據(jù)說(shuō)最新高考改革方案中的數(shù)學(xué)考試占有重要份額，由此聯(lián)想到為什么'社會(huì)這樣喜愛(ài)數(shù)學(xué)'這個(gè)教育問(wèn)題。既然數(shù)學(xué)被民眾'重視'到了如此地步，索性就讓大家看看高深數(shù)學(xué)王國(guó)中一些一線城市的風(fēng)貌。只要大膽和堅(jiān)持，保證會(huì)有點(diǎn)滴收獲。
面對(duì)數(shù)學(xué)的巒峰，其實(shí)所有的數(shù)學(xué)人都是數(shù)學(xué)努力進(jìn)程中的無(wú)窮小量。對(duì)那些讓我們崇拜與尊敬的偉大數(shù)學(xué)家們而言，當(dāng)對(duì)比廣博的數(shù)學(xué)同仁時(shí)，他們才是數(shù)學(xué)努力進(jìn)程中的無(wú)窮大量。要想成為數(shù)學(xué)的無(wú)窮大量型人才，第一件事就是在心理上必須解除任何的“名人未解、自己無(wú)望”的悲觀研究心理障礙，使得自身處于完全無(wú)約束的能量自由勃發(fā)狀態(tài)，然后才可能真實(shí)地驗(yàn)證出自己的數(shù)學(xué)價(jià)值。非數(shù)學(xué)人士其實(shí)可以類似地打開(kāi)自己數(shù)學(xué)心扉和挖掘數(shù)學(xué)潛能。在數(shù)學(xué)成才教育中，學(xué)生自身的潛能、興趣、能力、志向、毅力、勤勉與自信等微觀元素的宏觀合成是至關(guān)重要的數(shù)學(xué)教育成才技術(shù)。在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)洗禮之后, 廣大數(shù)學(xué)愛(ài)好者非數(shù)學(xué)符號(hào)地進(jìn)入現(xiàn)代核心分析數(shù)學(xué)的海洋中暢游, 不失之為一條快速提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的捷徑。撰寫本文的動(dòng)力是教育成才理念的鼓舞，而非作者學(xué)識(shí)之因。泛函分析，調(diào)和分析，復(fù)分析，隨機(jī)分析，偏微分方程和大范圍分析等核心分析數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)寶庫(kù)足以讓代代數(shù)學(xué)人追求永遠(yuǎn)，因而個(gè)人之力就是個(gè)微重力而已。數(shù)學(xué)的雄峰雖難以撼動(dòng)，但通過(guò)教育的望遠(yuǎn)鏡卻可以領(lǐng)略其幾何的教育外貌，這也許正是本文的微小作為之處。泛函分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的重要分支之一，其深遠(yuǎn)的理論體系和廣泛的應(yīng)用價(jià)值已經(jīng)對(duì)現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)，乃至現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都產(chǎn)生了重大影響。大學(xué)本科階段的泛函分析課程主要以線性泛函分析中的賦范線性空間及其上的有界線性算子理論等一些最基本內(nèi)容為主。研究生階段的線性泛函分析主要介紹緊算子與Fredholm算子、Banach代數(shù)、無(wú)界線性算子、線性算子半群、廣義函數(shù)、Hilbert-Schmidt算子與跡類算子等內(nèi)容。研究生階段的非線性泛函分析課程一般簡(jiǎn)要講授Banach空間上的微積分學(xué)、隱函數(shù)定理與分歧問(wèn)題、拓?fù)涠取握{(diào)算子以及變分方法等基本內(nèi)容。泛函分析的主要研究方向?yàn)? 線性算子譜理論、函數(shù)空間、Banach空間幾何學(xué)、算子代數(shù)、非交換幾何、應(yīng)用泛函分析以及非線性泛函分析的相關(guān)研究方向等。泛函分析是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和空間解析幾何的“升空式洗禮”，而從“地上”到“天上”的一個(gè)數(shù)學(xué)抽象推廣過(guò)程。有限維空間的幾何理論以及從有限維空間到有限維空間的映射理論是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)一二年級(jí)的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容。若只考慮線性映射的運(yùn)算性質(zhì)，那就是線性代數(shù)。若考慮非線性映射的連續(xù)性與光滑性，那就是微積分。若把有限維空間的距離概念推廣到無(wú)限維空間，再考慮相應(yīng)的線性映射與非線性映射的連續(xù)性以及光滑性，那么就自然而然地走到了泛函分析的疆界。數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)和解析幾何的很多結(jié)論在泛函分析層面上都有相應(yīng)的推廣結(jié)論。注意到這一點(diǎn)之后，又可以從“天上”回到“地上”了。把有限維換成無(wú)限維，以及歐式度量換成抽象度量，想法還是一樣的想法，但現(xiàn)象卻是作為拓?fù)洹⒋鷶?shù)、幾何與分析的融合體的泛函分析了。分析、代數(shù)、幾何與拓?fù)涞臄?shù)學(xué)思想方法的交融是泛函分析發(fā)展壯大的力量之源。泛函分析已經(jīng)成為現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的必要工具之一。Fields 獎(jiǎng)獲得者J. Bourgain，A.Connes，W. Timothy Gowers，A. Grothendieck, L. Schwartz 及Wolf獎(jiǎng)獲得者I. M. Gelfand，M. G. Krein等著名數(shù)學(xué)家在泛函分析領(lǐng)域都做出了巨大成就。（1）M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, I – IV, 1970’s。（2）K. Yosida, Functional Analysis, 1980。（3）J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions,1981。（4）張恭慶，林源渠，泛函分析講義，上冊(cè)，1987。（5）張恭慶，郭懋正，泛函分析講義，下冊(cè)，1990。（6）W. Rudin，F(xiàn)unctional Analysis，1991。（7）Alan Connes，Noncommutative geometry，1994。（8）P. Lax, Functional Analysis，2002。（9）Kung- Ching Chang，Methods in Nonlinear Analysis，2005。調(diào)和分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域之一，其輝煌的成就讓一代代分析學(xué)家為之傾倒與奮斗。按照華羅庚先生的說(shuō)法，把已知函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)的運(yùn)算就叫做調(diào)和分析。事實(shí)上，調(diào)和分析也正是從Fourier級(jí)數(shù)和Fourier變換理論的研究開(kāi)始發(fā)展壯大的。從物理的觀點(diǎn)，調(diào)和分析就是要把信號(hào)表示為基本波“調(diào)和子”的超位置疊加。幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，調(diào)和分析已經(jīng)形成了龐大的學(xué)科體系，并在數(shù)學(xué)、信息處理和量子力學(xué)等領(lǐng)域有著重要和深刻的應(yīng)用。從應(yīng)用角度來(lái)說(shuō)，有效確定Fourier級(jí)數(shù)問(wèn)題的運(yùn)算稱為實(shí)用調(diào)和分析。有限調(diào)和分析是實(shí)用調(diào)和分析的主體框架，即從有限個(gè)數(shù)據(jù)所應(yīng)計(jì)算的最恰當(dāng)?shù)捻?xiàng)數(shù)的角度，從有限到有限的思想方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的Fourier方法是有限調(diào)和分析的應(yīng)用價(jià)值所在。再?gòu)奈锢淼慕嵌龋藗兛梢园l(fā)現(xiàn)量子力學(xué)中的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系有著調(diào)和分析版的解釋，即 Paley – Wiener 定理所描述的非零緊支集廣義函數(shù)的Fourier變換沒(méi)有緊支集。抽象調(diào)和分析是調(diào)和分析更深入的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，即研究拓?fù)淙荷系恼{(diào)和分析理論，特別是Fourier變換理論。Abel緊群的Ponteyagin對(duì)偶理論是調(diào)和分析特征在現(xiàn)代數(shù)學(xué)處理中的合適寫照。對(duì)一般的非Abel局部緊群來(lái)說(shuō)，調(diào)和分析是與酉群的表示論密切相關(guān)的。經(jīng)典卷積的Fourier變換是Fourier變換的乘積的性質(zhì)可以通過(guò)對(duì)緊群的Peter-Weyl 定理有所升華體現(xiàn)。當(dāng)群既非Abel又非緊群時(shí)，一般的抽象調(diào)和分析理論還不是很完善。例如，是否此時(shí)存在Plancherel定理的類似物還不知道。但是在許多特殊情況下，通過(guò)無(wú)窮維表示技術(shù)是可以分析一定的相關(guān)問(wèn)題的。下面主要對(duì)上的調(diào)和分析內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)要的描述，以便對(duì)調(diào)和分析方向的研究與學(xué)習(xí)有一點(diǎn)點(diǎn)便利。覆蓋技術(shù)、極大算子、Calderón–Zygmund分解、內(nèi)插技術(shù)和奇異積分算子是現(xiàn)代調(diào)和分析的基本內(nèi)容。覆蓋技術(shù)不僅是測(cè)度論的重要工具，也是調(diào)和分析的主要方法之一。Hardy–Littlewood 極大算子理論的建立與覆蓋技術(shù)息息相關(guān)。上的H.- L極大算子理論主要體現(xiàn)了一類非線性算子的-有界性理論，并且可以解決很多現(xiàn)代分析的重要問(wèn)題。Calderón–Zygmund分解技術(shù)是研究奇異積分的實(shí)變量分析的關(guān)鍵方法，即把任意的可積函數(shù)拆分成“小部分”和“大部分”的和，然后用不同的技術(shù)分別處理各個(gè)部分是其思想精華所在。奇異積分算子是由帶有奇異性的積分核所產(chǎn)生的。奇異積分算子的-有界性問(wèn)題是重要的研究問(wèn)題之一。奇異積分算子的理論目前已經(jīng)很是豐富了。從Fourier級(jí)數(shù)和Fourier變換的經(jīng)典Fourie分析到Hardy–Littlewood 極大算子和奇異積分算子等理論，可以認(rèn)為是調(diào)和分析的一次飛躍。調(diào)和分析的另外一次重大飛躍應(yīng)該是-空間（Hardy空間）、有界平均振蕩函數(shù)的BMO空間和-權(quán)理論的建立與完善。筆者認(rèn)為：調(diào)和分析的最后一次飛躍也許是調(diào)和分析方法在分析學(xué)科的世界級(jí)數(shù)學(xué)猜想的解決方面的有效實(shí)踐問(wèn)題。Hardy空間的研究起源于Fourier級(jí)數(shù)和單復(fù)變量分析，至今已經(jīng)有豐富的內(nèi)涵，特別是高維實(shí)方法的介入，使得-空間理論有了本質(zhì)性的現(xiàn)代發(fā)展。有界平均振蕩函數(shù)的BMO空間，也稱為John- Nirenberg空間，是在分析大師F. John和L. Nirenberg首次研究了該空間的拓?fù)湫再|(zhì)的基礎(chǔ)上而給出精確定義的。-空間，BMO空間和-權(quán)理論是現(xiàn)代調(diào)和分析的三大發(fā)明。C. Fefferman獲得Fields獎(jiǎng)的主要工作就是，在L. Nirenberg工作的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)了BMO空間是-空間的對(duì)偶空間。BMO空間在分析數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域和概率秧論中都有重要的應(yīng)用。在BMO空間基礎(chǔ)上，L. Nirenberg與H. Brezis合作，還發(fā)現(xiàn)了作為BMO空間的子空間的VMO空間（消失平均振蕩空間），特別是將拓?fù)涠壤碚撏茝V到屬于VMO空間的映射結(jié)果使得拓?fù)鋵W(xué)家為之驚嘆。-權(quán)理論在奇異積分算子有界性研究中有著重要作用。R. R. Coifman 和 C. Fefferman 對(duì)-權(quán)理論的建立做出了重要貢獻(xiàn)。我國(guó)世界級(jí)數(shù)學(xué)家華羅庚先生在經(jīng)典調(diào)和分析領(lǐng)域取得了世界領(lǐng)先成果。他的名著《多復(fù)變函數(shù)論中典型域上的調(diào)和分析》曾獲得首屆國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。北京大學(xué)的調(diào)和分析學(xué)派為中國(guó)調(diào)和分析方向的人才培養(yǎng)做出了巨大貢獻(xiàn)。獲得過(guò)Wolf獎(jiǎng)和 Fields獎(jiǎng)的調(diào)和分析名家有A. P. Calderón，C. Fefferman，E. M. Stein，T. Tao等。關(guān)于調(diào)和分析的數(shù)學(xué)著作推薦如下：（1）E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, 1970。（2）E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, 1971。（3）E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, 1993。
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