近天然位置為增大速度，是因?yàn)槲矬w運(yùn)動(dòng)得更加歡樂(lè)。但這同速度取決于固定重量的說(shuō)法不一致。 2.阿基米德 希臘最大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家是阿基米德。任何別的希臘學(xué)者都沒(méi)有像他那樣把幾何與力學(xué)結(jié)合得如此緊密，并像他那樣巧妙地善用幾何論點(diǎn)來(lái)作證明。 阿基米德在力學(xué)方面寫過(guò)《論平板的重心The Centers of Gravity of Planes》[，共含兩篇。他開(kāi)頭提出關(guān)于杠桿和重心的一些公設(shè)，例如： 1）（離開(kāi)杠桿支點(diǎn)）等距離的相等重量處于平衡，不等距離處的相等重量不平衡而朝著距離較遠(yuǎn)處的那個(gè)重量?jī)A斜。 2）若在（離開(kāi)杠桿支點(diǎn)）某兩個(gè)距離處的兩個(gè)重量處于平衡，而在其中一重量上加一物，它們就不再平衡，朝著加物的那個(gè)重量?jī)A斜。 5）面積不同而相似的圖形，其重心也在相似的位置...... 7）凡周邊凹向同側(cè)的任一圖形，其重心必在圖形內(nèi)部。 他在這些公設(shè)之后列舉了一些命題，其中有些證明要依據(jù)其失傳著作《論杠桿》中的結(jié)果： 命題4. 若兩個(gè)相等重量的重心不在同一個(gè)地方，則它們合在一起的重心乃是其重心連線的中點(diǎn)。 命題6與7. 兩個(gè)量，不管其可公度與否，其到平衡處的距離與該兩量成反比。 命題10. 任一平行四邊形的重心是其對(duì)角線的交點(diǎn)。 命題14. 任一三角形的重心，是其任兩頂點(diǎn)與其對(duì)邊中心所作兩根連線的交點(diǎn)。 第二篇論述一拋物線弓形的重心。其主要的定理有： 命題4. 為一直線所割出的任一拋物線弓形的重心位于該弓形的直徑上。 直徑是AO，這里O是BD的中點(diǎn)，而AO平行于拋物線的軸。證明要利用他在《拋物線的求積》一書(shū)中的結(jié)果。 命題8. 若AO是拋物線弓形的直徑，G是它的重心，則AG = (3 /2) GO。
求重心的工作在亞歷山大時(shí)期的許多書(shū)里都有。例如海倫的《力學(xué)Mechanica》和帕普斯的《數(shù)學(xué)匯編》的第八篇。 流體靜力學(xué)是阿基米德建立的。在《論浮體》一書(shū)中，論述了水施于浸入其中物體的壓力。他提出兩個(gè)公設(shè)。第一個(gè)是說(shuō)液體任一部分施于液體的壓力是朝下的。第二個(gè)公設(shè)說(shuō)液體對(duì)置于其中一物的壓力是沿著通過(guò)該物體重心的一根垂線向上的。他在第一篇中證明的一些定理是： 命題2. 任一靜止液體的表面是中心在地心處的一個(gè)球的球面。 命題3. 凡與等體積液體等重的固體，若置于液體內(nèi)，必將浸沒(méi)到使其表面不致露出液面，但不會(huì)浸得更深。 命題5. 若將輕于液體的任一固體置于液體里，它將下沉到這樣的程度，使該固體【在空氣中】的重量等于其推開(kāi)的液體的重量。 命題7. 若將一重于液體之物置于液內(nèi)，它將下沉到液底，且若在液體內(nèi)衡其重量，則其輕于原重之?dāng)?shù)等于其所排液體的重量。 最后這個(gè)命題一般認(rèn)為是阿基米德?lián)源_定那個(gè)王冠成分的。阿基米德確實(shí)找出金冠里摻了銀。
為了解阿基米德著作中所處理的問(wèn)題在數(shù)學(xué)上和物理上的復(fù)雜程度，摘錄第二篇中一個(gè)簡(jiǎn)單的命題。 命題2. 有一旋轉(zhuǎn)拋物體的正截段，其軸不超過(guò)3p/4（p是生成拋物線的正焦弦或主參量），其比重小于液體。若將它浸入液體中使它的軸與垂直方向成任一角但不讓截段的底接觸水面，則該拋物體截段不會(huì)停留在那個(gè)位置，而要回復(fù)到使它的軸處于垂直方向的位置。
阿基米德處理的是物體在水里的穩(wěn)定性問(wèn)題。這些問(wèn)題顯然是對(duì)船舶在水里受傾側(cè)后所出現(xiàn)情況的理想化描述。 四、光學(xué) 除天文學(xué)外，數(shù)學(xué)里搞得最經(jīng)久最成功的要算是光學(xué)了。光學(xué)是希臘人創(chuàng)立的。從畢達(dá)哥拉斯以后的幾乎所有希臘哲學(xué)家都探討過(guò)光的性質(zhì)、視像和光色。數(shù)學(xué)方面的第一項(xiàng)成就是西西里島阿格里根（Agrigentum）的恩培多克勒先驗(yàn)地提出的光以有限速度行進(jìn)的說(shuō)法。 光學(xué)方面的第一批系統(tǒng)性的著作是歐幾里得的《光學(xué)》和《鏡面反射》。《光學(xué)》研究視像問(wèn)題以及怎樣從視像確定物體的大小。歐幾里得先擺出定義（其實(shí)是公設(shè)），他的第一個(gè)定義說(shuō)人之所以能看到東西（產(chǎn)生視象），是因?yàn)閺难劬锇l(fā)出的光循直線行進(jìn)照射到所見(jiàn)的物體上的緣故。第二個(gè)定義說(shuō)視線成一錐體，其頂點(diǎn)在眼睛處，其底面在所見(jiàn)物體的最遠(yuǎn)端。定義4說(shuō)兩物中若一物所定視線錐的頂角較大，該物看起來(lái)就顯得較大些。 然后在命題8中歐幾里得證明兩個(gè)相等而平行的物體（下圖中的AB和CD）的視觀大小并不和它們到眼睛的距離成比例。命題23到27證明眼睛看球?qū)嶋H所見(jiàn)的不到球的一半，而所見(jiàn)部分的外廓是個(gè)圓。命題32和37指出看一個(gè)圓，只有當(dāng)眼睛在圓平面圓心處的垂線上時(shí)，所見(jiàn)的才是一個(gè)圓。歐幾里得又指出怎樣從平面鏡里所見(jiàn)的鏡像來(lái)算出實(shí)物的大小。書(shū)里共有58個(gè)命題。
《鏡面反射》描述從平面鏡、凹面鏡和凸面鏡反射出來(lái)的光的習(xí)性以及它對(duì)我們視覺(jué)的影響。定理1講反射律，這是幾何光學(xué)的基本定律（下圖）。歐幾里得還證明了光線照射在凹或凸鏡面上的規(guī)律，他是以光線照射鏡面處的切平面代替鏡面來(lái)證明的。
海倫在他講凹鏡、凸鏡和復(fù)合反射鏡的《鏡面反射》一書(shū)中，從反射律推出了一個(gè)重要的結(jié)論，即光沿最短路徑傳播。（注：把實(shí)際路徑理解為在限制條件下的極值問(wèn)題，這是一個(gè)非常重要的思路，變分法的源頭。往前一步，就可以推出光的折射定律。再往前一步，理論力學(xué)也可以這樣理解，即最小作用量原理。） 有不少著作是論述光線在各種形狀鏡面上的反射的。其中有阿基米德所著而現(xiàn)已失傳的《鏡面反射Catoptrica》以及狄?jiàn)W克萊斯和阿波羅尼奧斯所寫書(shū)名同為《論點(diǎn)火鏡On Burning-Mirrors》的兩部著作。點(diǎn)火鏡是呈球面形、旋轉(zhuǎn)拋物面形和旋轉(zhuǎn)橢球面的凹面鏡，它們可以把平行光聚集在焦點(diǎn)。據(jù)說(shuō)阿基米德就是利用拋物鏡面的這一性質(zhì)把日光集中到羅馬船上使它們起火的。
光的折射現(xiàn)象曾為亞歷山大時(shí)期的希臘人所研究。托勒密注意到來(lái)自太陽(yáng)和星星的光線受大氣折射的影響，并打算（沒(méi)有取得成功）找出光線的折射規(guī)律。他所著關(guān)于鏡面和折射的書(shū)《光學(xué)Optics》流傳到今天。 五、占星術(shù) 在早期文明社會(huì)中是把占星術(shù)當(dāng)作科學(xué)的。巴比倫人的占星術(shù)只是從觀察行星的位置來(lái)推出關(guān)于君王和國(guó)家大事的結(jié)論。他們不搞計(jì)算，人出生時(shí)刻的星象是不起作用的。但希臘或亞歷山大的占星術(shù)是牽涉到個(gè)人的，它根據(jù)所算出的黃道帶里的日、月和五大行星在出生時(shí)刻的位置，可知其人的未來(lái)和命運(yùn)。
托勒玫寫了一本出名的書(shū)，叫《四書(shū)Quadripartite或Tetrabiblos》或《論星辰影響的四書(shū)Four Books Concerning the Influence of the Stars》，其中指出了如何根據(jù)星象來(lái)預(yù)卜未來(lái)的規(guī)則。這書(shū)被人使用了一千年。 占星術(shù)在科學(xué)史上的意義在于其促進(jìn)了天文學(xué)的研究，在希臘、印度、阿拉伯和中世紀(jì)的歐洲都是如此。占星術(shù)培育了天文正如煉金術(shù)培育了化學(xué)。奇怪的是，人們把占星術(shù)預(yù)言的錯(cuò)誤歸咎于天文計(jì)算的錯(cuò)誤，而并不歸咎于占星術(shù)說(shuō)法的不可靠。 在亞歷山大希臘人那里數(shù)學(xué)開(kāi)始被應(yīng)用于醫(yī)學(xué)，特別是通過(guò)占星術(shù)的媒介。有的醫(yī)生就叫醫(yī)道數(shù)學(xué)家，是根據(jù)占星術(shù)的征象來(lái)決定醫(yī)療方法的。古希臘的大醫(yī)生蓋倫堅(jiān)信占星術(shù)，這也許情有可原，因最聞名的天文學(xué)家托勒玫也信占星術(shù)。數(shù)學(xué)和醫(yī)藥的這一聯(lián)系在中世紀(jì)變得更加密切了。 柏拉圖寫的對(duì)話《愛(ài)好者Philebus》說(shuō)，每門科學(xué)只有當(dāng)它含有數(shù)學(xué)時(shí)才成其為科學(xué)。這一原則從希臘人所取得的重大成就得到最有力的支持。此外，希臘人的研究提供了充分證據(jù)說(shuō)明自然是有其數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的。他們對(duì)自然的見(jiàn)解以及他們開(kāi)創(chuàng)用數(shù)學(xué)方法研究自然，在希臘時(shí)代及其后各個(gè)世紀(jì)激起了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造發(fā)明。 |
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