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導論 《數論》堪稱數學中的數學，主要研究和探索“數字”的奧秘，人類歷史記載，系統的數論研究從公元前300年就已經開始，在這兩千年中有無數數學家，對數論研究的發展做出了巨大貢獻，本文從中挑選幾位，讓我們膜拜一下他們的神奇。 歐幾里得（Eculid） 歐幾里得（公元前325-公元前265），古希臘杰出的數學家。歐幾里得是第一個系統、完整開辟平面幾何學研究的偉大數學家，其著作《幾何原本》，成為平面幾何學的奠基，平面幾何因此也被稱為歐氏幾何。 除了在幾何學方面的研究，歐幾里得也是數論的先驅者，他在數論領域貢獻頗多。首先，他非常完整地證明了“有無限個素數”，這也是數論史上第一個被嚴格證明的定理。其次，他憑借敏銳的直覺，發現了數論學的基礎定理——算術基本定理。算術基本定理是什么意思呢？解釋一下。 任何一個大于2的正整數都可以分解為有限個素因數的乘積，如不考慮因數相乘的順序，這種分解是唯一的。舉個例子，120=2*2*2*3*5，無論因子順序怎樣顛倒，永遠是三個2，一個3，一個5相乘得到120，所以這種正整數的素數分解方式是唯一的。歐幾里得意識到了這個定理的存在，但他沒能證明它，經過了兩千多年，19世紀偉大的數學家高斯才給出了嚴格的證明。 歐幾里得在數論領域還有一個非常大的貢獻，就是解決如何求出兩個正整數的最大公因數問題。他發現了“輾轉相除法”，將兩個正整數做k步輾轉相除后得到余數0，則最后一個非零余數就是兩個正整數的最大公因數。輾轉相除法雖然很樸素，但其遞歸的思想，直到信息化高度發達的今天，其解體思路依然運用在計算機遞歸算法中。 費馬（Fermat） 費馬（1607-1665），法國人，被稱為業余數學家之王，他的正式職業是律師。雖然數學是業余愛好，但讓后人銘記的不是他在法律方面的貢獻，而是費馬做為近代數論的開創者，微積分學研究的先驅。費馬的研究奠定了概率論基礎，同時費馬在天文、物理方面也貢獻巨大。 費馬憑借其超人的直覺和敏銳的觀察力，提出了很多數論領域前所未有的命題。他首先提出了費馬數，他提出任何一個自然數n，則 永遠為素數，雖然這個命題被證明是錯誤的，前5個費馬數是素數，從第6個開始費馬數都是合數，但費馬數依然有廣泛應用，被用來證明很多數論命題。 費馬小定理是數論學的四大基礎理論之一，對于一個素數p，和任何整數a都滿足關系：a的p次方整除p的余數與a整除p的余數相等。比如你求50的7次方除以7的余數是多少？顯然這很難求出，但運用費馬小定理，可以非常容易算出來，答案為1。 費馬在數論領域經常被人們提起的是費馬大定理。費馬曾經在一筆書的邊角上寫下，我已經找到了多元高次方程無整數解的巧妙證明，但是我寫不下了。這個方程就是： 就是因為這一段話，在此后的三百年中，世界上所有最具智慧的數學家幾乎都參與了這個猜想的證明，但最終都以失敗而告終。每年都有很多人宣布自己證明了費馬大定理，但是都逐一被宣布證明有誤。 懷爾斯 1993年英國牛津大學任教的一流數學家懷爾斯（Wiles）宣布證明了費馬大定理，但不幸的是，經過數學家們的審核，找出了懷爾斯證明過程中的一處漏洞。又經過2年的努力，1996年懷爾斯修補了證明過程，無懈可擊地完成了費馬大定理的證明。 1998年，四年一度的數學家大會召開，數學家們一致同意給懷爾斯頒發一個“菲爾茲特別獎”。菲爾茲獎是數學界的最高獎項，有數學界的“諾貝爾獎”之稱，每4年頒發一次。但菲爾茲獎只頒發給40歲以下的青年數學家，彼時懷爾斯已經45歲，按照慣例他不能被授予菲爾茲獎，但由于他證明了費馬大定理，解決了這個300年的數論難題，評委們決定為他定制頒發一枚銀質的“菲爾茲特別獎”。這也是迄今為止菲爾茲獎唯一的特別獎。另外在1996年，懷爾斯也獲得了代表數學家終身成就的沃爾夫獎。 歐拉（Euler） 歐拉（1707-1783），瑞士人，歷史上最偉大的數學家之一，一生勤奮共寫出856篇論文和31篇專著，在數論、微積分、力學、天文方面都有卓越貢獻，數學中的很多符號都來自于歐拉，如π表示圓周率，∑表示求和，f(x)表示函數等。 歐拉在數論領域貢獻太多，以致于難以在這里一一羅列出來。他定義了歐拉函數，對于任何大于1的整數m，以?(m)表示與m互素的整數個數，那么這個數是可求出來的，而且 其中pi和αi分別對應m素數分解式中的素數與其階數。 在求出歐拉函數值的基礎上，歐拉定理被證明：對于正整數m，任何與m互素的整數a，則整數a的?(m)次方除以m，余數為1。 歐拉在數論領域的貢獻還有很多，他證明了費馬斷言的很多命題，發現了二次互反律等。由于連續計算彗星軌道，29歲時他右眼失明，59歲因過度勞累左眼也失明。在雙目失明以后，他仍以頑強的拼搏精神與罕見的心算能力發表了幾百篇論文，并發現了第8個梅森素數，歐拉是歷史上文獻最多的數學家，《歐拉全集》總共編寫了72卷才將他所有的著作收錄完成，人們將他位列人類歷史上四大數學家之一。 高斯（Gauss） 高斯（1777-1855），德國人，先講一個高斯的故事。 18歲時高斯在哥廷根大學讀大二，有一天數學老師（大數學家貝努力）在課堂上布置了三道作業題，下課后高斯快速做出了前兩道題，但是第三道題他卻想不出如何解決。這更加激起了他的解題欲望，高斯不停地思考，花了整整一夜的時間，終于將這道題做出來了。第二天他對老師說，自己前兩道題很快做出來了，但是第三道題卻花了很久的時間才解出來，實在有些慚愧。貝努力說他不信，因為貝努力布置的第三題是古希臘數學家歐幾里得留下的一個千年難題：運用尺規作圖畫出正17邊形，包括牛頓在內的數學大神都無法解決，他怎么也不相信一個大二的學生能夠解決這個難題。高斯由此聲名大噪。 另外高斯預言非歐幾何一定會存在，后來俄國數學家羅切巴夫斯基創立了羅氏幾何，證明了高斯的預言。高斯還總結了復數應用，嚴格證明了n階代數方程必有n個實數或者復數解，在數論領域，高斯將數論的研究水平推進到了新的高度。 高斯第一次嚴格證明了歐幾里得時期就已經發現的數論學基礎——算術基本定理，高斯創造性地引進了同余符號和同余式，使數論研究進入到嶄新階段。 高斯證明了二次互反律，這是初等數論的核心定理，堪稱初等數論領域最璀璨的定理： 高斯在幾何、物理、天文學方面都有卓越貢獻，可謂是前無古人、后無來者的數學家，被稱之數學王子。 后人根據數學家的貢獻，選出了數學史上的四大偉人：阿基米德、歐拉、牛頓、高斯。如果將本文提到的這些大數學家比喻為天上璀璨的明星，那高斯就是天上的明月，相信讀者們就可以理解高斯的成就了。 最后，再次向大神致敬。 |
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