數學史(26)：文藝復興時期（下）

對外部世界進行研究的主要目的在于發現上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數學語言透露給我們的。——開普勒（Johannes Kepler）

二、文藝復興時期的數學

雖然文藝復興時期人們只是模糊地理解了希臘人工作的遠景、價值和目標，但是他們確曾在數學上邁出了有創造性的幾步，并且他們在另一些領域里取得了進展，為我們這個學科在17世紀所達到的驚人的高潮鋪平了道路。

1.透視法

藝術家們最先表示出對自然界恢復了興趣，最先認真地運用希臘的學說：“數學是自然界真實的本質。”也許他們對希臘的思想和智慧是感覺了，但很難說是理解了。在某種程度上這反而是有利的，因為他們未受正規學校教育，就可以不受那些教條的約束。另外，他們享有表達思想的自由，因為他們的工作被認為是“無害的”。

文藝復興時期的藝術家們受雇于王公貴族去執行各種任務，從創作圖畫到設計防御工事、運河、橋梁、軍事器械、宮殿、公共建筑和教堂。所以他們必須學習數學、物理、建筑學、工程學、石工、金工、解剖學、木工、光學、靜力學和水力學。他們進行了手工操作，但也解決了最抽象的問題。在15世紀他們是最好的數學物理學家。

要評價他們對幾何學的貢獻，就必須注意到他們在繪畫方面的新目標。在中世紀頌揚上帝和為圣經插圖是繪畫的目的。對圖形的要求是象征性超過現實性。到文藝復興時期，描繪現實世界成為繪畫的目標。于是面臨一個數學問題，就是把三維的現實世界繪制到二維的畫布上。

布魯內列斯基（Filippo Brunelleschi，1377—1446）是第一個認真地研究并使用數學的藝術家，對數學的興趣引導他去研究透視法，他從事繪畫正是為了運用幾何。他讀了歐幾里得、希帕恰斯和維泰洛在數學和光學方面的作品，并且向佛羅倫薩的數學家托斯卡內利（Paolo del Pozzo Toscanelli，1397—1482）學習。畫家烏切洛（Paolo Uccello，1397—1475）和馬薩丘（Masaccio，1401—1428）也探索了實際透視法的數學原理。

數學透視法方面的天才是阿爾貝蒂（Leone Battista Alberti，1404—1472）。他的《論繪畫》（Della pittura，1435）一書1511年出版，其中都是數學，也包含了一些光學方面的工作。他的另一本重要的數學著作是《數學游戲》（Ludi mathematici，1450），這本書里有機械、測量、計時和炮術方面的應用。阿爾貝蒂所設想的原理成了他藝術上的繼承人所采用并加以完善的透視法數學體系的基礎。

在眼睛和景物之間插進一張直立的玻璃屏板，設想光線從眼睛或觀測點出發射到景物本身的每一個點上。他把這些光線叫做光束棱錐或投影線。設想在這些線穿過玻璃屏板（畫面）之處都標出一些點子，他把這點集叫做截景。截景給眼睛的印象和景物本身一樣，因為從兩者發出的光線一樣。所以作畫逼真的問題就是在畫布上作出一個真正的截景。當然這個截景依賴于眼睛的位置和屏板的位置。這意思就是對同一景物可以繪出不同的畫。

艾伯蒂在《論繪畫》中提供了一些正確的法則，但是沒有給出全部細節。他提出了一個很重要的問題：如果在眼睛和景物之間插進兩塊玻璃屏板，則在它們上面的截景將是不同的。進一步，如果眼睛從兩個不同的位置看同一景物，而在每一種情形下都插一塊玻璃屏板在中間，那么截景也將是不同的。可是所有這些截景都傳達原來的形象，所以它們必定有某種共性。那么任意兩個截景之間有什么數學關系，或它們有什么共同的數學性質？這問題是射影幾何發展的出發點。

達芬奇認為一幅畫必須是實體的精確再現，透視法就是“繪畫的舵輪和準繩”，涉及應用光學和幾何學。對他來說，繪畫是一種科學，因為它揭示了自然界的真實性；由此，繪畫比詩歌、音樂和建筑更為優越。達芬奇關于透視法的著作包含在《繪畫專論》（Trattato della pittura，1651）中，這書由某個不知名的作者編輯，采用了達芬奇有關筆記中最有價值的材料。

把透視法的數學原理以相當完整的形式陳述出來的畫家是弗蘭西斯卡（Piero della Francesca，約1410—1492），他還認為透視法是繪畫的科學并且企圖通過數學來修改和推廣根據經驗得到的知識。他的主要著作《透視畫法論》（De prospettiva pingendi，1482—1487）推進了阿爾貝蒂的投影線和截景的思想。就像阿爾貝蒂一樣，他給出了直觀易懂的定義來幫助藝術家們。然后他提出定理，并且通過作圖或做一個比例的計算來“論證”這些定理。他是杰出的畫家兼數學家，也是科學的藝術家，還是那個時代最好的幾何學家。

文藝復興時期全體藝術家中最好的數學家要算是德國人丟勒（Albrecht Dürer，1471—1528）。他的《圓規直尺測量法》（Underweysung der Messug mid dem Zyrkel und Rychtscheyd，1525）主要是幾何方面的書。他的書談論實際比理論多，很有影響。

從16世紀起透視法的理論就在繪畫學校里按照大師們寫下的原理講授。不過，他們在透視法方面的論文總的來說只是些格言、法則和硬性規定的方法，缺乏一個堅實的數學基礎。1500年到1600年這段時期的藝術家和后來的數學家把這門學科放在一個令人滿意的演繹基礎上，使它從半經驗的藝術成為真正的科學。透視法方面的權威性著作是很久之后才由18世紀的數學家泰勒（Brook Taylor）和蘭伯特（Johann Heinrich Lambert）寫出來的。

2、幾何本身

15、16世紀除透視法外，幾何學的發展沒有給人深刻的印象。丟勒、達芬奇和帕喬利（Luca Pacioli，約1445—1514）（他是一個意大利的修士，弗蘭西斯卡的學生，達芬奇的朋友和教師）討論的一個幾何題目是作圓的內接正多邊形。這些人試圖按阿拉伯人阿布爾韋法曾考慮過的限制用直尺和開口固定的圓規來完成作圖，但他們只給出了近似的方法。

貝內代蒂擴大了問題，尋找用直尺和開口固定的圓規來解歐幾里得的所有作圖問題。一般的問題是由丹麥人莫爾（George Mohr，1640—1697）在《奇妙的歐氏綱要》（Compendium Euclidis Curiosi，1673）一書中解決的。莫爾在他的丹麥文《歐幾里得》（Euclides Danicus，1672）一書中還指出，凡能用直尺和圓規作的圖也可以只用一個圓規來完成。馬斯凱羅尼（Lorenzo Mascheroni，1750—1800）重新發現只用一個圓規就足以完成歐幾里得作圖這一事實，并且發表在他的《圓周幾何》（La geometria del compass，1797）一書中。

喬治·莫爾

求物體的重心是另一個感興趣的問題。達芬奇對等腰梯形的重心給出了一個正確的方法和一個不正確的方法。然后他不加證明地給出了四面體重心的位置，在底面三角形的重心到頂點的連線上四分之一的地方。

兩個新穎的幾何思想出現在丟勒的一些次要的著作里。第一個是空間曲線。空間螺旋線在平面上的投影是各種各樣的平面螺旋線，丟勒指出如何去畫它們。他還介紹了外擺線，這是一個動圓在一個定圓外滾動時動圓上一點的軌跡。第二個思想是考慮曲線和人影在兩個或三個相互垂直的平面上的正交投影。這個想法丟勒只是接觸了一下，后來到18世紀時由蒙日（Gapard Monge）發展為畫法幾何。

達芬奇、弗蘭西斯卡、帕喬利和丟勒在純粹幾何學方面的工作，從其有無新結果的觀點來看是不重要的，主要價值是廣泛地傳播了某些幾何知識。丟勒的《圓規直尺測量法》的第四部分與弗蘭西斯卡的《論規則形體》（De Corporibus Regularibus，1487）和帕喬利的《神妙的比例》（De Divina Proportione，1509）一起，重新引起人們對立體幾何的興趣。立體幾何學在開普勒時代繁榮起來。

另一個幾何的活動是制作地圖。地形勘察揭露出現有地圖的不妥當，同時揭開了新的地理知識。地圖的制作和印刷開始于15世紀后半葉，以安特衛普和阿姆斯特丹為中心。

制作地圖的問題是從下述事實提出來的：一個球不能裂開展平而不畸變。還有，方向（角）或面積或兩者都會發生畸變。制作地圖的最有意義的新方法是克雷默（Gerhard Kremer）提出的，他也叫墨卡托（Mercator，1512—1594），他把終身貢獻給這門科學。1569年他作出一幅地圖，用了著名的墨卡托投影。緯線和經線是直線。經線是等距離的，但緯線的間隔是遞增的。當緯度L遞增時，他令緯線間的距離按倍數1 /cos L遞增。

墨卡托（現代地圖之父）

只在這種投影下地圖上相互兩點的羅盤方位才是正確的。于是球面上羅盤方位是常數的線（即所謂斜駛線，它與子午線有相同的交角）成為地圖上的一條直線。距離和面積不保持；但是，因為方向是保持的，所以在一點處的兩個方向之間的夾角是保持的，從而這個地圖被稱為是保形的。

墨卡托地圖

雖然16世紀制作地圖的工作中沒有出現很多新的數學思想，但是后來這個問題被數學家們接了過去，并引導出微分幾何中的工作。

3、代數

直到卡爾達諾的《大衍術》（Ars Magna，1545，后文又譯為《重要的藝術》）出版，文藝復興時期代數一直沒有什么發展。但是，帕喬利的工作是值得注意的。他認為數學是最廣的有系統的學問，并且應用于所有人的實際生活和精神生活中。他告訴數學家和技術人員，理論必須是主導。他的主要出版物是《總論算術、幾何、比例和比例性》（Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione et Proportionalita，1494），一本當代數學的概要，并且是這個時代的代表，因為它把數學和很多實際應用聯系起來。

這本書的內容包含了印度—阿拉伯的數學符號、商業算術，包括簿記和當時的代數，歐幾里得《原本》的一個蹩腳的概括，還有一些從托勒玫那里抄來的三角學。應用比例概念去揭示自然界的各個方面和宇宙本身是一個大的課題。他把比例叫做“皇后”，并且把它應用于人體各部分的尺寸，應用于透視甚至是混合顏料。他所寫的方程中，系數總是常數，并把各項放在使系數為正的一邊。雖然偶爾要減去一項，但純負數是不用的，方程也只給正根。他用代數去計算幾何量。他認為解方程x3 +mx = n和x3 +n = mx就像化圓為方的作圖題一樣是不可能的，用這條意見結束了他的書。

帕喬利

雖然在《總論》里沒有什么是獨創的，但這書和他的《神妙的比例》都是有價值的，因為包含的內容比在大學里教的多很多。帕喬利是已有學術著作同藝術家與技術人員所獲得知識之間的媒介。《總論》對1200年到1500年之間算術和代數的發展只是一個很有意義的數學注解，因為它出版在1494年，但并不比斐波那契1202年的《算經》內容更多。事實上，《總論》中的算術和代數是根據斐波那契的書而寫的。

4、三角

1450年以前三角主要是球面三角；測量學還繼續用羅馬的幾何方法。雖然斐波那契在他的《幾何實習》（Practica Geometriae，1220）里就曾經倡導平面三角的方法，差不多到1450年左右平面三角學在測量中才變得重要起來。

15世紀末葉和16世紀早期由德國人完成了三角學中的新方法，通常他們在意大利留學然后回到祖國。當德國開始興旺時，北德漢薩同盟（Hanseatic League of North Germany）控制著很多貿易，得到很多財富，于是商人中的贊助者就可以支持我們將要提到的很多人的工作。三角學的工作受到航行、推算日歷和天文學的推動，對天文學的興趣由于日心說的創造而增強。

維也納的波伊爾巴赫（George Peurbach，1423—1461）開始去校訂《至大論》的拉丁文譯本，這本書是由阿拉伯版本轉譯的，他打算由希臘原文翻譯。他還開始制作更精確的三角函數表。但波伊爾巴赫死時太年輕，他的工作由他的學生米勒（Johannes Müller，1436—1476）[又叫雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）]繼續下去。雷格蒙塔努斯翻譯了阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》、阿基米德和赫倫的部分作品，自己成立印刷廠出版這些書。

雷格蒙塔努斯的紀念郵票

他仿造波伊爾巴赫采用印度人的正弦，然后造了一個取圓半徑為600,000單位和另一個取半徑為10,000,000單位的正弦表。他還計算了正切表。在《方位表》（Tubulae Directionum，寫于1464—1467）一書中他給出了五位正切表并取十等分角度，這在那個時代是一個很不平常的做法。

15、16世紀有很多人在做表，其中有雷蒂庫斯（George Joachim Rhaeticus，1514—1576）、哥白尼、韋達（1540—1603）和皮蒂斯科斯（Bartholom?us Pitiscus，1561—1613）。這一工作的特點是讓圓半徑的值很大很大以便能夠得到更精確的三角函數值而不用分數或小數。例如，雷蒂庫斯計算一個正弦表，半徑取得是10的10次方和10的15次方。皮蒂斯科斯在《寶庫》（Thesaurus，1613）中修正并發表了雷蒂庫斯的第二個三角函數表。“trigonometry”一詞就是他提出的。

更基本的工作是解平面和球面三角形。雷格蒙塔努斯從納西爾丁的工作中得到益處，并且在1462年寫的《論三角》（De Triangulis）中用更為有效的方式把平面三角、球面幾何和球面三角中有用的知識放在一起。他給出球面三角的正弦定律，就是

sin a/sin A=sin b/sin B=sin c /sin C，

和涉及邊的余弦定律，即

cos a=cos bcos c+sin bsin c cos A。

《論三角》直到1533年才出版。與此同時沃納（Johann Werner，1468—1528）在《論球面三角》（De Triangulis Sphaericis，1514）一書中改進并發表了雷格蒙塔努斯的思想。

經過雷格蒙塔努斯多年的工作，球面三角仍然因為需要大批公式而處于困難中，這部分是因為他在《論三角》中（甚至哥白尼在一個世紀之后）只用到正弦和余弦函數，還因為鈍角的余弦和正切函數的負值沒有被承認為數。

雷蒂庫斯是哥白尼的學生，他改變了正弦的意義。原來說一段弧的正弦，他改成說一個角的正弦。雷蒂庫斯采用了全部六個函數。

韋達（近代代數之父）

韋達的職業是律師，但他更被認為是16世紀第一流的數學家。他的《標準數學》（Canon Mathematicus，1579）一書是他在三角的許多工作中的第一本、在這里他把解直角和斜角平面三角形的公式收集到一起，也包括他自己的貢獻正切定律：

(a - b) / (a + b) = tan [(A - B) /2] / tan [(A + B) /2]。

對球面直角三角形，他給出了用已知的兩部分計算另一部分所需的一套完全的公式，并給出了用來記住這套公式的法則，我們現在把它叫做納皮爾法則。他還提出了涉及鈍角球面三角形角的余弦定律：

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos a。

很多三角恒等式是托勒密建立的，韋達給以補充。例如，他給出了恒等式：

sin A - sin B = 2 cos [(A + B) /2] cos [(A - B) /2]。

還有用sin θ和cos θ表示sin nθ和cos nθ的恒等式。后一個恒等式寫在他的《斜截面》（Sections Angulares）一書中，這本書于他死后在1615年出版。

他用sin nθ的公式去解比利時數學家羅馬努斯（Adrianus Romanus，1561—1615）在《數學思想》（Ideae Mathematicae，1593）中作為對法國人的挑戰而提出的一個問題。這個問題是求解一個45次方程。法國的亨利（Henry）四世找來了韋達，他認為這個問題等價于用sin A表示sin 45A，并求出sin A。韋達知道這個問題可解，只要把這個方程分成一個5次的方程和兩個3次的方程，而這些方程他很快地解出。他給出了23個正根，但忽略了負根。在他的《回答》（Responsum，1595）一書中他解釋了他的解法。

16世紀三角學開始從天文學里分出來成為一個數學分支，它的應用說明有必要用更獨立的觀點來研究三角學。

5、文藝復興時期主要的科學進展

在文藝復興時期，對推動以后兩個世紀的數學具有決定意義的進展是哥白尼和開普勒領導的天文學革命。大約在1200年以后，亞里士多德的天文理論（歐多克索斯的一個修補）和托勒密的理論變得廣泛流行并且互相對立。亞里士多德的理論為大多數人接受，雖然托勒玫的理論對天文預測、航行和計算日歷更為有用。

一些阿拉伯人。中世紀后葉的人，文藝復興時代的人物，包括阿爾比魯尼（973—1048）、奧雷姆和庫薩（Cusa）的尼古拉（Nicholas，1401—1464）大主教，也許是響應希臘人的思想，當真考慮過地球或許在轉動，并且考慮過在地球繞太陽轉動的基礎上，同樣可能建立一種天文學理論，但是沒有一個人提出新的理論。

在天文學家之中哥白尼作為一個巨人突然出現。哥白尼1473年生于波蘭的托倫（Thorn），在克拉科夫（Cracow）大學學習數學和科學。23歲時他到博洛尼亞進一步深造。1512年他回到波蘭成為弗勞恩堡（Frauenberg）大教堂的典事，在那里一直住到1543年逝世。他在完成工作職務的同時，專心致志于研究和觀測，終于創立了革新的天文學理論。思維領域的這一成就，就其重要性、勇敢和宏偉的程度來說，遠遠超過了征服海洋的壯舉。

華沙國家科學院門口的哥白尼雕像

很難斷定什么原因使哥白尼拋棄了有1400年之久的托勒密理論。在《天體運行論》（De Revolutionibus Orbium Coelestium，1543）的序言中所述的是不完全的，并且有幾分不可思議。哥白尼聲明喚醒他的是關于托勒密體系的精確度的各種不同觀點，認為托勒密的理論只是一個假說的觀點，以及亞里士多德和托勒密理論的追隨者之間的爭執。

哥白尼保留了托勒密天文學的一些原理。他用圓作基本曲線，在此基礎上構造對天體運動的解釋。他也采納了在均輪上作周轉運動的方案，但反對托勒密在假想圓上的勻速運動，因為這個運動不要求均勻直線速度。

由于用了阿利斯塔克把太陽放在每個均輪中心的思想，哥白尼能夠用比較簡單的圖來代替以前描繪每一個天體運動所需要的復雜的圖。他用34個圓代替77個圓去解釋月球和六個已知行星的運動。后來他改善了這個方案，讓太陽只是靠近這個體系的中心而不是正在這中心。

巴西發行的哥白尼紀念郵票

從與觀測結果相符合這點來說，哥白尼的理論并不比托勒密的修正理論更好。哥白尼體系的優點乃是它用地球圍繞太陽運動來解釋行星運動的主要不規則性，而不是用許多周轉圓。此外，他的方案用同樣通用的方法對待所有的行星，而托勒密對內部行星水星、金星和外部行星火星、土星、金星采用稍有不同的方法。最后，在哥白尼的方案中天體位置的計算是比較簡單的，以至于在1542年天文學家們開始用他的理論來計算天體位置的新的表。

哥白尼的理論遇到了合理的和懷偏見的兩種反對意見。同觀測的不符合使得第谷·布拉赫（1546—1601）放棄了這個理論而去尋找一個折衷的方案。韋達由于同樣的原因完全拒絕了它，轉而去改進托勒密的理論。很多知識分子拒絕這個理論或是因為不了解，或是因為不能接受新思想。他書中所含的數學確實難懂，就像哥白尼在序言里所說的，他的書是寫給數學家看的。第谷·布拉赫和德國天文學家在1572年對于新星的觀測是有幫助的，星球的突然出現和不見反駁了亞里士多德和經院派學者關于天體永恒不變的教條。

第谷布拉赫

如果沒有開普勒（1571—1630）的工作，日心說的命運將是不確定的。他出生于符騰堡（Württemberg）公國的一個城市魏爾（Weil）。他曾在第谷·布拉赫的觀象臺里做他的助手，并在第谷死后被任命接替其位置。開普勒的一部分工作是為他的雇主魯道夫（Rudolph II）大帝算命。開普勒用占星術有助于天文學家謀生的想法來聊以自慰。

開普勒的一生受盡磨難，但他用恒心、非凡的努力和豐富的想象力從事科學工作。在探討科學問題的態度方面，開普勒是一個過渡人物。他接受了柏拉圖的教義——宇宙是按照一個事先建立好的數學方案安排的。但他極其尊重事實，工作完全建立在事實的基礎上，從事實發展到定律。在尋找定律時，他發揮了對假說的創造性，對真理的熱愛和活躍的想象力但不妨礙理智。他設計了很多的假說，但當它們與事實不符時，他毫不猶豫地拋棄。

開普勒

被哥白尼體系的美好與和諧所觸動，他決定從事于去尋求第谷·布拉赫所提供的更為精確的觀測可能允許怎樣的幾何上的和諧關系。他尋找數學上的關系，確信這種關系是存在的，這使得他在錯誤的道路上探索了許多年。在《神秘的宇宙結構學》（Mysterium Cosmographicum，1596）一書的序言中，他說道：“我企圖去證明上帝在創造宇宙并且調節宇宙的次序時，看到了從畢達哥拉斯和柏拉圖時代起就為人們熟知的五種正多面體，他按照這些形體安排了天體的數目，它們的比例和它們運動間的關系。”

于是他假定六個行星的軌道半徑是一些和五種正多面體相聯系的球的半徑。最大的半徑是土星的軌道半徑，在這一半徑的球里他假設有一個內接正立方體。在這個立方體里有一個內接球，這球的半徑就是木星的軌道半徑。在這個球里有一個內接正四面體，對它又有一個內接球，它的半徑是火星軌道半徑。如此繼續下去，經過五種正多面體，可以作出六個球，正好和當時知道的行星數目一樣。由這個假設作出的推論和觀測不一致，他拋棄了這個想法，但在這以前他異常努力地以改進了的形式去運用它。

開普勒行星運動三定律的前兩條公布在1609年出版的一本書里，這本書有個很長的名字，有時簡稱它為《新天文學》（Astronomia Nova），有時叫《論火星的運動》（Commentarieson the Motions of Mars）。

第一定律說每個行星的軌道不是一些動圓聯合的結果，而是一個橢圓，太陽在它的一個焦點上。第二定律說太陽與行星的連線在相等的時間里掃過相等的面積。希臘人相信行星運動必須用均勻線速率來解釋。開普勒和哥白尼一樣，一開始也堅定地相信勻速率的學說，但是他的觀測迫使他又放棄了這個珍愛的信念。當他能夠用具有同樣魅力的某些東西代替這信念時，他是非常高興的，因為他的關于自然界遵循數學規律的信念又得到了肯定。

開普勒作出了更為異常的努力來得到第三個定律。取地球公轉的周期和它到太陽的平均距離（應為半主軸）作為時間和距離的單位，那么一個行星公轉的周期的平方等于它到太陽的平均距離的立方。開普勒在《世界的和諧》（The Harmony of the World，1619）一書中公布了這個結果。

開普勒三大定律

開普勒的工作比哥白尼的工作要革命得多，他采用橢圓和非勻速運動從根本上打破了權威和傳統。他堅持這樣的立場：科學研究是獨立于一切哲學和神學信條的；單單數學上的考慮就可以決定假說的正確性；假說以及從它作出的推理都必須通過實踐來檢驗。

對日心說有些很有分量的科學上的反對意見，其中許多是托勒密針對阿利斯塔克提出來的。怎樣能使地球這樣一個重的天體開始運動并且保持運動？（希臘人和中世紀的思想家認為行星是由某種特別輕的物質組成的。）為什么扔到空氣中的物體不落到它原來位置的西邊？為什么地球在旋轉時不飛散？哥白尼對后一個問題的極為軟弱的回答是球是一個自然的形狀，因此就自然地運動著，所以地球不會破壞它自己。為什么地球上的物體和空氣本身和地球在一起？哥白尼回答說，空氣具有“地球性”，所以跟著地球轉。

為什么恒星的方向不變？視差若是2'，則距離至少需要400萬倍于地球半徑，這樣一個距離在當時是不可想象的。哥白尼聲明“天空與地球相比是無限的，好像是無窮大的……宇宙的邊界是不知道的也是不可知的”。直至1838年數學家貝塞爾（Friedrich Wilhelm Bessel）才測量了最近一個恒星的視差，發現它是0.31?。

德國數學家、天文學家貝塞爾

如果哥白尼和開普勒是“清醒的”人，他們就永遠不會去否定他們的感覺。盡管地球在高速率地轉動，但我們不能感覺到它的自轉和公轉。另一方面，我們確實看到太陽在運動。

哥白尼和開普勒都否認基督教的一條中心教義，就是上帝主要關心的是人，而人是宇宙的中心，宇宙萬物都圍繞著人轉。相反，日心說把太陽放在宇宙的中心，這就威脅了這個慰藉人心的教義，因為它使得人成為可能有的一大群漂泊于寒冷天空的流浪者之一。這樣，通過太陽代替地球，哥白尼和開普勒就搬走了天主教神學的基石，并且危及其結構。哥白尼指出宇宙比起地球來是如此巨大，以至于去談論中心是毫無意義的。這種議論就更加使他與宗教對立起來了。

反駁所有這些反對意見，哥白尼和開普勒都只用了一個回答，但卻是有分量的回答。如果承認數學關系是科學工作應有的目標，那么能夠給出更好的數學處理這一事實就足以壓倒一切反對意見。他們都感到并且清楚地說明了他們的工作給出了協調、對稱和神圣作坊的設計，以及上帝存在的有力證據。哥白尼說：“我們發現，在這有次序的安排下，宇宙有一種奇異的對稱性，天體運動和大小的協調有確定的關系，而這是不可能從其他途徑去獲得的。”開普勒1619年的書名是《世界的和諧》，他對上帝的無盡的頌揚，對上帝數學設計的宏偉所表現的欽佩證明了他的信仰。

開普勒著作《世界的和諧》

一開始只有數學家支持日心說是不奇怪的。只有數學家，而且只有相信宇宙是按照數學方式設計的數學家，才會有足夠堅強的信心擺脫那些流行的哲學上、宗教上和物理上的信念。直到伽利略把望遠鏡對準天空，天文學的物證才支持了數學的理論。17世紀初伽利略看到在木星周圍有四個衛星，證明行星可以有衛星。由此得出，地球不能因為有月球就不是行星。伽利略還看到月球有一個粗糙的表面，像地球一樣有高山和深谷。所以地球也就是一個天體，未必是宇宙的中心。

最后日心說得到了承認，因為它計算簡單，因為它的優越的數學，還因為觀測結果支持著它。這表明運動科學應該在地球自轉又公轉的見解下改寫。簡單說來，需要一個新的力學。

17世紀天文學家對光學更有興趣了，因為空氣對光線產生折射效應，這就給星球的位置以一種假象。16世紀末，發明了望遠鏡和顯微鏡，它們打開了新的世界。在17世紀，幾乎所有的數學家都研究過光學和透鏡。

6、文藝復興時期評注

文藝復興時期在數學方面沒有出現任何杰出的新成就。文學、繪畫、建筑領域中創造出很多杰作，它們至今仍是我們文明的一部分。在科學方面，日心說使最好的希臘天文學說黯然失色，使阿拉伯或中世紀的貢獻相形見絀。對于數學來說，這一時期主要是一個吸收希臘成果的時期，與其說是古代文化的新生，倒不如說是它的再現。

對于數學的茁壯成長同樣重要的是，它又像亞歷山大時代那樣建立起和科學、技術的密切聯系。在科學方面，認識到數學定律歸根到底是終極的目標；在技術方面，認識到以數學式子來表達研究結果是知識最完善、最有用的形式，是設計和施工最有把握的向導。這樣的估價保證了數學成為現代的一個主要力量，還保證了數學的新發展。

下一講16、17世紀的算術和代數。